【重難點(diǎn)講義】浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)-九年級(jí)上學(xué)期期末測(cè)試模擬卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?九年級(jí)上學(xué)期期末測(cè)試模擬卷
考試范圍：初中數(shù)學(xué)全部；考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分
一、選擇題。（共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣11的相反數(shù)是（　?。?br /> A． B．11 C．﹣11 D．﹣
【分析】應(yīng)用相反數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣11）＝11．
故選：B．
2．（3分）“遼寧艦”是中國(guó)人民解放軍海軍第一艘可以搭載固定翼飛機(jī)的航空母艦，滿載排水量為67500噸，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.675×105 B．6.75×104 C．67.5×103 D．675×102
【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：67500用科學(xué)記數(shù)法表示為：6.75×104．
故選：B．
3．（3分）已知a≠0，下列運(yùn)算中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)+a2＝a3 B．（a3）2÷a2＝a4
C．（a3）2＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a6
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算以及合并同類項(xiàng)法則即可求出答案．
【解答】解：A、a與a2不是同類項(xiàng)，故不能合并，故A不符合題意．
B、原式＝a6÷a2＝a4，故B符合題意．
C、原式＝a6，故C不符合題意．
D、原式＝a5，故D不符合題意．
故選：B．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝2，則AC的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用銳角三角函數(shù)求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝tanB?BC＝2×4＝8．
故選：D．
5．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ABC＝129°，則∠AOC的度數(shù)為（　?。?br />
A．129° B．120° C．102° D．51°
【分析】由∠D+∠ABC＝180°可求∠D，再由∠AOC＝2∠D即可得到答案．
【解答】解：∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣129°＝51°，
∴∠AOC＝2∠D＝102°，
故選：C．
6．（3分）李老師為了了解本班學(xué)生每周課外閱讀文章的數(shù)量，抽取了7名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下（單位：篇/周）：4，，2，5，5，4，3，其中有一個(gè)數(shù)據(jù)不小心被墨跡污損．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（　　）
A．4，5 B．3，5 C．4，4 D．5，4
【分析】設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為x，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4求出x的值，再依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得．
【解答】解：設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為x，
則4+x+2+5+5+4+3＝4×7，
解得x＝5，
∴這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是5，即眾數(shù)為5篇/周，
將這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為2、3、4、4、5、5、5，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4篇/周，
故選：D．
7．（3分）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA、ED長(zhǎng)為半徑畫和，連接AD，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A． B． C．π D．5+π
【分析】作DH⊥AE于H，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)陰影部分面積＝△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
由旋轉(zhuǎn)，得△EOF≌△BOA，
∴∠OAB＝∠EFO，
∵∠FEO+∠EFO＝∠FEO+∠HED＝90°，
∴∠EFO＝∠HED，
∴∠HED＝∠OAB，
∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，
∴△DHE≌△BOA（AAS），
∴DH＝OB＝1，
陰影部分面積＝△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積
＝×3×1+×1×2+﹣
＝﹣π，
故選：B．

8．（3分）已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經(jīng)過C（﹣，），直線l1交y軸于點(diǎn)B（0，4），交x軸于點(diǎn)A，直線l2交y軸于點(diǎn)D，P為y軸上任意一點(diǎn)，連接PA、PC，有以下說法：
①方程組的解為；
②△BCD為直角三角形；
③S△ABD＝6；
④當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．
其中正確的說法是（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與二元一次方程的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解；根據(jù)兩直線的系數(shù)的積為﹣1，可知兩直線互相垂直；求得BD和AO的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到△ABD的面積；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得到當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．
【解答】解：①∵直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經(jīng)過C（﹣，），
∴方程組的解為，
故①正確，符合題意；

②把B（0，4），C（﹣，）代入直線l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直線l1：y＝2x+4，
又∵直線l2：y＝﹣x+m，
∴直線l1與直線l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD為直角三角形，
故②正確，符合題意；

