專題27.31 相似三角形幾何模型-X型圖（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖所示，、相交于點(diǎn)，連接，，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定的是（          ）A． B． C． D．2．如圖所示，在中，，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他線段的情況下，圖中與相似的三角形有（       ）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．如圖，與相交于點(diǎn)，．若，則為（ ）    A． B． C． D．4．如圖，在四邊形ABDC中，不等長(zhǎng)的兩對(duì)角線AD、BC相交于O點(diǎn)，且將四邊形ABDC分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，則此四個(gè)三角形的關(guān)系，下列敘述正確的是（　?。?/span>A．甲與丙相似，乙與丁相似            B．甲與丙相似，乙與丁不相似C．甲與丙不相似，乙與丁相似          D．甲與丙不相似，乙與丁不相似5．在梯形中，，，，兩腰延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過作的平行線，交、延長(zhǎng)線于、，等于（ ）A． B． C． D．6．如圖，中，交于點(diǎn)，，，，，則的長(zhǎng)等于（ ）  A． B． C． D．7．如圖所示，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，，則（　?。?/span>A． B． C． D．8．如圖，在口ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，EC交BD于點(diǎn)F，那么SΔBEF：SΔBCF=（          ）A．1：6 B．1：4 C．1：3 D．1：29．如圖，AB//CD，AD與BC交于點(diǎn)O，若AO=2，DO=4，BO=3，則CD的長(zhǎng)度不可能為(          )A．5              B．7             C．9             D．1110．如圖，矩形中，，，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接，則的長(zhǎng)為（       ）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，AD與BC邊的交點(diǎn)為E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，C，那么線段CE的長(zhǎng)應(yīng)等于___．12．如圖，AB∥CD，AC，BD，EF相交于點(diǎn)O，則圖中相似三角形共有_____對(duì)．13．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且，AE，CD相交于點(diǎn)F，若，則=________.14．如圖，在中，兩條DA中線BE，CD相交于點(diǎn)O，則和的周長(zhǎng)之比是________.15．如圖，正方形的面積為2，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是______.  16．如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，分別聯(lián)結(jié)AB、DC，如果，，，，那么______．17．如圖，梯形ABCD中，，且AD：：3，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，那么：：______．18．如圖在矩形ABCD 中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF 是對(duì)角線BD 的垂直平分線，則EF 的長(zhǎng)為_______．19．如圖，DE是△ABC的中位線，F是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于G，AB=6，則AG=_____．20．如圖，已知AB∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，E為AB中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，則=_____． 三、解答題21．如圖，//，于點(diǎn)O，，，，求的長(zhǎng)．  22．如圖，F為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知．（1）求證：；（2）若ABCD為平行四邊形，，，求FD的長(zhǎng)度．   23．探究：如圖①，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)M．求證：．應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M，連結(jié)AC．若ME＝3，則AC的長(zhǎng)為　   　．    24．在①，②，③這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，若         （填序號(hào)）求證：．     25．如圖，在中，，，CD是AB邊上的高，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，作與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)G，連接BF．(1) 求證：；(2) 求證：；(3) 求的值．     26．如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接MC交BD于點(diǎn)N，ON＝1．(1) 求證：△DMN∽△BCN；(2) 求BD的長(zhǎng)；(3) 若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．                             參考答案1．D【分析】要使△AOC∽△DOB，只需再添加一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等或其對(duì)應(yīng)邊成比例即可，而對(duì)應(yīng)邊所夾的角則必是其相等的角，否則不能得到其相似．解：由圖可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等或其對(duì)應(yīng)邊成比例即可，所以題中選項(xiàng)A、B、C均符合題意，而D選項(xiàng)中AC與AO的夾角并不是∠AOC，所以其不能判定兩個(gè)三角形相似．故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定問題，能夠熟練掌握．2．C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，找出存在的相似三角形即可．解：由題意得：，，，，，∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠B=60°∵∴是等邊三角形∴∴，∠，∴∥BC∵∠ACB=90°∴∴與相似的三角形有、△ABC、、所以有4個(gè)故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵．3．D【分析】由AD∥BC可證明△ADE∽△CBE，再由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.解：∵AD∥BC.∴△ADE∽△CBE，，∵AE:EC=1:2，故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定及相似三角形的面積之比等于相似比的平方的運(yùn)用．解答本題求出兩三角形相似是關(guān)健.4．A【分析】利用已知條件得到即，加上對(duì)頂角相等，則可判斷△AOB∽△COD；再利用比例性質(zhì)得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．