銳角三角函數(shù)sinA 、csA、tanA 、ctA分別等于直角三角形中哪兩條邊的比？
珠穆朗瑪峰，海拔8844.43米，為世界第一高峰，位于喜馬拉雅山中段之中尼邊界上、西藏日喀則地區(qū)定日縣正南方．峰頂終年積雪，一派圣潔景象．珠峰地區(qū)擁有4座8000米以上、38座7000米以上的山峰，被譽(yù)為地球第三級(jí)．
珠穆朗瑪峰那么高，它的高度是怎樣測(cè)出來的？
測(cè)量珠峰高程，首先確定珠峰海拔高程起算點(diǎn)．我國(guó)是以青島驗(yàn)潮站的黃海海水面為海拔零起始點(diǎn)（水準(zhǔn)原點(diǎn)），因?yàn)闇y(cè)繪人員已取得西藏拉孜縣相對(duì)青島水準(zhǔn)原點(diǎn)的精確高程，測(cè)量隊(duì)只需要從拉孜起測(cè)．前半程仍采用傳統(tǒng)而精確的水準(zhǔn)測(cè)量法，每隔幾十米豎立一個(gè)標(biāo)桿，通過水準(zhǔn)儀測(cè)出高差，一站一站地將高差累加起來就可得出準(zhǔn)確數(shù)字．這樣一直傳遞到珠峰腳下6個(gè)峰頂交會(huì)測(cè)量點(diǎn)．
當(dāng)精確高程傳遞至珠峰腳下的6個(gè)峰頂交會(huì)測(cè)量點(diǎn)時(shí)，通過在峰頂豎立的測(cè)量覘標(biāo)，運(yùn)用“勾股定理”的基本原理，推算出峰頂相對(duì)于這幾個(gè)點(diǎn)的高程差． 最后，通過進(jìn)行重力、大氣等多方面的改正計(jì)算，確定珠峰高程．GPS測(cè)量，則是將GPS測(cè)量設(shè)備帶至峰頂直接獲取數(shù)據(jù)，然后通過一系列的復(fù)雜計(jì)算取得珠峰精確高程．
【知識(shí)與能力】 1．掌握直角三角形的邊角關(guān)系； 2．會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．【過程與方法】 通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步分析問題、解決問題的能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．
重點(diǎn)：直角三角形的解法．難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用．
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？
△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b＝3，∠A＝30°，求∠B，a，c．
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90o
在下圖的Rt△ABC中， （1）根據(jù)∠A=60°，斜邊AB=6，試求出這個(gè)直角三角形的其他元素．
∠B＝30°；AC＝3，BC＝
（2）根據(jù)AC=3，斜邊AB=6，試求出這個(gè)直角三角形的其他元素？
∠B＝30°；∠A＝60，BC＝
在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果再知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可求出其余的元素．
解直角三角形??? 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫解直角三角形．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝40°，解這個(gè)直角三角形(精確到0.1) ．
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
∴∠A≈56.1°，∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．
?? （1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，解直角三角形．
∠A＝41.4°∠B＝48.6°
???? （2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，???? Ⅰ．a(chǎn)＝6，sinA＝ ，求b，c，tanA；???? Ⅱ．a(chǎn)＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．
Ⅰ． b＝ c＝15
（3） 在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解這個(gè)三角形．
兩直角邊一斜邊，一直角邊
一銳角，一直角邊一銳角，一斜邊
已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便；已知直邊求直邊，正切余切理當(dāng)然；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要選好；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知銳角求銳角，互余關(guān)系要記好；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦；計(jì)算方法要選擇，能用乘法不用除．
在進(jìn)行測(cè)量時(shí)：從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角．
如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）
【例3 】 如圖， 在上海黃埔江東岸，矗立著亞洲第一的電視塔“東方明珠”，某校學(xué)生在黃埔江西岸B處，測(cè)得塔尖D的仰角為45°，后退400m到A點(diǎn)測(cè)得塔尖D的仰角為30°，設(shè)塔底C與A、B在同一直線上，試求該塔的高度．
∴AC=xtan60°=400+x
（1）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1500米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角a=25°，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離（精確到1米）．
答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離為3000.0米．
（2）如圖，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測(cè)得其俯角α=82°．已知觀察所A的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度）為45m，當(dāng)時(shí)水位為+2m，求觀察所A到船只B的水平距離BC（精確到0.01m）．
所以觀察所A到船只B的水平距離BC為307.14m．
【例4】如圖，海島A四周45海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見島A在北偏西60?，航行18海里到C，見島A在北偏西45?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？
∵ ∠PBA= 60?， ∠P1CA= 30?，
∴ ∠ABC=30?， ∠ACD= 30?，
在Rt△ADC中， CD=AD?ct∠ACD= x?ct60?，
在Rt△ADB中， BD=AD?ct45?= x?ct45?，
∵ BD－CD＝BC，BC＝18
∴ x?ct45?- x?ct60?=18
≈9×(3＋1.732)=42.588 < 45
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AD=x
（1）如圖，一艘漁船正以40海里/小時(shí)的速度由西向東趕魚群，在A處看某小島C在船的北偏東60°，半個(gè)小時(shí)后，漁船行止B處，此時(shí)看見小島C在船的北偏東30°．已知以小島C為中心，周圍15海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能?
