第03講二次函數(shù)的增減性與最值問題-【專題突破】2022-2023學年九年級數(shù)學上學期重難點及章節(jié)分類精品講義(浙教版)-試卷下載-教習網(wǎng)

?第3講二次函數(shù)的增減性與最值問題
考點一：二次函數(shù)的最值
【知識點睛】
v 無區(qū)間范圍的二次函數(shù)最值由a與定點縱坐標共同決定
對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）：
對稱軸：直線；頂點坐標：；
開口向上 a＞0二次函數(shù)有最小值；
開口向下a＜0二次函數(shù)有最大值；
v 區(qū)間范圍內的二次函數(shù)最值通常需要分類討論
區(qū)間范圍內由二次函數(shù)最值求參數(shù)字母值問題的解題步驟：
①找對稱軸畫拋物線簡圖（不需要畫平面直角坐標系）；
②分類討論：讓對稱軸分別在對應取值范圍的左邊、中間、右邊；
結合拋物線的增減性找到最值時的等量關系列方程求解
③判斷所求出的參數(shù)字母的值是否在對應分類討論的取值范圍內，不在則舍去。
【類題訓練】
1．二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣8的圖象的頂點坐標是（　?。?br /> A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴拋物線頂點坐標為（3，1），
故選：B．
2．已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當﹣2≤x≤3時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（　?。?br /> A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2
【分析】由二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx可得對稱軸為x＝2，分為m＞0和m＜0兩種情況，當m＞0時，二次函數(shù)開口向上，當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝，當m＜0時，二次函數(shù)開口向下，當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝﹣，即可求解．
【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣4mx，
∴對稱軸為x＝＝＝2，
①當m＞0時，
∵二次函數(shù)開口向上，
∴當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，
將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝，
②當m＜0時，
∵二次函數(shù)開口向下，
∴當﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，
將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝﹣，
綜上，m的值為或﹣，
故選：B．
3．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx（m為常數(shù)），當﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為﹣3，則m的值是（　?。?br /> A． B． C．﹣2或 D．或
【分析】分類討論拋物線對稱軸的位置確定出m的范圍即可．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2mx（m為常數(shù)），得到對稱軸為直線x＝m，拋物線開口向上，
當m≥2時，由題意得：當x＝2時，y最小值為﹣3，代入得：4﹣4m＝﹣3，即m＝＜2，不合題意，舍去；
當﹣1≤m≤2時，由題意得：當x＝m時，y最小值為﹣3，代入得：﹣m2＝﹣3，即m＝或m＝﹣（舍去）；
當m＜﹣1時，由題意得：當x＝﹣1時，y最小值為﹣3，代入得：1+2m＝﹣3，即m＝﹣2，
綜上，m的值是﹣2或，
故選：C．
4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象過點A（4，m），當x≤2時，y≥m+1，當x＞2時，y≥m，則當x＝6時，y的值為（　?。?br /> A．2 B．4 C．m D．m+1
【分析】由x≤2時，y≥m+1，x＞2時，y≥m，可得二次函數(shù)最小值為m，由圖象過點A（4，m）可得二次函數(shù)對稱軸為x＝4，且函數(shù)開口向上，由對稱性可得x＝6時與x＝2時的函數(shù)值相同，即可得出結果．
【解答】解：∵當x≤2時，y≥m+1，當x＞2時，y≥m，
∴二次函數(shù)最小值為m，
∴二次函數(shù)開口向上，
∵圖象過點A（4，m），
∴二次函數(shù)對稱軸為x＝4，
∵x≤2時，y≥m+1，
∴當x＝2時，y＝m+1，
∴當x＝6時，y＝m+1，
故選：D．
5．已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x+3，當﹣1≤x≤2時，y的取值范圍是（　　）
A．y≤5 B．y≤3 C．﹣3≤y≤3 D．﹣3≤y≤5
【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)拋物線開口方向及頂點坐標求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴拋物線開口向下，頂點坐標為（1，5），
將x＝﹣1代﹣1代入y＝﹣2x2+4x+3得y＝﹣2﹣4+3＝﹣3，
∴當﹣1≤x≤2時，y的取值范圍是﹣3≤y≤5，
故選：D．
