第5講  二次函數(shù)的實際應(yīng)用【知識點(diǎn)睛】?        利潤最大化問題與二次函數(shù)模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進(jìn)價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹(jǐn)記兩轉(zhuǎn)化：①銷量轉(zhuǎn)化為售價的一次函數(shù)；②總利潤轉(zhuǎn)化為售價的二次函數(shù)；函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；?        利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟設(shè)自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品成本用含自變量的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達(dá)式根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時的自變量的值注意：①與現(xiàn)實生活結(jié)合類問題，常需要自己先建立合適的平面直角坐標(biāo)系，之后再根據(jù)信息做題；②二次函數(shù)實際應(yīng)用的問題，如果是分段函數(shù)，最后需要寫成一個整體，后邊分別寫上對應(yīng)的取值范圍【類題訓(xùn)練】1．（2022?金安區(qū)校級開學(xué)）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年一月GDP總值約為6百億元人民幣，若合肥市三月GDP總值為y百億元人民幣，平均每個月GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（　?。?/span>A．y＝6（1+2x）   B．y＝6（1﹣x）2   C．y＝6（1+x）2   D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）22．（2021秋?科左中旗期末）某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（　?。?/span>A．y＝x（40﹣x）  B．y＝x（18﹣x）   C．y＝x（40﹣2x）  D．y＝2x（40﹣2x）3．（2022?沂南縣一模）足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（　　）t01234567…h08141820201814…A．足球距離地面的最大高度超過20m     B．足球飛行路線的對稱軸是直線t＝ C．點(diǎn)（10，0）在該拋物線上         D．足球被踢出5s～7s時，距離地面的高度逐漸下降4．（2022?鎮(zhèn)江一模）如圖，在長為20m、寬為14m的矩形花圃里建有等寬的十字形小徑，若小徑的寬不超過1m，則花圃中的陰影部分的面積有（　?。?/span>A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值2665．（2022?南山區(qū)模擬）某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每降價1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，求最大銷售額是（　　）A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元6．（2022?晉中一模）板球是以擊球、投球和接球為主的運(yùn)動，該項目主要鍛煉手眼的協(xié)調(diào)能力，集上肢動作控制能力、技巧與力量為一體的綜合性運(yùn)動．如圖，是運(yùn)動員擊球過程中板球運(yùn)動的軌跡示意圖，板球在點(diǎn)A處擊出，落地前的點(diǎn)B處被對方接住，已知板球經(jīng)過的路線是拋物線，其表達(dá)式為y＝﹣x2+x+1，則板球運(yùn)行中離地面的最大高度為（　?。?/span>A．1 B． C． D．47．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，DE∥AB，則S△BDE的最大值是（　?。?/span>A．3 B．4 C．5 D．68．（2021秋?硚口區(qū)期末）以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第1秒與第3秒高度相等，則下列四個時間中，小球飛行高度最高的時間是（　?。?/span>A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒9．（2022?連云港一模）某景點(diǎn)的“噴水巨龍”口中C處的水流呈拋物線形，該水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系如圖所示，D為該水流的最高點(diǎn)，DA⊥OB，垂足為A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，則該水流距水平面的最大高度AD的為 　  　m．10．（2022?玉環(huán)市一模）斜拋小球，小球觸地后呈拋物線反彈，每次反彈后保持相同的拋物線形狀（開口方向與開口大小前后一致），第一次反彈后的最大高度為h1，第二次反彈后的最大高度為h2．第二次反彈后，小球越過最高點(diǎn)落在垂直于地面的擋板C處，且離地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．則為 　    　． 11．（2022?長春一模）圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C、D為水柱的落水點(diǎn)．已知雕塑OA高米，與OA水平距離5米處為水柱最高點(diǎn)，落水點(diǎn)C、D之間的距離為22米，則噴出水柱的最大高度為 　   　米．12．（2022春?長興縣月考）如圖是王明正在設(shè)計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，B，C三個點(diǎn)，D在y軸上，且AB＝2，在BC上方有五個臺階（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，第一個臺階到x軸距離BD＝10．從點(diǎn)A處向右上方沿拋物線y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)P落在臺階上時，落點(diǎn)的坐標(biāo)是 　      　． 13．（2021秋?濰坊期末）某橋梁的橋洞可視為拋物線，AB＝12m，最高點(diǎn)C距離水面4m．以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時，該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x．已知點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，位于點(diǎn)C右側(cè)且距離水面3m，若以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以平行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系時，該拋物線的表達(dá)式為 　          　． 14．（2022?黃岡三模）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為 　   　．15．（2021秋?金湖縣期末）如圖是一座截面為拋物線的拱形橋，當(dāng)拱頂離水面3米高時，水面寬l為6米，則當(dāng)水面下降3米時，水面寬度為 　  　米．（結(jié)果保留根號）16．