某校運動會上，某運動員擲鉛球時，他所擲的鉛球的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq \f(1,12)x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3).
[問題] (1)此函數(shù)是一元二次函數(shù)嗎？
(2)當(dāng)x滿足什么條件時，圖象在x軸的上方？



知識點一 一元二次函數(shù)的圖象變換
1．拋物線
通常把一元二次函數(shù)的圖象叫作拋物線．
2．一元二次函數(shù)的圖象變換
一元二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象可以由y＝ax2的圖象經(jīng)過向左(或向右)平移|h|個單位長度，再向上(或向下)平移|k|個單位長度而得到．
eq \a\vs4\al()
一元二次函數(shù)圖象變換
一元二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a決定了函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了函數(shù)圖象的左、右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了函數(shù)圖象的上、下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．
知識點二 一元二次函數(shù)的性質(zhì)
一元二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)有如下性質(zhì)：
(1)函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象是一條拋物線，頂點坐標(biāo)是(h，k)，對稱軸是直線x＝h；
(2)當(dāng)a＞0時，拋物線開口向eq \a\vs4\al(上)；在區(qū)間(－∞，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；在區(qū)間[h，＋∞)上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x＝h處有最小值，記作ymin＝eq \a\vs4\al(k)．
當(dāng)a＜0時，拋物線開口向eq \a\vs4\al(下)；在區(qū)間(－∞，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間[h，＋∞)上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。缓瘮?shù)在x＝h處有最大值，記作ymax＝eq \a\vs4\al(k)．
1．已知某一元二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝2x2的圖象的形狀一樣，開口方向相反，且其頂點為(－1，3)，則此函數(shù)的解析式為( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：選D 設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝－2(x＋h)2＋k，根據(jù)頂點為(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函數(shù)解析式為y＝－2(x＋1)2＋3，故選D.
2．如果將一元二次函數(shù)y＝a(x＋m)2＋n的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的函數(shù)圖象的對稱軸為x＝3，最大值為1，則m，n的值為( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－5,n＝3)) B．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝－1))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1,n＝3)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1,n＝3))
解析：選D 由題意知，變換后所得函數(shù)的解析式為y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后將函數(shù)y＝a(x－3)2＋1的圖象先向上平移2個單位長度，得到函數(shù)y＝a(x－3)2＋3，再將所得函數(shù)圖象向左平移2個單位長度，可得到函數(shù)y＝a(x－1)2＋3的圖象，因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝3，))故選D.
[例1] 已知一元二次函數(shù)的最大值是8，且當(dāng)x＝2時，y＝－1；當(dāng)x＝－1時，y＝－1.求此一元二次函數(shù)的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求一元二次函數(shù)的解析式為y＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用頂點式)：設(shè)y＝a(x－m)2＋n.
∵當(dāng)x＝2時，y＝－1，且x＝－1時，y＝－1.
∴拋物線的對稱軸為x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2).
∴m＝eq \f(1,2).又根據(jù)題意知函數(shù)有最大值8，∴n＝8.
∴y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8.
又拋物線過點(2，－1)，
∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
eq \a\vs4\al()
求一元二次函數(shù)解析式時，應(yīng)根據(jù)已知條件的特點，選用解析式的形式，利用待定系數(shù)法求解．
(1)若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，a，b，c為常數(shù)，a≠0的形式；
(2)若已知一元二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大(小)值，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(其中頂點(h，k)，a為常數(shù)，a≠0)；
(3)若已知一元二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，則設(shè)所求一元二次函數(shù)為兩根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a為常數(shù)，且a≠0)．
[跟蹤訓(xùn)練]
根據(jù)下列條件，求一元二次函數(shù)的解析式：
(1)過點(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)圖象頂點為(1，2)并且過點(0，4)；
(3)圖象過點(2，0)，(4，0)，(0，3)．