6．如圖，以圓心角為45°扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y＝x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由∠AOB＝45°可得點A在直線y＝x上，聯(lián)立拋物線與直線方程，求出拋物線與直線有1個交點時k的值，再求出拋物線經(jīng)過點B時k的值，進而求解．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，
∴點A在直線y＝x上，
令x2+k＝x，整理得x2﹣x+k＝0，
∴Δ＝12﹣4×k＝1﹣2k，
當1﹣2k＝0時，k＝，此時拋物線與直線y＝x相切，
當拋物線經(jīng)過B（2，0）時，×4+k＝0，
解得k＝﹣2，
∴﹣2＜k＜滿足題意．
故選：B．
7．二次函數(shù)y＝x2﹣4mx+1﹣m（m為常數(shù)）的頂點M的縱坐標的最大值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先將二次函數(shù)解析式化為頂點式求出拋物線頂點縱坐標，然后將含m代數(shù)式配方求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4mx+1﹣m＝（x﹣2m）2﹣4m2+1﹣m，
∴拋物線頂點為（2m，﹣4m2+1﹣m），
∴M的縱坐標為﹣4m2+1﹣m＝﹣4（m+）2+，
∴當m＝﹣時，M縱坐標最大值為，
故選：A．
8．函數(shù)y＝ax2+bx+3，當x＝1與x＝2021時，函數(shù)值相等，則當x＝2022時，函數(shù)值等于（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對稱性，可以得到該函數(shù)的對稱軸，從而可以得到和x＝2022對應函數(shù)值相等的自變量x的值，然后即可得到當x＝2022時的函數(shù)值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3，當x＝1與x＝2021時，函數(shù)值相等，
∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝1011，
∴x＝2022和x＝1011×2﹣2022＝0時的函數(shù)值相等，
∵當x＝0時，y＝3，
∴當x＝2022時，y＝3，
故選：D．
9．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（　?。?br /> A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣2，可知該函數(shù)的對稱軸在y軸右側，＝﹣3，﹣＞0，再根據(jù)當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，即可得到c的值，然后將c的值代入入＝﹣3，即可得到b的值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當x＞0時，函數(shù)的最小值為﹣3，
∴該函數(shù)的對稱軸在y軸右側，＝﹣3，﹣＞0，
∴b＜0，
∵當x≤0時，函數(shù)的最小值為﹣2，
∴當x＝0時，y＝c＝﹣2，
將c＝﹣2代入＝﹣3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，
故選：C．
10．在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+2m（m為常數(shù)，m＜0），若對于任意的x滿足m≤x≤m+2，且此時x所對應的函數(shù)值的最小值為12，則m＝　﹣2﹣2?。?br /> 【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式，由拋物線對稱軸與開口方向分類討論頂點為圖象最低點或直線x＝m+2與拋物線交點為最低點，進而求解．
【解答】解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為（﹣，﹣+2m），
當m＜﹣＜m+2時，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程無解．
當m≤﹣時，將x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案為：﹣2﹣2．
11．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a2+1，當1≤x≤2時有最小值5，則a的值為　﹣1或4?。?br /> 【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式，從而可得拋物線開口方向及頂點坐標，分類討論x＝1，x＝2時y取最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a2+1＝（x﹣a）2+1，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為（a，1），
∴當a＜1，x＝1時，y＝1﹣2a+a2+1＝5為最小值，
解得a1＝3（舍）或a＝﹣1．
當a＞2，x＝2時，y＝4﹣4a+a2+1＝5為最小值，
解得a3＝4或a4＝0（舍），
∴a＝﹣1或4．
故答案為：﹣1或4．
12．已知點A（t，1）為函數(shù)y＝ax2+bx+4（a，b為常數(shù)，且a≠0）與y＝x圖象的交點．
（1）t＝　1　；
（2）若1≤a≤2，設當≤x≤2時，函數(shù)y＝ax2+bx+4的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值　?。?br /> 【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到結論；
（2）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y(tǒng)＝ax2﹣（a+3）x+4的對稱軸為直線x＝，根據(jù)1≤a≤2，得到對稱軸的取值范圍≤x≤2，當x＝時，得到m＝﹣+，當x＝時，得到n＝﹣﹣+，即可得到結論．
【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