（2021秋?豐臺區(qū)期末）中國跳水隊在第三十二屆夏季奧林匹克運(yùn)動會上獲得7金5銀12枚獎牌的好成績．某跳水運(yùn)動員從起跳至入水的運(yùn)動路線可以看作是拋物線的一部分，如圖所示，該運(yùn)動員起點(diǎn)A距離水面10m，運(yùn)動過程中的最高點(diǎn)B距池邊2.5m，入水點(diǎn)C距池邊4m，根據(jù)上述信息，可推斷出點(diǎn)B距離水面 　    　m． 17．（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，小明在一次高爾夫球訓(xùn)練中，從山坡下P點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大高度BD為12米時，球移動的水平距離PD為9米．已知山坡PA的坡度為1：2（即AC：PC），洞口A離點(diǎn)P的水平距離PC為12米，則小明這一桿球移動到洞口A正上方時離洞口A的距離AE為 　   　米． 18．（2022?福田區(qū)二模）【綜合與實踐】如圖1，一個橫斷面呈拋物線狀的公路隧道，其高度PH為8米，寬度OA為16米．車輛在此隧道可以雙向通行，但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米（AB＝2米）這一范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道的最小空隙CD不少于米．如圖2，以O點(diǎn)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中的信息回答下列問題：（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)是 　   　，拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是 　   　；（2）求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）根據(jù)題中的要求，可以確定通過隧道車輛的高度不能超過 　  　米．   19．（2022?成都模擬）某企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料，開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價是B原料單價的1.5倍．若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少100kg，生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒還需其它成本9元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品售價為每盒40元時，每天可賣出150盒；如果每盒的售價每漲1元（售價每盒不能高于45元），那么每天少賣10盒．設(shè)每盒漲價x元（x為非負(fù)整數(shù)），每天銷售y盒．（1）求該產(chǎn)品每盒的成本（成本＝原料費(fèi)+其它成本）；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；如何定價才能使每天的利潤w最大且每天銷量較大？每天的最大利潤是多少？    20．（2022?浦江縣模擬）小明、小林兩同學(xué)在操場進(jìn)行實心球訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)實心球的飛行路線可近似看作二次函數(shù)圖象一部分，如圖所示是小明同學(xué)擲的實心球運(yùn)動的路線，其中（0，1.5）點(diǎn)是小明擲實心球時出手位置．（1）求實心球所經(jīng)過路線的函數(shù)表達(dá)式．（2）實心球的落地點(diǎn)離小明有多遠(yuǎn)？（3）小林的個子比小明高，若小林?jǐn)S實心球出手的位置點(diǎn)是（0，1.74），且實心球運(yùn)動的拋物線形狀、對稱軸與小明的相同，問：小林?jǐn)S的實心球位置會比小明的遠(yuǎn)嗎？兩者相差多少？   21．（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有二次函數(shù)關(guān)系．小明在一次擊球過程中測得一些數(shù)據(jù)，如表所示．根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題．飛行時間t/s012飛行高度h/m01520（1）求小球的飛行高度h（單位：m）關(guān)于飛行時間t（單位：s）的二次函數(shù)關(guān)系式．（2）小球從飛出到落地要用多少時間？（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，請求出相應(yīng)的飛行時間；如果不能，請說明理由．    22．（2022春?豐縣月考）某商場購進(jìn)一種每件成本為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）疫情期間，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過30%，那么將售價定為多少，來保證每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？（利潤率＝利潤÷成本×100%）（4）疫情過后，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤率不得超過50%，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈a元（10≤a≤25），捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價的增大而增大．請直接寫出a的取值范圍．   23．（2022?海陵區(qū)一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市場對口罩的需求量仍然較大．某公司銷售一種進(jìn)價為12元/袋的口罩，其銷售量y （萬袋）與銷售價格x （元/袋）的變化如表：價格x（元/袋）…14161820…銷售量y（萬袋）…5432…另外，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價）總計6萬元．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律及學(xué)過的“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”知識，請判斷銷售量y （萬袋）與價格x （元/袋）滿足什么函數(shù)？并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)該公司銷售這種口罩的凈利潤為w （萬元），當(dāng)銷售價格定為多少元時凈利潤最大，最大值是多少？   24．（2022?蘭溪市模擬）如圖1是城市平直道路，道路限速60km/h．A路口停車線l1和B路口停車線l2之間相距S＝400m，A、B兩路口各有一個紅綠燈．在停車線l1后面停著一輛汽車，該汽車的車頭恰好與停車線l1平齊．已知汽車啟動后開始加速，加速后汽車行駛的路程S、速度v與時間t的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖2、3所示．某時刻A路口綠燈亮起，該汽車立即啟動．（車身長忽略不計）（1）求該汽車從停車線l1出發(fā)加速到限速所需的時間；（2）求該汽車最快需要多少時間可以通過停車線l2；（3）若A路口綠燈亮起29s后B路口綠燈亮起，且B路口綠燈的持續(xù)時間為23s．該汽車先加速行駛，然后一直勻速行駛．若該汽車在B路口綠燈期間能順利通過停車線l2，求該汽車勻速行駛過程中速度的取值范圍．  

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