測試卷1 二次函數(shù)單元測試卷-【專題突破】2022-2023學年九年級數(shù)學上學期重難點及章節(jié)分類精品講義(浙教版)-試卷下載-教習網(wǎng)

?《二次函數(shù)》單元測試卷
考試范圍：九上第一章；考試時間：100分鐘；滿分：120分
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．在下列關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），可得答案．
【解答】解：A、y＝﹣3x是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、xy＝2不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
C、a＝0時不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
D、y＝2x2+5是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
故選：D．
2．在平面直角坐標系xOy中，點（2，m）和點（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＜0）上．已知點（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在該拋物線上．若mn＜0，比較y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根據(jù)mn＜0可得（4a+2b）（16a+4b）＜0，即可得到2a+b＞0，4a+b＜0，進一步得到b＞﹣2a＞0，求得y2﹣y3的符號以及y2﹣y1的符號即可判斷y1，y2，y3的大小關(guān)系．
【解答】解：∵點（2，m）和點（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＜0）上，
∴4a+2b＝m，16a+4b＝n，
∵mn＜0，
∴（4a+2b）（16a+4b）＜0，
∴2a+b與4a+b異號，
∵a＜0，
∴2a+b＞4a+b，
∴2a+b＞0，4a+b＜0，
∴b＞﹣2a＞0，
∵（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在該拋物線上，
∴y1＝a﹣b，y2＝a+b，y3＝9a+3b，
∵y2﹣y1＝（a+b）﹣（a﹣b）＝2b＞0，
∴y2＞y1，
∵y2﹣y3＝（a+b）﹣（9a+3b）＝﹣4（2a+b）＜0，
∴y2＜y3，
∴y1＜y2＜y3．
故選：B．
3．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2+bx與y＝ax+b的圖象不可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)a、b與0的大小關(guān)系以及與x軸的交點情況即可作出判斷．
【解答】解：函數(shù)y＝ax2+bx與y＝ax+b的圖象交于x軸上同一點（﹣，0），
A．二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，a＞0，ab＜0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則a＞0，b＜0，一致，且交于x軸上同一點，不合題意；
B．二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，a＜0，ab＞0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則a＜0，b＜0，一致，且交于x軸上同一點，不合題意；
C．二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，a＜0，ab＜0，則b＞0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則a＜0，b＞0，一致，且交于x軸上同一點，不合題意；
D．二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，a＞0，ab＜0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則a＞0，b＜0，一致，不交于x軸上同一點，符合題意；
故選：D．
4．根據(jù)以下表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函數(shù)和一元二次方程的性質(zhì)．
【解答】解：觀察表格可知：當x＝0.5時，y＝﹣0.5；當x＝1時，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1．
故選：B．
5．某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（　?。?br />
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【分析】先用含x的代數(shù)式表示苗圃園與墻平行的一邊長，再根據(jù)面積＝長×寬列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，則苗圃園與墻平行的一邊長為（40﹣2x）米．
依題意可得：y＝x（40﹣2x）．
故選：C．
6．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）開口向下且過點A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列結(jié)論：
①2b+c＞0；
②2a+c＜0；
③a（m+1）﹣b+c＞0；
④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則4ac﹣b2＜4a；
則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由拋物線經(jīng)過（1，0）可得b＝﹣a﹣c，由x＝2時y＜0可推出2a+c＜0，2b+c＞0，從而判斷①②，由a（m+1）﹣b+c＝am+a﹣b+c及a﹣b+c＝0可判斷③，將方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為拋物線與直線y＝1有兩個交點的問題可判斷④．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵拋物線開口向下，﹣2＜m＜﹣1，
∴x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，②正確．
∵2a+c＜0，
∴﹣2a﹣c＞0，即2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，①正確．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵a（m+1）﹣b+c＝am+a﹣b+c，am＞0，a﹣b+c＝0，
∴a（m+1）﹣b+c＞0，③正確．
若a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
則a（x﹣m）（x﹣1）＝1，有兩個不相等的實數(shù)根，
∵拋物線開開口向下，
∴拋物線頂點縱坐標大于1，
即＞1，
∴4ac﹣b2＜4a，④正確．
故選：A．
7．如圖，矩形OABC中，A（﹣4，0），C（0，2），拋物線y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的頂點為M，下列說法正確的結(jié)論有（　　）
①當M在矩形OABC內(nèi)部或其邊上時，m的取值范圍是﹣4≤m≤﹣1；
②拋物線頂點在直線y＝﹣x+1上；
③如果頂點在△AOC內(nèi)（不包含邊界），m的取值范圍是﹣＜m＜0．