故答案為：1；
（2）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得a+b+4＝1，
∴b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴對稱軸為直線x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤≤2，
∵≤x≤2，
∴當x＝時，y＝ax2+bx+4的最大值為m＝﹣+，
當x＝時，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴當a＝2時，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
故答案為：．
13．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點A（x1，y1）在第一象限內的函數(shù)圖象上，點B（x2，y2）在第二象限內的函數(shù)圖象上．
（1）當y2＝y(tǒng)1＝4時，求x1，x2的值；
（2）若x1+x2＝0，設w＝y(tǒng)1﹣y2，求w的最小值；

【分析】（1）將y2＝y(tǒng)1＝4時代入相應解析式計算即可；
（2）由x1+x2＝0，則x1＝﹣x2，將w化為自變量為x1的二次函數(shù)，求出最小值．
【解答】解：（1））函數(shù)，
由題意可知，y2＝﹣x2，
∵y2＝y(tǒng)1＝4，
∴，
解得x1＝2（負數(shù)舍去），
∴﹣x2＝4，
解得x2＝﹣4，
②∵x1+x2＝0，
∴x1＝﹣x2，
∴，y2＝﹣x2＝x1，
∴，
∴當時，w有最小值為．
14．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+3（m是常數(shù)）．
（1）若m＝1，①該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為 ?。?，2）??；
②當0≤x≤4時，該二次函數(shù)的最小值為　2??；
③當2≤x≤5時，該二次函數(shù)的最小值為　3?。?br /> （2）當﹣1≤x≤3時，該二次函數(shù)的最小值為1，求常數(shù)m的值．
【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用頂點坐標公式求解即可；
②y＝x2﹣2x+3，對稱軸是直線x＝1，在0≤x≤4之間，故可求最小值；
③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5時，y隨x增大而增大，故可求最小值；
（2）根據(jù)最小值，即可求得m值，根據(jù)范圍判斷即可．
【解答】解：（1）當m＝1時，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴頂點坐標為（1，2），
故答案為：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值為2，
故答案為：2；
③y＝x2﹣2x+3，
當2≤x≤5時，在對稱軸x＝1的右側，
y隨x的增大而增大，
∴當x＝2時，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案為：3；
（2）∵對稱軸為x＝，
當m＜﹣1時，且在﹣1≤x≤3時有最小值，
∴x＝﹣1時，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m＝；
當1﹣≤m≤3時，且在﹣1≤x≤3時有最小值，
∴x＝m時，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m＝，
∵﹣1≤m≤3，
∴m＝；
當m＞3時，且在﹣1≤x≤3時有最小值，
∴x＝3時，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m＝＜3，舍去．
綜上所述，m＝或．
15．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）與y軸交于點A．
（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸．
（2）當﹣1≤x≤4時，y的最大值是2．求當﹣1≤x≤4時，y的最小值．
【分析】（1）將x＝0代入解析式求點A坐標，由拋物線對稱軸為直線x＝﹣可得拋物線的對稱軸．
（2）由a＜0可得x＝2時y取最大值，從而可得a的值，進而求解．
【解答】解：（1）將x＝0代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣2，
∴點A坐標為（0，﹣2），
∵y＝ax2﹣4ax﹣2，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2．
（2）∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∵拋物線對稱軸為直線x＝2，
∴當﹣1≤x≤4時，x＝2時y取最大值2，
將x＝2代入y＝ax2﹣4ax﹣2得y＝﹣4a﹣2＝2，
解得a＝﹣1，
∴y＝ax2﹣4ax﹣2＝﹣x2+4x﹣2，
將x＝﹣1代入y＝﹣x2+4x﹣2得y＝﹣1﹣4﹣2＝﹣7，
∴y的最小值為﹣7．
16．已知點A（2，﹣3）是二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m圖象上的點．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
（2）當﹣1≤x≤4時，求函數(shù)的最大值與最小值的差；
（3）當t≤x≤t+3時，若函數(shù)的最大值與最小值的差為4，求t的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式，把解析式化成頂點式，即可求得頂點坐標；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可得到當x＝3時，y最小值＝﹣4，當x＝﹣1時，y最大值＝12，從而求得結論；