③把C（﹣，）代入直線l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，則y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直線l1：y＝2x+4中，令y＝0，則x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'（2，0），
由點(diǎn)C、A′的坐標(biāo)得，直線CA′的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，
令x＝0，則y＝1，
∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），
故④正確，符合題意；
故選：B．
9．（3分）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被西方人譽(yù)為“東方魔板”．下面的兩幅圖正方形（如圖1）、“風(fēng)車型”（如圖2）都是由同一副七巧板拼成的，則圖中正方形ABCD，EFGH的面積比為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】設(shè)BD＝a+a+a+a＝4a，則CD＝2a，得正方形ABCD的面積，圖2中EQ＝3a，F(xiàn)Q＝2a，勾股定理得出EF＝＝，即可得出正方形EFGH的面積，求出面積比值即可．
【解答】解：設(shè)BD＝a+a+a+a＝4a，則CD＝BC＝BD?sin45°＝2a，
∴正方形ABCD的面積是（2a）2＝8a2，
圖2中，EQ＝3a，F(xiàn)Q＝2a，
由勾股定理得，EF＝＝，
∴正方形EFGH的面積是（a）2＝13a2，
∴圖中正方形ABCD，EFGH的面積比為＝，
故選：B．
10．（3分）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+n與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a、b、c，則下面四個(gè)等式中不一定成立的是（　　）

A．a(chǎn)2+bc＝c2﹣ab B．＝
C．b2（c﹣a）＝c2（b﹣a） D．＝+
【分析】將點(diǎn)A（a，0）坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，求得一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝mx﹣am，而點(diǎn)B、C在該二次函數(shù)上，則，對(duì)①②兩式進(jìn)行處理，即可求解．
【解答】解：一次函數(shù)y＝mx+n與x軸的軸交于點(diǎn)A，故點(diǎn)（a，0），
將點(diǎn)A（a，0）坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：0＝am+n，
解得：n＝﹣am，
故一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝mx﹣am，
∵點(diǎn)B、C在一次函數(shù)上，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（b，mb﹣ma）、（c，mc﹣ma），
設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝Ax2，
點(diǎn)B、C在該二次函數(shù)上，則，
（1）②﹣①得：A（b2﹣c2）＝m（c﹣b），等式兩邊同除以Ab2得，，即，故B正確，不符合題意；
（2）①÷②得：③，即C正確，不符合題意；
（3）化簡(jiǎn)③得：a＝，即＝，故D正確，不符合題意；
（4）化簡(jiǎn)A得：a2﹣c2＝﹣bc﹣ab，化簡(jiǎn)得：a+b＝c，而從上述各式看，該式不一定成立，故A符合題意，
故選：A．
二、填空題。（共6小題，每題4分，共24分）
11．（4分）已知3a＝4b，則＝　　．
【分析】通過等式，可以用a表示b，代入分式，約分化簡(jiǎn)求值．
【解答】解：∵3a＝4b，
∴b＝a，
∴
＝
＝
＝1﹣
＝．
故答案為：．
12．（4分）因式分解：2a3﹣18a＝　2a（a+3）（a﹣3）?。?br /> 【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：2a3﹣18a
＝2a（a2﹣9）
＝2a（a+3）（a﹣3），
故答案為：2a（a+3）（a﹣3）．
13．（4分）如圖，某古城大門口的平面圖上方是半圓，下方是矩形，有一輛裝貨后寬3米的貨車從大門中間進(jìn)入古城，那么貨車裝貨后的最大高度為　5　米．

【分析】由已知得OB＝米，OA＝米，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理求出AB，即可求出答案．
【解答】解：如圖，O為半圓的圓心，

由已知得OB＝米，OA＝米，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，
AB＝＝＝2米，
∴AC＝2+3＝5（米）．
故答案為：5．
14．（4分）如圖，△P1OA1，△P2O1A2，△P3O2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1，P2，P3……，Pn都在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，斜邊OA1、A1A2、A2A3…，An﹣1An都在x軸上，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為 ?。?，0）　．