5．B【分析】根據(jù)已知可求得△MCD∽△MAB，從而求出BM：BD的值，又由△BCD∽△BEM，從而根據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)邊成比例求得EM的值，進(jìn)而求得EF的值．解：∵AB∥CD，∴△MDC∽△MBA，∴MC：MA=CD：AB=b：a，∴BM：BD=a：（a-b）．在△BEM中，∵DC∥FM，∴BD：BM=CD：EM，∴EM= =   ，同理，EM=FM，所以EF=，故選B.【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運(yùn)用.6．A【分析】由，∠BDE=∠ADC可證明△BDE∽△ACD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)找到成比例找出對(duì)應(yīng)邊即可求出DC的長(zhǎng).解：∵，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ACD，∴DC：BD=AD：DE，∵，，AB=AD+BD，∴AD=4，BD=6，∴DC== = ，故選A.【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形找出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.7．C【分析】由于平行線之間的距離處處相等，則根據(jù)三角形面積公式得到,再證明△AOD∽△COB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到利用比例的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式求解．解：∵AD∥BC，∴點(diǎn)B到AD的距離等于點(diǎn)D到BC的距離相等，∴∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴故選:C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】證明△EBF∽△CDF，得到EF:CF=BE:CD=1:2，△BEF和△BCF分別選擇EF、CF為底，則高相同，由此即可求解．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BECD， ∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF，∴△EBF∽△CDF，∴，△BEF和△BCF分別選擇EF、CF為底，則高相同，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到△EBF∽△CDF，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)邊之比，然后再根據(jù)同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比求解．9．D【分析】由AB//CD可得，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式可得CO的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可．解：∵AB∥CD，∴∴；∵AO=2，DO=4，BO=3，∴，解得：CO=6，當(dāng)CD=5時(shí)，能構(gòu)成三角形，故不符合題意；當(dāng)CD=7時(shí)，能構(gòu)成三角形，故不符合題意；當(dāng)CD=9時(shí)，能構(gòu)成三角形，故不符合題意；當(dāng)CD=11時(shí)，不能構(gòu)成三角形，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)．掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式可得CO的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可求BD，，從而得到QC，由勾股定理即可求解；解：∵在矩形中，，，∴∵AB∥CD，∴∵∴∵∴∴∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的相似、矩形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．.【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AEC=∠BED，則根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)時(shí)，△BDE∽△ACE，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算CE的長(zhǎng)．解：∵∠AEC＝∠BED，∴當(dāng)時(shí)，△BDE∽△ACE，即∴CE＝故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或?qū)斀牵?/span>12．3【分析】根據(jù)平行線法進(jìn)行判斷．解：∵AB∥CD，∴△AEO∽△CFO，△BEO∽△DFO，△ABO∽△CDO，共有3對(duì)．故答案是：3．【點(diǎn)撥】考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用了平行線判定三角形相似..13．1：16【分析】由三角形的面積關(guān)系得出BE：CE=1：3，得出BE：BC=1：4，由平行線得出DE：AC=BE：BC=1：4，△DEF∽△AFC，由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果．解：∵S△BDE：S△DEC=1：3，∴BE：CE=1：3，∴BE：BC=1：4，∵DE∥AC，∴DE：AC=BE：BC=1：4，∴△DEF∽△CAF，∴.故答案為1：16．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的面積關(guān)系；熟練掌握相似三角形的判定，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．14．1:2【分析】根據(jù)三角形的中位線得出DE∥BC，DE=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．解：∵CD，BE是的兩條中線，∴DE是的中位線，∴，，可得，∴的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng).【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．15．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△AMG∽△CDG，根據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)邊成比例，求得GH，GF的長(zhǎng)，從而即可求得陰影部分的面積．解：如圖，過點(diǎn)G作HF⊥AB．∵AM∥CD，∴∠DCG=∠GAM，∠CDG=∠GMA，∴△AMG∽△CDG，∴AM：DC=GH：GF=1：2，HF=AD ．設(shè)HF=AD=a，∴GH，GF，AM=，DC=a， ，∴陰影部分的面積=S正方形ABCD﹣S△AMG﹣S△CDG﹣S△MBC====．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．3【分析】由，得到∽DCO，然后列出方程求出OC的長(zhǎng)．解：，，∽DCO，，，．故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確找出三角形相似列出方程是解題的關(guān)鍵．17．1：9：3【分析】先根據(jù)AD∥BC,可判定△AOD∽△COB, 由于AD：BC=1：3,可得OD：OB=AD：BC=1：3,根據(jù)等高的兩個(gè)三角形,兩個(gè)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比,可得S△AOD：S△AOB=1：3,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方倍可得S△AOD：S△BOC=1：9.