（3）分四種情況討論：
①當t+3＜3時，即t＜0，y最大值＝t2﹣6t+5，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
解得（不合題意，舍去）；
②當0≤t＜3時，y最小值＝﹣4，i）當0≤t≤時，y最大值＝t2﹣6t+5，解得t1＝1，t2＝5（不合題意，舍去）；
ii）當＜t＜3時，在x＝t+3時，y最大值＝t2﹣4，解得t1＝2，t2＝﹣2（不合題意，舍去）；
③當t＞3時，y最小值＝t2﹣6t+5，y最大值＝t2﹣4，解得（不合題意，舍去）．
【解答】解：（1）∵已知A（2，﹣3）是二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m圖象上的點
∴4+4m﹣2﹣2m＝﹣3
解得，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴頂點坐標為（3，﹣4）；
（2）∵拋物線開口向上，頂點坐標為（3，﹣4），
∴當x＝3時，y最小值＝﹣4，
當x＝﹣1時，y最大值＝12，
∴當﹣1≤x≤4時，函數(shù)的最大值與最小值的差為16；
（3）當t≤x≤t+3時，對t進行分類討論，
①當t+3＜3時，即t＜0，y隨著x的增大而減小，
當x＝t時，y最大值＝t2﹣6t+5
當x＝t+3時，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝4
﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9＝4，
解得（不合題意，舍去）；
②當0≤t＜3時，頂點的橫坐標在取值范圍內，
∴y最小值＝﹣4，
i）當0≤t≤時，在x＝t時，y最大值＝t2﹣6t+5，
∴t2﹣6t+5﹣（﹣4）＝4，
解得t1＝1，t2＝5（不合題意，舍去）；
ii）當＜t＜3時，在x＝t+3時，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（﹣4）＝4，
∴解得t1＝2，t2＝﹣2（不合題意，舍去）；
③當t＞3時，y隨著x的增大而增大，
當x＝t時，y最小值＝t2﹣6t+5，
當x＝t+3時，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（t2﹣6t+5）＝4，
解得（不合題意，舍去）；
綜上所述，t＝1或2．
考點二：二次函數(shù)的增減性
【知識點睛】
v 常規(guī)問題需要由a與對稱軸共同確定，且拋物線的增減性必須有對應的范圍
對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）：
a＞0時，圖象開口向上；
當時，y隨x的增大而減小，反之則y隨x的增大而增大；
a＜0 時，圖象開口向下；
當時，y隨x的增大而增大，反之則y隨x的增大而減??；
v y1、y2比較大小問題規(guī)律總結：
若點A（x1,y1）、B（x2,y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上的兩個點，則：
當a＞0時，A、B兩點誰離對稱軸越近，誰的縱坐標越?。?br /> 當a＜0時，A、B兩點誰離對稱軸越近，誰的縱坐標越大；
【類題訓練】
1．下列函數(shù)中，y隨x增大而減小的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x+l
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質求解．
【解答】解：∵y＝2x，
∴y隨x增大而增大，選項A錯誤．
∵y＝x2，
∴x＜0時，y隨x增大而減小，x＞0時，y隨x增大而增大，選項B錯誤．
∵y＝﹣x+1，
∴y隨x增大而減小，選項C正確．
∵y＝x+1，
∴y隨x增大而增大，選項D錯誤．
故選：C．
2．畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象時，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
2
3
2
﹣1
﹣6
…
關于此函數(shù)有以下說法：①函數(shù)圖象開口向上；②當x＞2時，y隨x的增大而減??；③當x＝0時，y＝﹣1．其中正確的有（　?。?br /> A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先由表中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大先增大后減小，得到函數(shù)圖象開口向下；利用y＝2時，x＝1或x＝3，得到函數(shù)的對稱軸，再結合開口方向得到函數(shù)的增減性；利用對稱軸為直線x＝1和x＝4時y＝﹣1得到x＝0時的函數(shù)值．
【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大先增大后減小，
∴函數(shù)圖象開口向下，故①錯誤，不符合題意；
∵y＝2時，x＝1或x＝3，
∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝2，
∵開口向下，
∴當x＞2時，y隨x的增大而減小，故②正確，符合題意；
∵對稱軸為直線x＝1，當x＝4時y＝﹣1，
∴x＝0時，y＝﹣1，故③正確，符合題意；
故選：C．
3．已知（x1，y1），（x2，y2）是拋物線y＝x2﹣2x+m．上的點，若﹣3＜x1≤﹣2，3＜x2≤4，則（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出拋物線的開口方向及對稱軸，根據(jù)圖象上的點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標的大?。?br /> 【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+m，