【分析】由于△P1OA1是等腰直角三角形，可知直線OP1的解析式為y＝x，將它與y＝聯(lián)立，求出方程組的解，得到點(diǎn)P1的坐標(biāo)，則A1的橫坐標(biāo)是P1的橫坐標(biāo)的兩倍，從而確定點(diǎn)A1的坐標(biāo)；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，則A1P2∥OP1，直線A1P2可看作是直線OP1向右平移OA1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因而得到直線A1P2的解析式，同樣，將它與y＝（x＞0）聯(lián)立，求出方程組的解，得到點(diǎn)P2的坐標(biāo)，則P2的橫坐標(biāo)是線段A1A2的中點(diǎn)，從而確定點(diǎn)A2的坐標(biāo)；依此類推，從而確定點(diǎn)A2020的坐標(biāo)．
【解答】解：過P1作P1B1⊥x軸于B1，
易知B1（2，0）是OA1的中點(diǎn)，
∴A1（4，0）．
可得P1的坐標(biāo)為（2，2），
∴P1O的解析式為：y＝x，
∵P1O∥A1P2，
∴A1P2的表達(dá)式一次項(xiàng)系數(shù)相等，
將A1（4，0）代入y＝x+b得4+b＝0，
∴b＝﹣4，
∴A1P2的表達(dá)式是y＝x﹣4，
與y＝（x＞0）聯(lián)立，解得P2（2+2，﹣2+2）．
仿上，A2（4，0）．
P3（2+2，﹣2+2），A3（4，0）．
依此類推，點(diǎn)An的坐標(biāo)為（4，0），
故點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（4，0）．
故答案為：（4，0）．

15．（4分）在綜合實(shí)踐課上，小慧把一張矩形紙片ABCD沿平行于AB的虛線剪開得到兩個(gè)小矩形紙片（如圖1），把得到的兩個(gè)小矩形紙片疊放在一起，使得較小矩形的各頂點(diǎn)分別落在較大矩形的每條邊上（如圖2）．

（1）若AB＝5，tanα＝，則BC＝　6　．
（2）記＝m，則m的取值范圍是　m＞?。?br /> 【分析】（1）依次解直角三角形PCQ和直角三角形FDQ，求得PC，CQ，DQ，F(xiàn)D，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）同（1）方法相同：設(shè)PQ＝AB＝a，依次解直角三角形PCQ和直角三角形FDQ，表示出PC，CQ，DQ，F(xiàn)D，進(jìn)而根據(jù)BC＝BT+PT+CP列出關(guān)系式，根據(jù)三角函數(shù)定義求得結(jié)果．
【解答】解：（1）如圖，

∵tanα＝，
∴sinα＝，cosα＝，
在Rt△PCQ中，PQ＝AB＝5，
∴PC＝PQ?cosα＝5×＝3，CQ＝AB?sinα＝4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝5，∠C＝∠D＝90°，
∴∠PQC+∠QPC＝90°，
∵∠FQP＝90°，
∴∠FQD+∠PQC＝90°，
∴∠FQC＝∠CPQ＝α，
同理可得：∠TEP＝∠CPQ＝α，
∵∠ETP＝∠D＝90°，F(xiàn)Q＝EP，
∴△FDQ≌△PTE（AAS），
∴PT＝DF，
在Rt△FDQ中，DQ＝CD﹣CQ＝AB﹣CQ＝1，
∴FQ＝，DF＝DQ?tanα＝，
∴PT＝DF＝，BT＝FQ＝，
∴BC＝BT+PT+PC＝＝6，
故答案為：6．
（2）設(shè)PQ＝AB＝a，BC＝b，
由（1）可得，
在Rt△PCQ中，
PC＝PQ?cosα＝a?cosα，
CQ＝a?sinα，
DQ＝a﹣a?sinα＝a?（1﹣sinα），
在Rt△FDQ中，
BT＝FQ＝＝，
∴PT＝DF＝FQ?sinα＝，
由BC＝BT+PT+PC得，
b＝++a?cosα
＝2a?cosα，
∴＝，
∵0＜α＜90°，
∴0＜cosα＜1，
∴＞，
即m＞，
故答案為：．
16．（4分）疫情期間在家學(xué)習(xí)網(wǎng)課時(shí)，小李將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120°，此時(shí)感覺最舒適（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2．使用時(shí)為了散熱，他在底板下墊入散熱架ACO'后，使電腦變化至AO'B'位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4．已知OA＝OB＝24cm，O'C⊥OA于點(diǎn)C，O'C＝12cm．

