2021學(xué)年23.2解直角三角形及其應(yīng)用習(xí)題

這是一份2021學(xué)年23.2解直角三角形及其應(yīng)用習(xí)題，文件包含專題233解直角三角形解析版docx、專題233解直角三角形原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁， 歡迎下載使用。
?2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬科版】
專題23.3解直角三角形
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2020秋?漢壽縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，則BC的長是（　?。?br />
A．43 B．47 C．6 D．8
【分析】如圖，過點C作CE⊥BA交BA的延長線于E．解直角三角形求出AE，EC，再利用勾股定理求出BC．
【解析】如圖，過點C作CE⊥BA交BA的延長線于E．

∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC?cos60°＝4，EC＝AC?sin60°＝43，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC=BE2+EC2=82+(43)2=47，
故選：B．
2．（2017春?思明區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC=12∠BAC，則cos∠BPC＝（　?。?br />
A．34 B．45 C．35 D．43
【分析】先過點A作AE⊥BC于點E，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAE=12∠BAC，得出∠BPC＝∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的長，利用銳角三角函數(shù)的定義，即可得出答案．
【解析】過點A作AE⊥BC于點E，如圖所示：
∵AB＝AC＝5，
∴BE=12BC=12×8＝4，∠BAE=12∠BAC，
∵∠BPC=12∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=AB2-BE2=52-42=3，
∴cos∠BPC＝cos∠BAE=AEAB=35．
故選：C．

3．（2021?涼山州模擬）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，則下列比值中不等于sinA的是（　?。?br />
A．CDAC B．BDCB C．CBAB D．CDCB
【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．
【解析】在Rt△ABC中，sinA=BCAB，
在Rt△ACD中，sinA=CDAC，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD=BDCB，
故選：D．
4．（2020?開平市二模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝1.5，BC＝2，則cosB的值是（　?。?br />
A．23 B．32 C．34 D．43
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)余弦的定義計算即可．
【解析】∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，
∴AB＝2CD＝3，
在Rt△ABC中，cosB=BCAB=23，
故選：A．
5．（2019?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一點，若tan∠DAB=15，則AD的長為（　　）

A．22 B．13 C．213 D．8
【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝62，∠B＝45°，可得DE＝BE，由題意可得AE＝5DE，即可求AE，DE的值，由勾股定理可求AD的長．
【解析】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，

∵等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，
∴AB＝62，∠B＝45°，且DE⊥AB
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵tan∠DAB=15=DEAE，
∴AE＝5DE，
∵AB＝AE+BE＝5DE+DE＝6DE＝62
∴DE=2，AE＝52
∴AD=AE2+DE2=213
故選：C．
6．（2019?碑林區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB=34，CD為AB邊上的中線，CE平分∠ACB，則AEAD的值（　?。?br />
A．35 B．34 C．45 D．67
【分析】如圖，過點E和點D作EF⊥AC，DG⊥AC于點F和G，可得EF∥DG∥BC，根據(jù)已知條件和兩條直線平行對應(yīng)邊成比例可得EF=47AC，根據(jù)三角函數(shù)可得BC=43AC，進(jìn)而可求結(jié)果．
【解析】如圖，過點E和點D作EF⊥AC，DG⊥AC于點F和G，

∴EF∥DG，
∴AEAD=EFDG，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECF=12ACB＝45°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠FEC＝45°，
∴EF＝FC，
∴AF＝AC﹣FC＝AC﹣EF，
∵CD為AB邊上的中線，
∴DG∥BC，DG=12BC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴tan∠AEF＝tan∠B=34，
∴AFEF=34，
即AC-EFEF=34，
解得EF=47AC，
∵ACBC=34，
∴BC=43AC，
∴EFDG=EF12BC=47AC12×43AC=67．
∴AEAD=EFDG=67．
故選：D．
7．（2020秋?河口區(qū)期末）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則cos∠BAC的值為（　?。?br />
A．43 B．34 C．35 D．45
【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)勾股定理可求出AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解析】過點C作CD⊥AB于點D，
∵AD＝3，CD＝4，
∴由勾股定理可知：AC＝5，
∴cos∠BAC=ADAC=35，
故選：C．