∴二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x＝﹣＝1，
∵﹣3＜x1≤﹣2，3＜x2≤4，
∴點（x1，y1）離對稱軸的距離大于點（x2，y2）離對稱軸的距離，
∴y1＞y2．
故選：A．
4．小明在研究拋物線y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h為常數(shù)）時，得到如下結論，其中正確的是（　　）
A．無論x取何實數(shù)，y的值都小于0
B．該拋物線的頂點始終在直線y＝x﹣1上
C．當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，則h≥2
D．該拋物線上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＜2h，則y1＞y2
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向，頂點坐標及對稱軸方程，進而求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，
∴拋物線開口向下，頂點坐標為（h，﹣h+1），對稱軸為直線x＝h，
∴拋物線最大值為y＝﹣h+1，選項A錯誤，
設h＝x，則﹣h+1＝﹣x+1，
∴拋物線頂點在直線y＝﹣x+1上，選項B錯誤．
∵x≤h時，y隨x增大而增大，
∴h≥2時，若x＜2，則y隨x增大而增大，選項C正確．
∵拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線x＝h，
∴當x1+x2＜2h時，A（x1，y1）與對稱軸的距離大于點B（x2，y2）與對稱軸的距離，
∴y1＜y2，選項D錯誤．
故選：C．
5．已知點（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3的圖象上，當x＝1時，y＜3，則y1，y2，y3的大小比較正確的是（　?。?br /> A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的對稱軸是直線x＝1，根據(jù)當x＝1時，y＜3，得出拋物線開口向上，當x＞1時，y隨x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+3，
∴圖象的對稱軸是直線x＝﹣＝1，
∵當x＝1時，y＜3，
∴拋物線開口向上，x＞1時，y隨x的增大而增大，
∴點（﹣1，y1）關于直線x＝1的對稱點是（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故選：C．
6．已知y＝ax2+2ax+2a2+3二次函數(shù)（其中x是自變量），當x≥2時，y隨x的增大而減小，且﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，則a的值為（　?。?br /> A．2或 B． C． D．1
【分析】根據(jù)系數(shù)可得對稱軸為x＝﹣1，因為x≥2，即在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，所以a＜0，再根據(jù)﹣2≤x≤1時，有最大值9，代入最大值公式求解即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+2ax+2a2+3，
∴對稱軸為x＝，
∵當x≥2時，y隨x的增大而減小，
即在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，
∴a＜0．函數(shù)有最大值．
∵當﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，
∴，
即，
解得a1＝2，a2＝，
∵a＜0，
∴a＝，
故選：C．
7．已知二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象交于（x1，y1）和（x2，y2）兩點，（　　）
A．若a＜0，m＜0，則x1+x2＞2h B．若a＞0，m＜0，則x1+x2＞2h
C．若x1+x2＞2h，則a＞0，m＞0 D．若x1+x2＜2h，則a＞0，m＜0
【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線對稱軸為直線x＝h，由函數(shù)圖象與系數(shù)的關系討論（x1，y1）和（x2，y2）兩點中x1+x2與2h的關系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴拋物線對稱軸為直線x＝h，
∵a＜0，m＜0，
∴拋物線開口向下，一次函數(shù)中y隨x增大而減小，
設x1＜x2，則y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故選：A．
8．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是拋物線y＝x2﹣2tx﹣1上兩點，以下四個命題：①若y的最小值為﹣1，則t＝0；②點A（1，﹣2t）關于拋物線對稱軸的對稱點是B（2t﹣1，﹣2t）；③當t≤1時，若x1+x2＞2，則y1＜y2；④對于任意的實數(shù)t，關于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m總有實數(shù)解，則m≥﹣1，正確的有（　?。﹤€．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質逐項判定即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2tx﹣1
＝（x﹣t）2﹣t2﹣1，
∴拋物線y＝x2﹣2tx﹣1的對稱軸是直線x＝t，頂點坐標是（t，﹣t2﹣1），
①若y的最小值為﹣1，則﹣t2﹣1＝﹣1，
∴t＝0，故①正確；
②把x＝1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，
