理解并掌握線段的垂直平分線的判定.
能夠運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題.
線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.
幾何語言：∵直線l是AB的垂直平分線，點P在直線l上，∴PA =PB．
如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是 cm.
思考：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
已知：如圖，PA =PB．求證：點P 在線段AB 的垂直平分線上．
證明：過點P 作AB 的垂線PC，垂足為點C．則∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴點P 在線段AB 的垂直平分線上．
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
幾何語言：∵PA =PB，∴點P 在AB 的垂直平分線上．
【作用】判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
你能再找一些到線段AB 兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？ 這些點能組成什么幾何圖形？
與A，B 的距離相等的點都在直線l上，所以直線l 可以看成與A、B兩點的距離相等的所有點的集合.
幾何語言：∵AB =AC，MB =MC，∴直線AM 是線段BC 的垂直平分線．
這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.
例1 已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ OE是CD的垂直平分線.
又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC.
例2 已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點O，連接OA，OB，OC.求證：點O在AC的垂直平分線上.
證明 ： ∵點O在線段AB的垂直平分線上，
∴ 點O在AC的垂直平分線上.
1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（　?。〢．AB垂直平分CD；B ．CD垂直平分AB ；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
2.在銳角三角形ABC內(nèi)一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC ( )A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點C.三條高的交點D.三邊垂直平分線的交點
4.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經(jīng)過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有 （填序號）.
3.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有　　　　種.
5.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且AC =BC， AD=BD，AB與CD相交于點O.求證：AO=BO.
證明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD為線段AB的垂直平分線.
又 ∵AB與CD相交于點O，
6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.
7.如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．
分析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分， ∴OC＝OD，AO＝OB， 且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下： 在△AOC和△AOD中， ∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD， ∴△AOC≌△AOD(SSS)， ∴∠CAO＝∠DAO. 又∵OE⊥AC，OF⊥AD， ∴OE＝OF.

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1.5 三角形全等的判定

版本： 浙教版

年級： 八年級上冊

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