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【分析】①先確定頂點M的的表達式，再根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式組求解即可；
②將①確定的頂點坐標代入直線y＝﹣x+1進行判定即可；
③先確定直線AC的解析式，然后再列出關(guān)于m的不等式組求解即可．
【解答】解：①∵y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴頂點M的坐標為（m，﹣m+1）．
∵當M在矩形OABC內(nèi)部或其邊上，
∴，
即：，
∴﹣1≤m≤0，故①錯誤．
②∵頂點M的坐標為（m，﹣m+1），
∴當x＝m時，有﹣m+1＝﹣m+1，
拋物線頂點在直線y＝﹣x+1上，即②滿足題意．
③∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴直線AC的拋物線為y＝x+2．
∵頂點M在△AOC內(nèi)（不包含邊界），
∴，
即：，
∴﹣＜m＜0，③正確．
故選：C．
8．如圖，將一個含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點A的坐標為（1，0），點C在y軸上．過點A，C作拋物線y＝2x2+bx+c，且點A為拋物線的頂點．要使這條拋物線經(jīng)過點B，那么拋物線要沿對稱軸向下平移（　　）

A．5個單位 B．6個單位 C．7個單位 D．8個單位
【分析】過B作BM⊥x軸于M，由拋物線的頂點為A，求解拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△CAO≌△ABM，再求解B的坐標，再寫出向下平移n個單位后的拋物線的解析式，代入B的坐標即可得到答案．
【解答】解：如圖，過B作BM⊥x軸于M，

∵拋物線y＝2x2+bx+c的頂點為A（1，0），
∴，
∴b＝﹣4，
∴2﹣4+c＝0，
解得：c＝2，
∴拋物線為：y＝2x2﹣4x+2，
∴C（0，2），
∵AC＝AB，∠CAB＝∠COA＝∠AMB＝90°，
∴∠CAO+∠BAM＝∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠CAO＝∠ABM，
∴△CAO≌△ABM（AAS），
∴CO＝AM＝2，OA＝BM＝1，
∴B（3，1），
∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，設(shè)拋物線向下平移n個單位后過B點，
∴y＝2（x﹣1）2﹣n過B點，
∴8﹣n＝1，
解得：n＝7．
故選：C．
9．物理課上我們學習了豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：
①小球在空中經(jīng)過的路程是40m
②小球拋出3s后，速度越來越快
③小球拋出3s時速度為0
④小球的高度h＝30m時，t＝1.5s
其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象中的信息判斷即可．
【解答】解：①由圖象知小球在空中達到的最大高度是40m；故①錯誤；
②小球拋出3秒后，速度越來越快；故②正確；
③小球拋出3秒時達到最高點即速度為0；故③正確；
④設(shè)函數(shù)解析式為：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，
∴函數(shù)解析式為，
把h＝30代入解析式得，，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m時，t＝1.5s或4.5s，故④錯誤；
故選D．
10．定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y＝x+b經(jīng)過點M（0，），一組拋物線的頂點B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n為正整數(shù)），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n為正整數(shù)）．若x1＝d（0＜d＜1），當d為（　　）時，這組拋物線中存在美麗拋物線．