把x＝2t﹣1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，
∴A（1，﹣2t）和點B（2t﹣1，﹣2t）均在拋物線上，
∵＝t，
∴點A（1，﹣2t）關于拋物線對稱軸的對稱點是B（2t﹣1，﹣2t），故②正確；
③當t≤1時，若x1+x2＞2，
∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵x1＜x2，
∴x2離對稱軸遠，
∴y1＜y2，故③正確；
④∵x2﹣2tx＝1﹣m，
∴x2﹣2tx﹣1+m＝0，
∵對于任意的實數(shù)t，關于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m總有實數(shù)解，
∴△＝4t2﹣4m+4≥0，
解得m≤t2+1，故④錯誤；
綜上所述，正確的有3個，
故選：C．
9．已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，則下列結論正確的是（　?。?br /> ①當x＞2時，y隨x的增大而減?。?br /> ②若圖象經(jīng)過點（0，1），則﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則yl＜y2；
④若圖象上兩點，對一切正數(shù)n，總有y1＞y2，則1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
∵當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴a＜0，開口向下，
∴當x＞2＞x2時，y隨x的增大而減?。?br /> 故①正確；
②∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴a＜0，
若圖象經(jīng)過點（0，1），則
1＝a（0+1）（0﹣m），
得：1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②錯誤；
③∵對稱軸為直線x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，2022離對稱軸近些，
∴yl＜y2；
故③正確；
④若圖象上兩點，對一切正數(shù)n，總有y1＞y2，1＜m＜2，
∵該函數(shù)與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得：1＜m≤，
故④正確；
∴①③④正確，②錯誤，
故選：D．
10．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+t，當x＜2時，y隨x的增大而　增大　.（填“增大”或“減小”）
【分析】由拋物線開口方向及對稱軸求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2，
∴x＜2時，y隨x增大而增大，
故答案為：增大．
11．寫出一個滿足“當x＞2時，y隨x增大而減小”的二次函數(shù)解析式　y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一　．
【分析】由題意可知拋物線開口向下，二次項系數(shù)為負；而二次函數(shù)的增減性是由對稱軸分界的，可知對稱軸是直線x＝2．
【解答】解：由題意可知，拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2；
所以滿足條件的二次函數(shù)關系式為y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一．
故答案為：y＝﹣（x﹣2）2答案不唯一．
12．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）為拋物線上三點，且總有y3＞y1＞y2．結合圖象，則m的取值范圍是　m＜　．
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，分類討論y3＞y1與y1＞y2，由兩點中點與對稱軸的位置關系求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，拋物線開口向上，
∵y3＞y1，
∴＞1，即＞1，
解得m＞，
∵y1＞y2，
∴＜1，
解得m＜，
∴m＜，
故答案為：m＜．
13．已知函數(shù)y＝x2+2x﹣1，當m≤x≤m+2時，﹣2≤y≤2，則m的取值范圍是　﹣3≤m≤﹣1?。?br /> 【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式可得拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣2），從而可得m≤﹣1≤m+2，再將y＝2代入解析式求出m的取值范圍，進而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為（﹣1，﹣2），
∵y≥﹣2，
∴m≤﹣1≤m+2，
解得﹣3≤m≤﹣1，
將y＝2代入y＝x2+2x﹣1得2＝x2+2x﹣1，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴﹣3≤m＜m+2≤1，
解得﹣3≤m≤﹣1，
故答案為：﹣3≤m≤﹣1．
14．已知拋物線y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求拋物線的對稱軸；
（2）若α＝1，且拋物線的對稱軸在y軸右側．
①當拋物線頂點的縱坐標為1時，求b的值；
②點（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在拋物線上，若y1＞y3＞y2，請直接寫出b的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式即可求得；
（2）①根據(jù)對稱軸在y軸右側可判斷b＜0，根據(jù)頂點公式可求得b＝﹣；
②根據(jù)題意可得＜﹣＜，即可求解．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