（1）∠CAO′＝　30°??；
（2）顯示屏的頂部B′比原來升高了　15.2　cm．（結(jié)果保留到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
【分析】（1）在Rt△ACO′中，利用∠O′AC的正弦值即可解答；
（2）要求顯示屏的頂部B′比原來升高的距離，所以想到過點(diǎn)B作BD⊥AO，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，然后在Rt△BOD中求出BD的長(zhǎng)度，最后再證明B′，O′，C三點(diǎn)共線，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）∵O'C⊥OA，
∴∠ACO′＝90°，
在Rt△ACO′中，O'C＝12cm，O′A＝24cm，
∴sin∠O′AC＝＝＝，
∴∠CAO′＝30°，
故答案為：30°；
（2）過點(diǎn)B作BD⊥AD，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△BOD中，BD＝OBsin∠BOD＝24×＝12cm，
∵∠ACO′＝90°，∠CAO′＝30°，
∴∠AO′C＝90°﹣∠CAO′＝60°，
∵∠AO′B＝120°，
∴∠AO′B+∠AO′C＝180°，
∴B′，O′，C在同一條直線上，
∴B′C⊥AC，
∴B′C＝B′O′+O′C＝24+12＝36cm，
∴顯示屏的頂部B′比原來升高了：
B′C﹣BD＝36﹣12≈15.2cm，
故答案為：15.2．
三．簡(jiǎn)答題。（共8小題．17-19每題6分，20、21題8分，22、23每題10分，24題12分）
17．（6分）計(jì)算：（﹣2022）0+3+（1﹣3﹣2×18）．
【分析】先計(jì)算二次根式、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．
【解答】解：（﹣2022）0+3+（1﹣3﹣2×18）
＝1+9×+（1﹣×18）
＝1+9+1﹣2
＝9．
18．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中線，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，連接BD，BC平分∠EBD．
（1）求證：∠ABE＝∠D；
（2）求證：BD＝2BE．

【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角以及角平分線的定義即可推出∠ACB＝∠D+∠DBC＝ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠ABE+∠DBC，即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)BE到點(diǎn)F，使BE＝EF，根據(jù)SAS證明△AEB≌△CEF得出∠F＝∠ABE，從而推出∠F＝∠D，再根據(jù)AAS證明△BCF≌△DBC即可推出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵BC平分∠EBD，
∴∠EBC＝∠DBC，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC＝ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠ABE+∠DBC，
∴∠ABE＝∠D；
（2）如圖，延長(zhǎng)BE到點(diǎn)F，使BE＝EF，

∵BE是AC的中線，
∴E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
又∵∠AEB＝∠CEF，BE＝EF，
∴△AEB≌△CEF（SAS），
∴∠F＝∠ABE，
由（1）知，∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D，
又∵∠DBC＝∠EBC，BC＝BC，
∴△BCF≌△DBC（AAS），
∴BD＝BF，
即BE+EF＝BD，
∵BE＝EF，
∴BD＝2BE．
19．（6分）圖①、圖②均是3×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（只用無刻度的直尺，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡），
（1）在圖①中畫一個(gè)直角△APB，使點(diǎn)P在格點(diǎn)上，且∠ABP的正切值為2．
（2）在圖①中畫一個(gè)銳角△AQC，使點(diǎn)Q在線段AB上，點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且∠AQC的正切值為2．