A．或 B．或 C．或 D．
【分析】由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點縱坐標必定小于1．
【解答】解：直線l：y＝x+b經(jīng)過點M（0，），則b＝；
∴直線l：y＝x+．
由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；
∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．
∵0＜d＜1，
∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點縱坐標小于1）；
∵當x＝1時，y1＝×1+＝＜1，
當x＝2時，y2＝×2+＝＜1，
當x＝3時，y3＝×3+＝＞1，
∴美麗拋物線的頂點只有B1、B2．
①若B1為頂點，由B1（1，），則d＝1﹣＝；
②若B2為頂點，由B2（2，），則d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
綜上所述，d的值為或時，存在美麗拋物線．
故選：B．
二．填空題（每小題4分，共24分）
11．請寫出一個過點（0，1）且開口向上的二次函數(shù)解析式　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上，要求a＞0即可．
【解答】解：∵開口向上，
∴a＞0，
且與y軸的交點為（0，1），
∴函數(shù)解析式可以為：y＝x2+1（答案不唯一），
故答案為：y＝x2+1．
12．某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件．如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是　　．
【分析】由題意可知，每件商品的售價上漲x元，則每件的利潤為60﹣50+x＝（10+x）元，每月銷售量減少10x件，每個月的銷售量為（200﹣10x）件，根據(jù)總利潤＝單個利潤×銷售量，代入計算即可得出關(guān)系式，由件售價不能高于72元，可得自變量x的取值范圍為0≤x≤12．
【解答】解：每件商品的售價上漲x元，則每件的利潤為60﹣50+x＝（10+x）元，每月銷售量減少10x件，
根據(jù)題意可得，
y＝（10+x）（200﹣10x）
＝﹣10x2+100x+2000，
∵每件售價不能高于72元，
∴0≤x≤12．
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．
故答案為：y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．
13．根據(jù)物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是h＝﹣5t2+20t，當飛行時間t為　　s時，小球達到最高點．
【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出結(jié)論．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴當t＝2時，h有最大值，最大值為20，
故答案為：2．
14．在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當她與跳臺邊緣的水平距離為
　　m時，豎直高度達到最大值．

【分析】把拋物線解析式化為頂點式，由函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴當x＝8時，y有最大值，最大值為4，
∴當她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．
故答案為：8．
15．如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y＝﹣x2+6的部分圖象與其關(guān)于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標是　　．

【分析】根據(jù)對稱性，表示A、B兩點的坐標，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式，代入求值即可．
【解答】解：如圖，

過點A作AD⊥x軸，交x軸于點E，交直線y＝x于點D，連接BD，
∵A、B關(guān)于直線y＝x對稱，
設(shè)A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四邊形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵，
∴，
（4）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴當a1＝﹣2時，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
點A的坐標為（﹣2，2）；
當a2＝1時，b＝a+4＝1+4＝5，
點A的坐標為（1，5）．
故答案為：（﹣2，2）或（1，5）．
16．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A、C分別在x軸和y軸上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中點，M是線段OC上的點且OM＝OC，點P是線段OM上一個動點，經(jīng)過P、D、B三點的拋物線交x軸的正半軸于點E，連接DE交AB于點F．
（1）當點P與原點重合時，此時的拋物線解析式是　 ??；
（2）以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊△DFG，當動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動，則點G的運動路徑的長是　 ?。?br />
【分析】（1）求出點B、D的坐標，再將B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）當P點在O點時，△DFG是等邊三角形，當P點在M點時，△DF'G'是等邊三角形，可證明△DFF'≌△DGG'（SAS），則FF'＝GG'，求出FF'長即為G點的運動軌跡長．
【解答】解：（1）∵A（3，0），C（0，），四邊形OABC是矩形，
∴B（3，），
∵D是BC的中點，
∴D（，），
∵點P與原點重合，
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx，
將B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x，
故答案為：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，
∴OM＝，
∴M（0，），
如圖：當P點在O點時，△DFG是等邊三角形，當P點在M點時，△DF'G'是等邊三角形，
∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，
∴∠GDG'＝∠FDF'，
∴△DFF'≌△DGG'（SAS），
∴FF'＝GG'，
當P點與O點重合時，y＝﹣x2+x，
令y＝0，則x＝0或x＝，
∴E（，0），
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F（3，）；
當P點與M點重合時，
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
將點B（3，），D（，），P（0，）代入，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令y＝0，則﹣x2+x+＝0，
解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），
設(shè)直線ED的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F'（3，）；
∴FF'＝﹣＝，
∴GG'＝，
∴點G的運動路徑的長是，
故答案為：．

三．解答題（共7小題）
17．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，求：
（1）點A、B、C的坐標；
（2）△ABC的面積．

