《圖形的全等》單元檢測題A卷答案 解析一、單選題1．對于條件：①兩條直角邊對應(yīng)相等；②斜邊和一銳角對應(yīng)相等；③斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；④直角邊和一銳角對應(yīng)相等；以上能斷定兩直角三角形全等的有（　?。?/span>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案 ：D． 2．圖中的小正方形邊長都相等，若，則點Q可能是圖中的（       ）A．點D B．點C C．點B D．點AA【分析】根據(jù)全等三角形的判定即可解決問題．【詳解】解：觀察圖象可知△MNP≌△MFD．故選：A． 3．下列命題的逆命題一定成立的是（       ）①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③全等三角形的周長相等；④能夠完全重合的兩個三角形全等．A．①②③ B．①④ C．②④ D．②C【分析】求出各命題的逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：①對頂角相等，逆命題為：相等的角為對頂角，是假命題不符合題意；②同位角相等，兩直線平行，逆命題為：兩直線平行，同位角相等，是真命題，符合題意；③全等三角形的周長相等. 逆命題為：周長相等的兩個三角形全等，是假命題，不符合題意；④能夠完全重合的兩個三角形全等. 逆命題為：兩個全等三角形能夠完全重合，是真命題，符合題意；故逆命題成立的是②④，故選C． 4．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線，E是AB上一點，且AE＝AD，連接ED，作EF⊥BD于F，連接CF．則下面的結(jié)論：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，則S△ADE＝10．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?/span>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案 C． 5．如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃在△ABC中內(nèi)部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（       ）的交點．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點 D．三條垂直平分線A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到探照燈的位置在角平分線的交點處，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，∴探照燈位置是△ABC的三條角平分線上，故選：A． 6．下列說法正確的是（       ）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個全等圖形形狀一定相同C．兩個周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個正三角形一定是全等圖形B【分析】根據(jù)全等圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：A：兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤，不符合題意；B：兩個全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；C：兩個周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯誤，不符合題意；D：兩個正三角形不一定是全等圖形，故D錯誤，不符合題意；故選：B． 7．觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是（       ）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)角平分線畫法逐一進行判斷即可．【詳解】：所作線段為AB邊上的高，選項錯誤；B：做圖痕跡為AB邊上的中垂線，CD為AB邊上的中線，選項錯誤；C：CD為的角平分線，滿足題意。D：所作線段為AB邊上的高，選項錯誤故選：Ｃ. 8．如圖，，若，則的度數(shù)是（       ）A．80° B．70° C．65° D．60°B【分析】由根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和進行求解即可．【詳解】，，，，，，故選：B． 9．如圖，與相交于點O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（       ）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABO和△DCO中，，∴，故B正確．故選：B． 10．如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（       ）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DPD【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．二．填空題（24分）11.如圖10，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為____________.答案 13．30° 12.在一次小制作活動中，艷艷剪了一個燕尾圖案（如圖11），她用刻度尺量得AB=AC，BO=CO，為了保證圖案的美觀，她準備再用量角器量一下∠B與∠C是否相等，小麥走過來說：“不用量了，一定相等.”你認為小麥的說法________.（填“正確”或“錯誤”）正確提示：根據(jù)題意，得△AOB≌△AOC（SSS），所以∠B=∠C.13．如圖12，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC的_________.(填“中線”或“角平分線”)    中線提示：根據(jù)題意，得△BDE≌△CDF（AAS），所以BD=CD.14. 如圖 13，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E.若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為             .  圖13                 圖14答案 82° 如圖14，在△ABC中，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（0，4），點C的坐標為（4，3），點D在第二象限，且△ABD與△ABC全等，點D的坐標是            . 答案 （-4，3）或（-4，2）  16. 程老師制作了如圖15-①所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題，操作學(xué)具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既能在以點 A 為圓心，8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動.