【分析】（1）構(gòu)造直角△APB，使得AP＝2BP，P在格點(diǎn)上即可；
（2）利用（1）中結(jié)論，再根據(jù)要求作出滿足條件的三角形即可．
【解答】解：（1）如圖：

△APB即為所求；
（2）如圖：

△AQC即為所求．
20．（8分）2022年4月15日是第七個(gè)全民國(guó)家安全教育日．為增強(qiáng)師生的國(guó)家安全意識(shí)，我區(qū)某中學(xué)組織了“國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽”，根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：

根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生共有　40　人；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m＝　10　，C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為　144　度；
（3）小永是四名獲A等級(jí)的學(xué)生中的一位，學(xué)校將從獲A等級(jí)的學(xué)生中任選2人，參加區(qū)舉辦的知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖，求小永被選中參加區(qū)知識(shí)競(jìng)賽的概率．

【分析】（1）根據(jù)D等級(jí)的人數(shù)和所占的百分比即可得出答案；
（2）用A等級(jí)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，求出m的值，再用360°乘以C等級(jí)所占的百分比即可；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出小永被選中參加區(qū)知識(shí)競(jìng)賽的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生共有：12÷30%＝40（人）；
故答案為：40；

（2）m%＝×100%＝10%，即m＝10；
C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為：360°×（1﹣20%﹣10%﹣30%）＝144°；
故答案為：10，144；

（3）小永用A表示，其他3名同學(xué)分別用B、C、D表示，
根據(jù)題意畫圖如下：

共有12種等可能的情況數(shù)，其中小永被選中參加區(qū)知識(shí)競(jìng)賽的有6種，
則小永被選中參加區(qū)知識(shí)競(jìng)賽的概率是＝．
21．（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．

【分析】（1）連接OC，證明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切線的判定可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，則可求出答案；
（3）證明△AOC是等邊三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．
【解答】解：（1）直線AF與⊙O相切．
理由如下：連接OC，

∵PC為圓O切線，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA為圓O的半徑，
∴AF為圓O的切線；
（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，
∴E為AC中點(diǎn)，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC?CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴陰影部分的面積為S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
22．（10分）某公司以10元/kg的價(jià)格收購(gòu)一批產(chǎn)品進(jìn)行銷售，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）之間是一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售價(jià)格x是10元/千克時(shí)，日銷售量y是300千克，當(dāng)銷售價(jià)格x是20元/千克時(shí)，其銷售量y是150千克．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）該公司應(yīng)該如何確定這批產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)W1最大？
（3）若該公司每銷售1千克這種產(chǎn)品需支出a元（a＞0）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)20≤x≤25時(shí)，公司的日獲利W2元的最大值為1215，求a的值．
【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式時(shí)y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，列出W1和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法，可以求得a的值．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式時(shí)y＝kx+b，
根據(jù)題意得：，
解得，
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣15x+450；
（2）由題意可得，
W1＝（x﹣10）（﹣15x+450）＝﹣15（x﹣20）2+1500，
∵﹣15＜0，
∴當(dāng)x＝20時(shí)，W1取最大值，最大值為1500，
∴當(dāng)售價(jià)為20元時(shí)，該公司所獲最大利潤(rùn)為1500元；
（3）當(dāng)20≤x≤25時(shí)，設(shè)獲得的利潤(rùn)為w2元，
w2＝（x﹣10﹣a）（﹣15x+450）＝﹣15x2+（600+15a）x﹣450（10+a），
對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝20+a，
當(dāng)a≥10時(shí)，x＝25，w取得最大值，此時(shí)w＝1125﹣75a＜1215，不符合題意；
當(dāng)0＜a＜10時(shí)，x＝20+a，w取得最大值，此時(shí)w＝﹣15×（20+a）2+（600+15a）（20+a）﹣450（10+a）＝﹣150a+1500，
當(dāng)w＝1215時(shí)，1215＝﹣150a+1500，
解得，a1＝2，a2＝38（舍去），
綜上所述，a的值是2．
23．（10分）定義：我們把對(duì)角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．
（1）在已經(jīng)學(xué)過的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線四邊形”的是　②④　（填序號(hào)）；
（2）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且EC＝DF，連接EF，AF，求證：四邊形ABEF是等角線四邊形；
（3）如圖2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D為線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是等角線四邊形，求這個(gè)等角線四邊形的面積．