∵b＝2α，
∴x＝﹣1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；
（2）①當a＝1時，拋物線y＝x2+bx+b2﹣b，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
∵拋物線的對稱軸在y軸右側，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵拋物線頂點的縱坐標為1，
∴＝1，
解得：b＝2或b＝﹣，
∵b＜0，
∴b＝﹣；
②當a＝1時，拋物線y＝x2+bx+b2﹣b，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
∵點（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在拋物線上，且y1＞y3＞y2，
∴＜﹣＜，
∴﹣2＜b＜0．
15．若二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤4）．
（1）當x分別取﹣1，0，1時對應函數(shù)值為y1，y2，y3，請比較y1，y2，y3的大小關系．
（2）記二次函數(shù)的最小值為ymin，求證：ymin≤0；
（3）若函數(shù)過（a，b）點和（a+5，b）點，求b的取值范圍．
【分析】（1）由函數(shù)解析式可知二次函數(shù)過（1，0）和（m，0），開口向上，可得二次函數(shù)在x≤1時，y隨x的增大而減小，即可求解；
（2）將二次函數(shù)化為一般式，可得對稱軸為x＝，由開口向上可得當x＝時，y取得最小值，ymin＝，即可證明；
（3）設直線y＝b與二次函數(shù)的交點為（x1，b），（x2，b），可得x1﹣x2＝5，聯(lián)立，可得x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，推出x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，由（x1+x2）2﹣4x1x2＝25，可得（m+1）2﹣4（m﹣b）＝25，推出b＝，再由m范圍即可求解．
【解答】（1）解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣m）（x﹣1），
∴二次函數(shù)過（1，0）和（m，0），開口向上，
∴x≤1時，y隨x的增大而減小，
∵x分別取﹣1，0，1時對應函數(shù)值為y1，y2，y3，
∴y1＞y2＞y3；
（2）證明：∵二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣m）（x﹣1），
∴一般式為：y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴對稱軸為x＝，
∵函數(shù)開口向上，
∴當x＝時，y取得最小值，
∴ymin＝（）2﹣（m+1）×+m＝，
∵≤0，
∴ymin≤0；
（3）解：設直線y＝b與二次函數(shù)的交點為（x1，b），（x2，b），
∵函數(shù)過（a，b）點和（a+5，b）點，
∴x1﹣x2＝5，
聯(lián)立，可得：
x2﹣（m+1）x+m﹣b＝0，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣b，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x1﹣x2）2＝25，
即（m+1）2﹣4（m﹣b）＝25，
∴b＝，
令y′＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1
∵1≤m≤4，
∴﹣1≤y′≤8，
∴4≤b≤．
16．小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運用性質解決問題．
（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．
①列出y與x的幾組對應值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝　﹣3??；
②結合上表，在下圖所示的平面直角坐標系xOy中，畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象；
③觀察圖象，當x＝　﹣2或2　時，y有最大值為　1??；
（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點坐標；

（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點在函數(shù)M的圖象上，當y1＜y2時，請直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1）①把x＝4代入函數(shù)表達式即可求解；
②描點、連線，畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象；
③觀察圖象即可求得；
（2）解解析式構成的方程組即可求得；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案為：﹣3；
②畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象如下：

③觀察圖象，當x＝﹣2或2時，y有最大值為1；
故答案為：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點坐標為（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點在函數(shù)M的圖象上，且y1＜y2，
∴m的取值范圍m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．

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