圖15-②是操作學(xué)具時，所對應(yīng)某個位置的圖形示意圖，有以下結(jié)論：①當∠PAQ=30°，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的△PAQ；②當∠PAQ=30°，PQ=9時，可得到形狀唯一確定的△PAQ；③當∠PAQ=90°，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的△PAQ；④當∠PAQ=150°，PQ=12時，可得到形狀唯一確定的△PAQ.其中正確的是           . （填序號）答案 ②③④  提示：如題圖①，當∠PAQ=30°，PQ=6時，以點P為圓心，PQ長為半徑畫弧，與射線AM有兩個交點，則△PAQ 的形狀不能唯一確定，①不正確；當∠PAQ=30°，PQ=9時，以點 P為圓心，PQ 長為半徑畫弧，與射線AM有一個交點，則可得形狀唯一確定的△PAQ，②正確；當∠PAQ=90°，PQ=10時，以P點為圓心，PQ長為半徑畫弧，與射線AM有一個交點，則可得形狀唯一確定的△PAQ，③正確；當∠PAQ=150°，PQ=12時，以點P為圓心，PQ長為半徑畫弧，與射線AM有一個交點，則可得形狀唯一確定的△PAQ，④正確. 三．解答題（66分）17.（8分）如圖22，在△ABC中，∠B=∠C，D是BA延長線上的一點，E是AC的中點.（1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）.①作∠DAC的平分線AM；②連接BE并延長交AM于點F.（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的關(guān)系，并證明.  解：（1）如圖所示：  （2）AF∥BC且AF=BC. 證明：因為∠DAC=∠ABC＋∠C，∠ABC=∠C，所以∠DAC =2∠C.又∠DAC=2∠FAC，所以∠C=∠FAC.所以AF∥BC.因為E是AC的中點，所以AE=CE.在△AEF和△CEB中，∠FAC=∠C，AE=CE，∠AEF=∠CEB，所以△AEF≌△CEB（ASA）.所以AF=BC.18.（10分）如圖，分別過點C、B作△ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E、F．（1）求證：BF＝CE；（2）若△ACE的面積為4，△CED的面積為3，求△ABF的面積．解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（AAS），∴BF＝CE；（2）∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD，∵S△ACE＝4，SCED＝3，∴S△ACD＝S△ABD＝7，∵△BFD≌△CED，∴S△BDF＝S△CED＝3，∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．19.（10分）如圖，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分線，且交于點P.(1)求∠APB的度數(shù)．(2)求證：點P在∠C的平分線上．(3)求證：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE. 【答案】解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分線，∴∠BAP＝∠BAC，∠ABP＝∠ABC.∴∠BAP＋∠ABP＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.(2)證明：如圖，過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分別為F，G，H.∵AE，BD分別平分∠BAC，∠ABC，∴PF＝PG，PF＝PH.∴PH＝PG.又∵PG⊥AC，PH⊥BC，∴點P在∠C的平分線上．(3)證明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，∴∠GPH＝120°.∴∠GPE＋∠EPH＝120°.又∵∠APB＝∠DPE＝∠DPG＋∠GPE＝120°，∴∠EPH＝∠DPG.在△PGD和△PHE中，∴△PGD≌△PHE.∴PD＝PE.②如圖，在AB上截取AM＝AD.在△ADP和△AMP中，∴△ADP≌△AMP.∴∠APD＝∠APM＝60°.∴∠EPB＝∠MPB＝60°.在△EBP和△MBP中，∴△EBP≌△MBP.∴BE＝BM.∴AB＝AM＋BM＝AD＋BE.
 20（12分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線交BC于點D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）求證：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求線段BE的長．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）證明：設(shè)∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，則∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，連接MD，如圖所示：在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴，即BM的長為4．  21.（14分）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是　      ；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是　　．（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC； ②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2； （2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2； （3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時S△DCF1=S△BDE；過點D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點F2也是所求的點，∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長為或．  22.（14分）如圖，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，過點C作射線CD∥AB．點M從點B出發(fā)，以3cm/s的速度沿BC勻速移動；點N從點C出發(fā)，以acm/s的速度沿CD勻速移動．點M、N同時出發(fā)，當點M到達點C時，點M、N同時停止移動．連接AM、MN，設(shè)移動時間為t（s）．（1）點M、N從移動開始到停止，所用時間為 　               　s；（2）當△ABM與△MCN全等時，①若點M、N的移動速度相同，求t的值；②若點M、N的移動速度不同，求a的值．答案 解：（1）點M的運動時間t＝（秒），故答案為；（2）①∵點M、N的移動速度相同，∴CN＝BM，∵CD∥AB，∴∠NCM＝∠B，∴當CM＝AB時，△ABM與△MCN全等，則有12＝20﹣3t，解得t＝；②∵點M、N的移動速度不同，∴BM≠CN，∴當CN＝AB，CM＝BM時，兩個三角形全等，∴運動時間t＝，∴a＝＝．    

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1.5 三角形全等的判定

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