【分析】（1）根據(jù)題意得出求出圖象與x軸以及y軸交點坐標；
（2）根據(jù)A，B，C的坐標求出AB，CO長，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6．
18．（6分）一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應(yīng)值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
12
…
（1）m的值為　 ??；
（2）在給定的直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象；
（3）當y≥0 時，則x的取值范圍是　　．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）描點法畫出函數(shù)圖象即可；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)y＝ax2+bx+c（a≠0），
將點（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）代入，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
當x＝4時，m＝5，
故答案為：5；
（2）如圖所示：
（3）如圖，當y≥0時，x≥3或x≤﹣1，
故答案為：x≥3或x≤﹣1．

19．（8分）已知拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點為M．
（1）若點M的坐標是（﹣2，﹣4），求拋物線的解析式．
（2）求證：不論k取何值，拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方．
（3）若拋物線y＝x2+2kx+k﹣2關(guān)于直線y＝﹣k對稱后得到新的拋物線的頂點為M′，若M′落在x軸上，請直接寫出k的值．
【分析】（1）利用頂點式寫出拋物線解析式；
（2）設(shè)頂點M的縱坐標為m，利用頂點的坐標公式得到m＝，再進行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，從而可判斷拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根據(jù)直線y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
【解答】（1）解：∵拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點為M的坐標為（﹣2，﹣4），
∴拋物線解析式為y＝（x+2）2﹣4；
（2）證明：設(shè)頂點M的縱坐標為m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不論k取何值，拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M點關(guān)于直線y＝﹣k的對稱點M′落在x軸上，
而M點在x軸下方，
即直線y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值為1或2．
20．（8分）已知拋物線y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常數(shù)．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝．
①求該拋物線的函數(shù)解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
【分析】（1）先把拋物線解析式化為一般式，再計算△的值，得到△＝1＞0，于是根據(jù)Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）①根據(jù)對稱軸方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；
②根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個交點得到△＝52﹣4（6+k）＝0，
然后解關(guān)于k的方程即可．
【解答】（1）證明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6；
②設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6+k，
∵拋物線y＝x2﹣5x+6+k與x軸只有一個公共點，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．
21．（8分）如圖，拋物線y＝x2+bx與直線y＝﹣x+2相交于A，B兩點．
（1）求拋物線的對稱軸及頂點坐標．
（2）已知P（t，m）和Q（4，n）是拋物線上兩點，且m＜n，求t的取值范圍．
（3）請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式﹣x+2≥x2+bx的解集．