【分析】（1）由矩形和正方形的性質(zhì)可直接求解；
（2）由“SAS”可證△ABE≌△BCF，可得AE＝BF，可得結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，由勾股定理求出DE的長(zhǎng)，即可求解．
【解答】（1）解：∵矩形、正方形的對(duì)角線相等，
∴矩形和正方形是“等角線四邊形”，
故答案為②④；
（2）證明：連接AE，BF，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EC＝DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴四邊形ABEF是等角線四邊形；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在AB的上方時(shí)，如圖，

∵DE是AB的中垂線，
∴AE＝BE＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵四邊形ABCD為等角線四邊形，
∴AC＝BD＝5，
∴DE＝＝＝，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×AB×DE+×BC×BE＝2+3；
當(dāng)點(diǎn)D在AB的下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于F，

∵四邊形ACBD為等角線四邊形，
∴BA＝CD＝4，
∵DE⊥AB，∠ABF＝90°，DF⊥CF，
∴四邊形DEBF是矩形，
∴BE＝DF＝2，DE＝BF，
∴CF＝＝＝2，
∴BF＝2﹣3，
∴S四邊形ADBC＝S△ABC+S△ABD＝×4×（2﹣3）+×4×3＝4，
綜上所述：這個(gè)等角線四邊形的面積為4或2+3．
24．（12分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，作PE⊥PB交射線DC于點(diǎn)E．已知AD＝6，AB＝8．設(shè)AP的長(zhǎng)為x．
（1）如圖1，PM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．求證：△BMP∽△PNE．
（2）試探究：是否是定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有x的值．

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠PBM＝∠EPN，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似證明結(jié)論；
（2）分點(diǎn)E在線段DC上、點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x分別表示出BM、PN，計(jì)算即可；
（3）分點(diǎn)E在線段DC上、點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∵PM⊥AB，
∴PM⊥CD，∠PBM+∠BPM＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠EPN+∠BPM＝90°，
∴∠PBM＝∠EPN，
∵∠BMP＝∠PNE＝90°，
∴△BMP∽△PNE；
（2）解：＝，
理由如下：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，
在Rt△ACD中，AD＝6，DC＝AB＝8，
∴AC＝＝10，
∵PM⊥AB，∠ABC＝90°，
∴PM∥BC，
∴＝，即＝，
解得：BM＝8﹣x，
同理：△CPN∽△CAD，
∴＝，即＝，
解得：PN＝6﹣x，
∵△BMP∽△PNE，
∴＝＝＝，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
同上方法可以證明＝，
綜上所述，為定值；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，△PCE是等腰三角形時(shí)，只能是EP＝EC，
連接BE交PC于F，
∵EP＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC，
∴BE垂直平分CP，
∵∠ABC＝90°，BF⊥AC，
∴BC2＝CF?AC，
∴CF＝＝＝，
∴CP＝2CF＝，
∴AP＝AC﹣CP＝，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△PCE是等腰三角形時(shí)，只能是CP＝EC，
∴∠CPE＝∠CEP，
∵∠PFB＝∠CFE，
∴∠PBF＝∠CEP，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝8，
綜上所述，當(dāng)△PCE是等腰三角形時(shí)，x的值為或8．

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