解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c，
由題設(shè)知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝2.))
∴函數(shù)解析式為y＝x2－2x＋2.
(2)設(shè)所求函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式為y＝2x2－4x＋4.
(3)設(shè)所求函數(shù)解析式為y＝a(x－2)(x－4)，
整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝eq \f(3,8).
∴解析式為y＝eq \f(3,8)(x－2)(x－4).
[例2] (鏈接教科書第33頁例1)拋物線y＝2(x－1)2＋3可以看作是由拋物線y＝2x2經(jīng)過以下哪種變換得到的( )
A．向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度
C．向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度
D．向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度
[解析] ∵拋物線y＝2(x－1)2＋3頂點坐標(biāo)為(1，3)，拋物線y＝2x2頂點坐標(biāo)為(0，0)，∴拋物線y＝2(x－1)2＋3可以看作由拋物線y＝2x2向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的．
[答案] B
eq \a\vs4\al()
一元二次函數(shù)圖象平移問題的解題策略
(1)要注意平移的方向，即由哪個函數(shù)變換到另一個函數(shù)；
(2)將函數(shù)化為y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式；
(3)判定h與k的正負(fù)，利用“左加右減，上加下減”的規(guī)則判定平移的方向和大?。?
[跟蹤訓(xùn)練]
將拋物線y＝eq \f(1,2)x2－6x＋21向左平移2個單位長度后，再向上平移2個單位長度，得到新拋物線的解析式為( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋5 B．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋5
C．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋3 D．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋3
解析：選B 拋物線y＝eq \f(1,2)x2－6x＋21＝eq \f(1,2)(x－6)2＋3，它的頂點坐標(biāo)是(6，3)．將其向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到新拋物線的頂點坐標(biāo)(4，5)，所以新拋物線的解析式是y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋5.
[例3] (鏈接教科書第33頁練習(xí)1題)(1)求函數(shù)y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；
(2)在區(qū)間[2，3]上，求函數(shù)y＝x2－3x－7的最大值與最小值．
[解] (1)由y＝x2－3x－7＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(37,4)，
∵x∈R，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(3,2)時，ymin＝－eq \f(37,4).
(2)由(1)知，該函數(shù)的對稱軸為直線x＝eq \f(3,2)?[2，3]，圖象開口向上，在區(qū)間[2，3]上，函數(shù)值y隨x的增大而增大，
∴函數(shù)在區(qū)間[2，3]上，函數(shù)在x＝3處取最大值，即ymax＝－7，在x＝2時取最小值，即ymin＝－9.
[母題探究]
(變條件)若本例 (2)條件變?yōu)閤∈[－1，3]，求函數(shù)的最大值與最小值．
解：由函數(shù)的對稱軸為直線x＝eq \f(3,2)∈[－1，3]，圖象開口向上，∴當(dāng)x＝eq \f(3,2)時，函數(shù)取得最小值，ymin＝－eq \f(37,4)，函數(shù)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))上函數(shù)值y隨x的增大而減小，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))上函數(shù)值y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)x＝3時，ymax＝－7.
eq \a\vs4\al()
求一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法
一看開口方向；
二看對稱軸和區(qū)間的相對位置，簡稱“兩看法”．
[跟蹤訓(xùn)練]
一元二次函數(shù)y＝－x2＋2x－5，當(dāng)x取全體實數(shù)時，有( )
A．最大值－5 B．最小值－5
C．最大值－4 D．最小值－4
解析：選C 配方，得y＝－(x－1)2－4，所以當(dāng)x＝－1時，ymax＝－4.
[例4] 已知一元二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.
(1)求此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，并畫出函數(shù)圖象；
(2)求此函數(shù)圖象與x軸，y軸的交點坐標(biāo)，并求出以此三點為頂點的三角形面積；
(3)x為何值時，y>0，y＝0，y0，
∴函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標(biāo)是(1，－8)．
列表：
描點并畫圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖象，如圖所示．
(2)由圖象得，函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為A(－1，0)，B(3，0)，與y軸的交點坐標(biāo)為C(0，－6)．
S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·|OC|＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
(3)由函數(shù)圖象知，當(dāng)x3時，y>0；當(dāng)x＝－1或x＝3時，y＝0；當(dāng)－1

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.1 一元二次函數(shù)

版本： 北師大版 (2019)

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