8．（2020秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（1，3），點P與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（　?。?br /> A．1010 B．13 C．31010 D．3
【分析】如圖，過P點作PA⊥x軸于A，則∠POA＝α，利用P點坐標(biāo)得到OA＝1，PA＝3，然后根據(jù)正切的定義求出tan∠POA的值即可．
【解析】如圖，過P點作PA⊥x軸于A，
則∠POA＝α，
∵點P的坐標(biāo)為（1，3），
∴OA＝1，PA＝3，
∴tan∠POA=PAOA=31=3，
即tanα＝3．
故選：D．

9．（2019秋?松江區(qū)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高，cosC=13，則△BCD與△ABD的面積比是（　?。?br />
A．1：3 B．2：7 C．2：9 D．2：11
【分析】作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形得到AC=92CD，即可得到ADCD=72，然后根據(jù)三角形面積公式求得S△BCDS△ABD=12CD?BD12AD?BD=CDAD=27．
【解析】作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC=12BC，
∵在Rt△AEC中，cosC=ECAC=13，
∴AC＝3EC，
∴AC=32BC，
在Rt△BCD中，cosC=CDBC=13，
∴BC＝3CD，
∴AC=92CD，
∴ADCD=72，
∴S△BCDS△ABD=12CD?BD12AD?BD=CDAD=27，
故選：B．

10．（2021?郫都區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，則CD的值為（　?。?br />
A．43 B．25 C．65 D．2
【分析】延長AD、BC，兩線交于O，解直角三角形求出OB，求出OC，根據(jù)勾股定理求出OA，求出△ODC∽△OBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可．
【解析】延長AD、BC，兩線交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA=43=OBAB，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴DCAB=OCOA，
∴DC3=25，
解得：DC=65，
故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2021?無棣縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝8，AC＝6，則cos∠DCB＝　34?。?br />
【分析】根據(jù)已知條件推出∠DCB＝∠A，即可通過在Rt△ABC求cos∠A的值求出cos∠DCB的值．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，
在Rt△CDB中，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A，
∴cos∠DCB＝cos∠A=ACAB=68=34；
故答案為：34．
12．（2021?南山區(qū)校級一模）如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則tan∠ACB等于　3?。?br />
【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，先求出△ABC的各邊及CD的長，利用三角形的面積公式再求出BD的長，最后在直角三角形中求出∠ACB的正切值．
【解析】過點B作BD⊥AC，垂足為D．
∵AB＝5，AC=1+32=10，BC=32+42=5，
∴CD=102．
∵S△ABC＝15-32-12×4×3=152，
S△ABC=12×AC×DB，
∴12×10×BD=152，
∴BD=1510=3210．
在Rt△BCD中，
tan∠ACB=BDCD=3．
故答案為：3．

13．（2020秋?溫江區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB=5，AC＝22，AD是BC邊上的高，則BC的長度為 　3?。?br />
【分析】在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)可求出AD和CD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求出BD，再由BC＝CD+BD即可求出BC的長．
【解析】在Rt△ADC中，CD＝AD＝AC×sinC＝22×22=2，
在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=(5)2-22=1，
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3，
故答案為：3．
14．（2020春?南崗區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥直線AC于點D，若cos∠BAD=23，BD＝25，則CD為　2或10?。?br /> 【分析】根據(jù)∠BAD的余弦設(shè)AD＝2x，AB＝3x，過點B作BD⊥AC于D，利用勾股定理列方程求出x，從而求出AD、AB，然后分△ABC是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況再求出CD．
【解析】∵cos∠BAD=23，
∴設(shè)AD＝2x，AB＝3x，
過點B作BD⊥AC于D，
根據(jù)勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
即（2x）2+（2 5）2＝（3x）2，
解得x＝2，
∴AD＝4，AB＝6，
如圖1，△ABC是銳角三角形時，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
如圖2，△ABC是鈍角三角形時，CD＝AC+AD＝6+4＝10；
綜上所述，CD的長為2或10．
故答案為：2或10．

15．（2020?高密市二模）如圖，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO=35，則點F的坐標(biāo)是?。?，12）?。?br />
【分析】過點F作直線FA∥OG，交y軸于點A，過點G作GH⊥FA于點H，先由平行線的性質(zhì)及互余關(guān)系證明∠FEA＝∠HFG＝∠FGO；再解Rt△AEF，求得AE及AF，然后判定四邊形OGHA為矩形，則可求得FH；解Rt△FGH，求得FG及HG，則點F的坐標(biāo)可得．
【解析】過點F作直線FA∥OG，交y軸于點A，過點G作GH⊥FA于點H，則∠FAE＝90°，

∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO=35，
∴cos∠FEA=35，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×35=6，
∴根據(jù)勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四邊形OGHA為矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，F(xiàn)HFG=cos∠HFG＝cos∠FGO=35，
∴FG＝9÷35=15，
∴由勾股定理得：HG=152-92=12，
∴F（8，12）．
故答案為：（8，12）．
16．（2020秋?徐匯區(qū)期末）如圖，點P在線段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC=12，那么DP的長是　655?。?br />
【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，則∠C＝∠APB，由tan∠APB=ABBP，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD=62-DP2，得出DP62-DP2=12，即可得出結(jié)果．
【解析】∵DP⊥AP，CD⊥DP，
∴AP∥CD，
∴∠C＝∠APB，
∵AB⊥BC，
∴tan∠APB=ABBP，
∵tanC=12，
∴2BP=12，
∴BP＝4，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，
在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD=PC2-DP2=62-DP2，
∴DP62-DP2=12，
解得：DP=655或DP=-655（不合題意舍去），
故答案為：655．
17．（2021?山西模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，點D在邊AC上，點E在邊BC上，sin∠ADE=45，ED＝5，如果△ECD的面積是6，那么BC的長是　93-6?。?br />
【分析】如圖，過點E作EF⊥BC于F，過點A作AH⊥CB交CB的延長線于H．解直角三角形求出BH，CH即可解決問題．
【解析】如圖，過點E作EF⊥BC于F，過點A作AH⊥CB交CB的延長線于H．

∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB?cos60°＝6，AH＝AB?sin60°＝63，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE=EFDE=45，
∴EF＝4，
∴DF=DE2-EF2=52-42=3，
∵S△CDE＝6，
∴12?CD?EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC=EFCF=AHCH，
∴46=63CH，
∴CH＝93，
∴BC＝CH﹣BH＝93-6．
故答案為：93-6．
18．（2020秋?閔行區(qū)期中）我們把有三個內(nèi)角相等的凸四邊形叫做三等角四邊形，例如：在四邊形PQMN中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四邊形PQMN是三等角四邊形．請閱讀以上定義，完成下列探究：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB=13，如果點D在邊AB上，AD＝6，點E在邊AC上，四邊形DBCE是三等角四邊形，那么線段CE的長是　173?。?br />
【分析】如圖，過點A作AJ⊥BC于J，連接CD，解直角三角形求出BK，CKAK，再利用相似三角形的性質(zhì)求出DH，AH，想辦法求出EH，即可解決問題．
【解析】如圖，過點A作AJ⊥BC于J，連接CD，

過點C作CK⊥AB于K，過點D作DH⊥AC于H．
∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，
∴BJ＝JC，
∵cosB=BJAB=13，
∴BJ＝JC＝3，
∵CK⊥AB，
∴cosB=BKBC=13，
∴BK＝2，CK=BC2-BK2=62-22=42，
∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，
∴△AHD∽△AKC，
∴ADAC=AHAK=DHCK，
∴69=AH7=DH42，
∴AH=143，DH=823，
∵四邊形DBCE是三等角四邊形，
∴∠DEH＝∠B，
∴cos∠DEH＝cos∠B=13=EHDE，
設(shè)EH＝m，DE＝3m，
在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，
∴（3m）2＝m2+（823）2，
∴m=43或-43（舍棄），
∴EH=43，
∴AE＝AH﹣EH=143-43=103，
∴CE＝AC﹣AE＝9-103=173．
故答案為：173．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2020?宿遷一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A和a，請寫出解Rt△ABC的過程．

【分析】由角的關(guān)系可得∠B，再利用正弦，正切可求出c，b．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A和a，
∴∠B＝90°﹣∠A，
∵sinA=ac，
∴c=asinA，
∵tanA=ab，
∴b=atanA．
20．（2021?浦東新區(qū)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D在邊BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE．
（1）求線段AE的長；
（2）求∠ACE的余切值．