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
CD=ADtan30°=BDtan60°
所以這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)．
（2）正午8點(diǎn)整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，距離等于20海里的A處，正以每小時(shí)10海里的速度向南偏東60°方向航行．那么漁輪到達(dá)小島O的正東方向是什么時(shí)間？（精確到1分）．
（3）如圖，海島A的周圍15海里內(nèi)有暗礁，魚船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得海島A位于北偏東60°，航行16海里到達(dá)點(diǎn)C處，又測(cè)得海島A位于北偏東30°，如果魚船不改變航向繼續(xù)向東航行．有沒有觸礁的危險(xiǎn)？
【例5】燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，下圖是一燕尾槽的橫斷面，其中燕尾角B是45°，外口寬AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口寬BC（精確到1mm）．
解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BC
答：它的里口寬BC長(zhǎng)為320mm．
遇到有關(guān)等腰梯形的問題，應(yīng)考慮如何添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的組合圖形，從而把求等腰梯形的下底的問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題．
如圖，在離地面高度5米處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，求拉線AC的長(zhǎng)以及拉線下端點(diǎn)A與桿底D的距離AD（精確到0.01米）．
AC約為5.77米AD約為2.89米
坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．
【例6 】（1）如圖，溫州某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為30cm，深為30cm．為方便殘廢人士，現(xiàn)擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起始點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn)為C，現(xiàn)將斜坡的坡角∠BCA設(shè)計(jì)為12°，求AC的長(zhǎng)度． （sin12°≈ 0.2079）
在Rt△BDC中，∠C=12°
∴ AC=282－60=222（cm）
（2）如圖，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.5m，測(cè)得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少（精確到0.1m）．
上述問題可以歸結(jié)為： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
解：在Rt△ABC中，
答：斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是6米．
（1）如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工速度，要從小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)（精確到0.1m），正好能使A、C、E成一條直線？
解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE的一個(gè)外角．∴∠BED=∠ABD－∠D=90°∴DE=BD·csD=500×0.6428 =321.400≈321.4（m） 答：開挖點(diǎn)E離D為321.4米，正好能使A、C、E成一直線．
（2）如圖 ，水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到0.1m）．
壩底AD的寬為132.5m，斜坡AB的長(zhǎng)為72.7m．
（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）； （2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形； （3）得到數(shù)學(xué)問題的答案； （4）得到實(shí)際問題的答案．
利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：
1．解直角三角形的依據(jù)
2．利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：
1．在△ABC中，∠C=90°，解這個(gè)直角三角形．
⑴∠A=60°，斜邊上的高CD = ；
⑵∠A=60°，a+b=3+ ．
解：（1）∠B = 90°-∠A = 30°
2．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB．（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的長(zhǎng)．
3．如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
求：sinB，csB，tanB的值．
過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，垂足為D
∵AB=AC=13， AD⊥BC，BC=10
4．為測(cè)量松樹AB的高度，一個(gè)人站在距松樹20米的E處，測(cè)得仰角∠ACD=56o，已知人的高度是1．76米，求樹高（精確到0.01米）．
解：在Rt△ACD中，
∴AD=CDtanC=BEtanC
=20×1.4826≈29.65(米)．
∴AB=AD+BD=29.65+1.76=31.41(米)．
答：樹高31.41米．
5．如圖，在△ABC中，已知AC=8，∠C=75°，∠B= 45°，求△ABC的面積．
解:過C作CD⊥AB于D，
∵ ∠BDC = 90°
AD=AC·cs60°=4
6．我軍某部在一次野外訓(xùn)練中，有一輛坦克準(zhǔn)備通過一座小山，已知山腳和山頂?shù)乃骄嚯x為1000米，山高為580米，如果這輛坦克能夠爬30°的斜坡，試問：它能不能通過這座小山？
∴∠A > 30°∴這輛坦克不能通過這座小山．
tanA>tan30°
∴tanA =
解：∵ BC⊥AC ， BC=570米 ， AC=1000米

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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版

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