【分析】（1）將y＝0代入直線解析式求出點A坐標，從而可得b的值，進而求解．
（2）將點Q坐標代入拋物線解析式求出n的值，根據(jù)拋物線開口方向及對稱軸求解．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，求出點B，A的橫坐標，結(jié)合圖象求解．
【解答】解：（1）將y＝0代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝0，
解得x＝2，
∴A的坐標為（2，0），
∴4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
當x＝1時，y＝1﹣2＝﹣1，
∴頂點坐標為（1，﹣1）．
（2）將（4，n）代入y＝x2﹣2x得n＝16﹣8＝8，
∵拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴（4，8）關(guān)于對稱軸的對稱點坐標為（﹣2，8），
∵m＜8，拋物線開口向上，
∴﹣2＜t＜4．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴點B橫坐標為﹣1，點A橫坐標為2，
由圖象可得﹣1≤x≤2時﹣x+2≥x2+bx．
22．（10分）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？
（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)每件的銷售利潤×每天的銷售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，
由題意可知：，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；
（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，
當x＜19時，w隨x的增大而增大，
∴當x＝15時，w有最大值，最大值為525．
答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．
23．（10分）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對于實數(shù)a，b，當a≤x≤b且b＝a+3時，函數(shù)y有最大值ymax，最小值ymin，設(shè)h＝y(tǒng)max﹣ymin，則稱h為y的“極差函數(shù)”（此函數(shù)為h關(guān)于a的函數(shù)）；特別的，當h＝y(tǒng)max﹣ymin為一個常數(shù)（與a無關(guān)）時，稱y有“極差常函數(shù)”．
（1）判斷下列函數(shù)是否有“極差常函數(shù)”？如果是，請在對應(yīng)（　　）內(nèi)畫“√”，如果不是，請在對應(yīng)（　?。﹥?nèi)畫“×”．
①y＝2x （　　）；
②y＝﹣2x+2 （　 ?。?；
③y＝x2 （　 ?。?br /> （2）y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝px+q，它與兩坐標軸圍成的面積為1，且它有“極差常函數(shù)”h＝3，求一次函數(shù)解析式；
（3）若，當a≤x≤b（b＝a+3）時，寫出函數(shù)y＝ax2﹣bx+4的“極差函數(shù)”h；并求4ah的取值范圍．
【分析】（1）①由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，則y＝2x是“極差常函數(shù)”；
②由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，則y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”；
③由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當a+3≤0時，h＝﹣9﹣6a不是常數(shù)，則y＝x2 不是“極差常函數(shù)”，
（2）根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得＝2，再分兩種情況討論：當p＞0時，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；當p＜0時，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分別求出p、q的值即可求函數(shù)的解析式；
（3）函數(shù)的對稱軸為直線x＝+，由a的范圍確定≤+≤，≤a+3≤，由此可得當x＝a時，y有最大值a2﹣a（a+3）+4，當x＝時，y有最小值4﹣，則h＝，4ah＝（a﹣3）2，再由a的范圍確定4ah的范圍即可．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而增大，
∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“極差常函數(shù)”，
故答案為：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而減小，
∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，
∴y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”，
故答案為：√；
∵y＝x2 是二次函數(shù)，函數(shù)的對稱軸為直線x＝0，
當a+3≤0時，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；
當a≥0時，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；
∴y＝x2 不是“極差常函數(shù)”，
故答案為：×；
（2）當x＝0時，y＝q，
∴函數(shù)與y軸的交點為（0，q），
當y＝0時，x＝﹣，
∴函數(shù)與x軸的交點為（﹣，0），
∴S＝×|q|×|﹣|＝1，
∴＝2，
當p＞0時，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，
∴p＝1，
∴q＝±，
∴函數(shù)的解析式為y＝x；
當p＜0時，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，
∴p＝﹣1，
∴q＝±，
∴函數(shù)的解析式為y＝﹣x；
綜上所述：函數(shù)的解析式為y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，
∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝，
∵b＝a+3，
∴x＝＝+，
∵，
∴≤+≤，≤a+3≤，
∵a＞0，a＜+＜a+3，
∴當x＝a時，y有最大值a2﹣a（a+3）+4，
當x＝時，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a2﹣a（a+3）+4﹣4+＝，
∴4ah＝（a﹣3）2，
∴≤4ah≤．
24．（10分）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），且與x軸交于點B（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時點A、B的對應(yīng)點分別為點C、D．
①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當四邊形ABCD為矩形時，求m的值；
②在①的條件下，若點M是直線x＝m上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標，設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a（x﹣1）2+4，再把B（﹣1，0）代入即可得出答案；
（2）①過點A（1，4）作AE⊥x軸于點E，根據(jù)∠BAD＝∠BEA＝90°，又因為∠ABE＝∠DBA，證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2＝BE?BD，將BD＝2（m+1），BE＝2，AE＝4代入即可求出m的值；
②根據(jù)上問可以得到C（7，﹣4），點M的橫坐標為4，B（﹣1，0），要讓以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當以BC為邊時，存在平行四邊形為BCMQ；2）當以BC為邊時，存在平行四邊形為BCQM；3）當以BC為對角線時，存在平行四邊形為BQCM；即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為A（1，4），
∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵點P在x軸正半軸上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋轉(zhuǎn)可得：BD＝2BP，
∴BD＝2（m+1），
過點A（1，4）作AE⊥x軸于點E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
當四邊形ABCD為矩形時，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE?BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；

②由題可得點A（1，4）與點C關(guān)于點P（4，0）成中心對稱，
∴C（7，﹣4），
∵點M在直線x＝4上，
∴點M的橫坐標為4，
存在以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，
1）當以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，
∴將點M向左平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）當以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，
∴將M向右平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）當以BC為對角線時，點M向左平移5個單位，與點B的橫坐標相同，
∴點C向左平移5個單位后，與點Q的橫坐標相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
綜上所述，存在符合條件的點Q，其坐標為（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．

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