解：∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∵AD：BC=1：3,∴OD：OB=AD：BC=1：3,∴S△AOD：S△AOB=1：3,∴S△AOD：S△BOC=1：9,∴S△AOD：S△BOC：S△AOB =1：9：3,故答案為:1:9:3.【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的面積比,解決本題的關(guān)鍵是要掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方倍,非相似三角形,在等高的情況下,兩三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比.18．cm分析：EF是BD的垂直平分線，則OB＝OD，進(jìn)而可以判定△BOF≌△DOE，得OE＝OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的長(zhǎng)，根據(jù)FO即可求EF的長(zhǎng)．解：∵EF是BD的垂直平分線，∴OB＝OD，∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE，則OE＝OF，∵∠OBF＝∠ABD，∴△BOF∽△BAD∴＝，∵BD＝＝10cm，∴BO＝5cm，∴FO＝5×cm＝cm，∴EF＝2FO＝cm．故答案為：cm．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理求BD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．19．2解：過E作EM∥AB與GC交于點(diǎn)M，如圖所示：∴△EMF≌△DGF，∴EM=GD，∵DE是中位線，∴CE=AC，又∵EM∥AG，∴△CME∽△CGA，∴EM：AG=CE：AC=1：2，又∵EM=GD，∴AG：GD=2：1．∵AB=6，∴AD=3，∴AG=.故答案為2.20．3解：∵DE∥BC，E為AB中點(diǎn)，∴F是AC的中點(diǎn)，∴AF=FC，EF=BC，∵DE∥BC，AB∥CD，∴四邊形EBCD是平行四邊形，∴ED=BC，∴FD=EF=BC，∵ED∥BC，∴△DFO∽△BCO，∴==，∴==，即=3．故答案為3．21．【分析】先證，得出，即，把已知線段長(zhǎng)度代入即可求得OC長(zhǎng)，再用勾股定理求解即可．解：，∴．∴，即∴． 解得． ∵于點(diǎn)O，∴∠COD=90°，由勾股定理得．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)求出OC長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見詳解；（2）4【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）先證明AD∥BE，利用平行線分線段成比例，列出比例式，即可求解．（1）證明：∵，∠AFD=∠EFC，∴；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BE，AB＝CD＝6，∴AF：EF＝DF：CF，又∵EF＝2AF，∴DF：CF＝1：2，即DF＝DC＝4．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊、對(duì)頂角等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．23．證明見分析     AC=9【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，從而得到線段間的位置關(guān)系，利用三角形相似即可解答.(2)根據(jù)點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，求出四邊形BCDE為平行四邊形，再利用中位線即可解答.探究：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EBM＝∠ADM，∠BEM＝∠DAM，∴△EBM∽△ADM，∴＝．∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴EB＝BC＝AD，∴＝，∴＝．應(yīng)用：解：∵AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝AB＝CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形．又∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴＝．∵M(jìn)E＝3，∴EF＝ME+MF＝3+＝．∵點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF為△BAC的中位線，∴AC＝2EF＝9．故答案為9．【點(diǎn)撥】本題是復(fù)雜多邊形的綜合考察，掌握平行四邊形判定定理，中位線等知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.24．①，證明見分析或②，證明見分析．【分析】若選擇條件①，可利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；若選擇條件②，可利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似．解：選擇條件①的證明為：∵，∴，又∵，∴；選擇條件②的證明為：∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理，并正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵．25．(1)見分析(2)見分析(3)【分析】(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，則結(jié)論得證；(2)證明△CGE∽△FGB即可；(3)過點(diǎn)F作FH⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，則CH=FH，得出CF=DE，則得出答案．(1)證明：∵，∴又∵∴(2)解：由(1)得，∴，∴，又∵，∴，∴，即(3)解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如下圖所示，由(2)知，∠EFB=45°，EF⊥BE，∴是等腰直角三角形，∴∵，∴在和中∴（AAS），∴，∵，，∴，∴在中，，∴，∴.【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26．(1)見分析(2)6(3)5【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ADBC，從而證明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)；（3）根據(jù)△MND∽△CNB且相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，OB=OD＝BD，∵△DMN∽△BCN，∴，∵M為AD中點(diǎn)，∴AD=2DM，∴BC=2DM，∴BN=2DN，設(shè)OB=OD=x，∴BD=2x，∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∴x+1=2（x-1），解得：x=3，∴BD=2x=6，∴BD的長(zhǎng)為6；（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∵△DCN的面積為2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，∴S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，∴四邊形ABNM的面積為5．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比是解題的關(guān)鍵．
 

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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