【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出AE的長；
（2）過點E作EH⊥AC于點H．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EH＝AH的值，再根據(jù)三角函數(shù)即可求出∠ACE的余切值．
【解析】（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，cosB=BEBD=22．
∴BE=322
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=42，
∴AE=522
（2）如圖，過點E作EH⊥AC于點H．

∴在Rt△AHE中，cosA=AHAE=22，
AH＝AE?cos45°=52，
∴CH=AC-AH=4-52=32，
∴EH＝AH=52，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH=CHEH=35，
即∠ACE的余切值是35．
21．（2021?嘉定區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA=35．D是AB邊的中點，過點D作直線CD的垂線，與邊BC相交于點E．
（1）求線段CE的長；
（2）求sin∠BDE的值．

【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根據(jù)斜邊上的中線求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；
（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出關(guān)于BF的關(guān)系式，從而求出∠BDE的正弦值．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA=35，
∴ACAB=35，
∴AB＝10，
∴BC=AB2-AC2=8，
又∵D為AB中點，
∴AD＝BD＝CD=12AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB=CDCE，cos∠B=BCAB，
∴5CE=810，
∴CE=254；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE=254，
則BE＝8-254=74，DE=CE2-CD2=154，
設(shè)BF＝x，則DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2=(154)2-(5-x)2，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2=(74)2-x2，
∴22516-（5﹣x）2=4916-x2，
解得x=75，
∴EF2＝（74）2﹣（75）2=49×916×25，
EF=2120，
∴sin∠BDE=EFDE=725．

22．（2021?上海模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB=32，BC＝10．
（1）求AB的長；
（2）如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．

【分析】（1）過點A作AE⊥BC，構(gòu)造兩個直角三角形，分別用特殊角和三角函數(shù)求解．
（2）過D作DF⊥BC，分別在兩個直角三角形中求解．
【解析】（1）過A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，

∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵cotB=32，
在Rt△BEA中，BEAE=32，
設(shè)BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB=52=213．
（2）由（1）知AB＝213，
又∵D為AB的中點，
∴BD＝AD=13，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE=12BE＝3．
∴DF=12AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB=27．
23．（2021?奉賢區(qū)二模）如圖，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，點D是AC的中點，聯(lián)結(jié)BD并延長至點E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求點E到直線BC的距離．

【分析】（1）過D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；
（2）過A作AH⊥BE于H，過E作EG∥AC交BC延長線于G，先求BE，再用相似三角形性質(zhì)得到答案．
【解析】（1）過D作DF⊥AB于F，如圖：

∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC=AB2-BC2=23，sin∠BAC=12，
∴∠BAC＝30°，
∵點D是AC的中點，
∴AD＝CD=3，
∴BD=BC2+CD2=7，
Rt△ADF中，DF＝AD?sin∠BAC=32，
Rt△BDF中，sin∠ABE=DFBD=2114；
（2）過A作AH⊥BE于H，過E作EG∥AC交BC延長線于G，如圖：

∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴BCAH=BDAD=CDHD，
∵BC＝2，CD＝AD=3，BD=7，
∴2AH=73=3HD，解得AH=2217，HD=377，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE=AHtan30°=677，
∴BE＝BD+DH+HE=1677，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴EGDC=BEBD，即EG3=16777，
∴EG=1637．
方法二：過E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴ABBE=BDAB，
即4BE=74，
∴BE=1677，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴EGDC=BEBD，即EG3=16777，
∴EG=1637，
∴點E到直線BC的距離為1637．
24．（2021?青浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是邊AB上一點，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足為點E．
（1）求AD的長；
（2）求∠EBC的正切值．

【分析】（1）過C點作CH⊥AD于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AH＝DH，再證明∠ACH＝∠ABC，則sin∠ACH＝sin∠ABC=13，然后利用正弦的定義求出AH，從而得到AD的長；
（2）在Rt△ABC中先求出AB＝9，則BD＝7，再證明∠HCD＝∠EBD，則sin∠EBD=DEBD=13，利用正弦的定義求出DE=73，接著利用勾股定理計算出BE，然后根據(jù)正切的定義求解．
【解析】（1）過C點作CH⊥AD于H，如圖，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC=13，
在Rt△ACH中，sin∠ACH=AHAC=13，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=13，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD=DEBD=13，
∴DE=13BD=73，
∴BE=72-(73)2=1423，
在Rt△EBC中，tan∠EBC=ECEB=3+731423=427．