第06講應(yīng)用二次函數(shù)求解幾何最值專題探究-【專題突破】2022-2023學年九年級數(shù)學上學期重難點及章節(jié)分類精品講義(浙教版)-試卷下載-教習網(wǎng)

第6講應(yīng)用二次函數(shù)解決幾何圖形最值問題專題探究考點一求線段的最值【知識點睛】? 如圖，在第一象限內(nèi)拋物線上有一動點P.過點P作PD⊥x軸交AB于點D，當PD（或PH）最大時，求點P的坐標；方法：依拋物線解析式設(shè)點P坐標，因為PD∥y軸表示點D坐標，PD=yP-yD，得PD表達式為一新二次函數(shù)，根據(jù)頂點式求其最大值。（求PH最大值則可由△PHD∽△AOB，將PH的長轉(zhuǎn)化為PD長，再參照上法求解PH最大值）【類題訓練】1．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為（3，0），頂點C的坐標為（1，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；（3）在拋物線上是否存在點Q，且點Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 2．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，A（﹣2，0），B（4，0），在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點D，連接BD，BC，CD．（Ⅰ）求拋物線的函數(shù)表達式；（Ⅱ）若點D在x軸的下方，設(shè)點D的橫坐標為t，過點D作DE垂直于x軸，交BC于點F，用含有t的式子表示DF的長，并寫出t的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當△CBD的面積是時，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．考點二求三角形面積的最值【知識點睛】? 如圖，在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動點P.當S△ABP最大時，求點P的坐標；方法：①設(shè)動點P的坐標;②過點P作y軸平行線交對邊AB與一點，并表示出該交點坐標；③利用水平寬×鉛垂高÷2，將S△ABP表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。【類題訓練】 3．如圖已知直線y＝x+與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點C（0，﹣），交x軸正半軸于D點，拋物線的頂點為M．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當△PAB的面積最大時，求△PAB的面積及點P的坐標；【總結(jié)反思二次函數(shù)中斜三角形面積最大值求法】? 如圖，利用（a為水平寬，h為鉛垂高）列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值. ? 如圖2，可將三角形的面積轉(zhuǎn)化為求在第一象限內(nèi)拋物線上的點到直線 AB距離的最大值.根據(jù)直線與拋物線只有一個交點，通過根的判別式來求出最大值。考點三求周長的最值【知識點睛】? 如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，定點C、D在拋物線上，當矩形ABCD周長最大時，求點A的坐標；方法：①設(shè)點A坐標，表示點B、C、D坐標；②表示AB、CD的長；③將C矩形ABCD表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。 ? 如圖，頂點A，B，C在拋物線上，在對稱軸上找點P，使△PBC周長最小時，點P的坐標；方法：將軍飲馬→對稱連接【類題訓練】4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．并且A，B兩點的坐標分別是A（1，0），B（﹣3，0），拋物線頂點為D．（1）①求出拋物線的解析式；②頂點D的坐標為　　；③直線BD的解析式為　　；（2）若E為線段BD上的一個動點，其橫坐標為m，過點E作EF⊥x軸于點F，求當m為何值時，四邊形EFOC的面積最大？（3）若點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A'恰好也落在此拋物線上，請直接寫出點P的坐標． 5．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，過點A的直線m與拋物線交于點C，其中點A的坐標是（1，0），點C的坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點E是拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及點E的坐標．【課后練習】1．如圖，直線y＝kx+m與拋物線y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0），B（3，﹣2）兩點，AB與y軸交于點C，P為直線AB上方拋物線上的動點，PD⊥x軸交直線AB于D，PE⊥y軸交直線AB于E．（1）求直線AB與拋物線的解析式；（2）求PE+PD的最大值； 3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點C（0，3），與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（點B在點A的右邊），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）點D、E在直線x＝1上的兩個動點，且DE＝1，點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值．（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標． 4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．（4）設(shè)點M的坐標為（3，m），直接寫出使MN+MD的和最小時m的值．