?第二十二章 二次函數(shù)（單元重點綜合測試）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標為
C．該函數(shù)有最大值，最大值為5 D．當時，y隨x的增大而增大
【答案】D
【分析】通過分析二次函數(shù)頂點式判斷函數(shù)圖象開口方向、頂點坐標、最值以及增減性即可求解．
【詳解】解：中，
的系數(shù)為1，，函數(shù)圖象開口向上，A錯誤；
函數(shù)圖象的頂點坐標是，B錯誤；
函數(shù)圖象開口向上，有最小值為5，C錯誤；
函數(shù)圖象的對稱軸為，時y隨x的增大而減??；時，y隨x的增大而增大，所以，當時，y隨x的增大而增大，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的基本知識和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·河北唐山·九年級?？茧A段練習(xí)）若是二次函數(shù)，最大值為0，則m的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義（形如，為常數(shù)，且的函數(shù)叫做二次函數(shù)）可得，由最大值為0，可得，由此即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）若二次函數(shù)圖象，過不同的六點、、、、、，則、、的大小關(guān)系是（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由解析式可知拋物線開口向上，點，，求得拋物線對稱軸的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判定可得．
【詳解】解：由二次函數(shù)可知，拋物線開口向上，
、、，即有，
點關(guān)于對稱軸的對稱點在與之間，
對稱軸的取值范圍為，
，
點到對稱軸的距離小于，點到對稱軸的距離大于，
，
故選：．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到拋物線的對稱軸和開口方向是解題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內(nèi)可以售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，若設(shè)每件商品漲元，銷售利潤為元，可列函數(shù)為：．對所列函數(shù)中出現(xiàn)的代數(shù)式，下列說法錯誤的是（????）
A．表示漲價后商品的單價 B．表示漲價后少售出商品的數(shù)量
C．表示漲價后商品的數(shù)量 D．表示漲價后商品的單價
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分析得出漲價后的單價為元，漲價后銷量為件，再根據(jù)利潤等于售價減去進價得出漲價后每件利潤為元即可．
【詳解】解：A、表示漲價后單件商品的利潤，不是商品的單價，故本選項不符合題意；
B、由銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，得每件商品漲元后，表示漲價后少售出商品的數(shù)量，故本選項符合題意；
C、由題可知，原銷量為400件，漲價后少售出件，則漲價后的商品數(shù)量為件，故本選項符合題意；
D、由題可知，每件商品原價為30元，漲元后單價為元，故本選項符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了應(yīng)用題中的利潤問題，根據(jù)題意準確得出漲價前后的售價和銷量以及熟練掌握利潤的計算公式是本題的重點．
5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對稱，則a、b的值為（???）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】先求出拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線為，再根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)得出拋物線向下平移2個單位長度后為，即可得出a和b的值．
【詳解】解：∵，
∴拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線為，
∵拋物線向下平移2個單位長度后為，
∵與關(guān)于y軸對稱，
∴，
整理得：，
∴，，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)化為頂點式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．
6．（2020秋·河南安陽·九年級?？计谥校┤鐖D，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3…如此變換進行下去，若點P（21，m）在這種連續(xù)變換的圖象上，則m的值為（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以得到點A1的坐標，從而可以求得OA1的長度，然后根據(jù)題意，即可得到點P（21，m）中m的值和x＝1時對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1，
∴點A1（4，0），
∴OA1＝4，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，
∵點P（21，m）在這種連續(xù)變換的圖象上，
∴x＝21和x＝1時的函數(shù)值互為相反數(shù)，
∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝﹣3，
故選：Ｃ．
【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實數(shù)，則（????）
A．當時，函數(shù)的最小值為 B．當時，函數(shù)的最小值為
C．當時，函數(shù)的最小值為 D．當時，函數(shù)的最小值為
【答案】A
【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當或時函數(shù)y的最小值即可求解．
【詳解】解：令，則，
解得：，，
∴拋物線對稱軸為直線
當時， 拋物線對稱軸為直線，
把代入，得，
∵
∴當，時，y有最小值，最小值為．
故A正確，B錯誤；
當時， 拋物線對稱軸為直線，
把代入，得，
∵
∴當，時，y有最小值，最小值為，
故C、D錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，排球運動員站在點處練習(xí)發(fā)球，將球從點正上方的處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度與運行的水平距離滿足關(guān)系式．已知球網(wǎng)與點的水平距離為，高度為，球場的邊界距點的水平距離為．下列判斷正確的是（????）

A．球運行的最大高度是 B．
C．球會過球網(wǎng)但不會出界 D．球會過球網(wǎng)并會出界
【答案】D
【分析】根據(jù)頂點式的特征即可判斷A選項；將點代入函數(shù)解析式中即可求得的值，即可判斷選項；分別求出和的函數(shù)值，再分別和、比較大小即可判斷、選項．
【詳解】解：球的運行的高度與運行的水平距離滿足關(guān)系式，
當時，取得最大值，
運行的最大高度時，故A錯誤；
球從點正上方的A處發(fā)出，
的圖象經(jīng)過點，
，
解得：，故B錯誤；
當時，，
，
球會過球網(wǎng)，
當時，，
，
球會出界，故C選項錯誤，D選項正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式以及將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是解題關(guān)鍵．
9．（2023·河南周口·周口恒大中學(xué)?？既＃┤缬覉D，直線l的解析式為，它與x軸和y軸分別相交于A、B兩點，點C為線段上一動點，過點C作直線l的平行線m，交y軸于點D．點C從原點O出發(fā)，沿以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，運動時間為t秒，以為斜邊作等腰直角三角形（E，O兩點分別在CD兩側(cè)）．若和的重合部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（????）
??
A．?B．??C．??D．??
【答案】C
【分析】分類討論時，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式式即可求解．
【詳解】解：①當時，如圖所示：
??
可知：
②當時，如圖所示：
??
此時，
，，


綜上：
顯然只有C選項符合題意
故選：C
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意找到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
10．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）題目：“如圖，拋物線與直線相交于點和點．點是直線上的一個動點，將點向左平移3個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，則正確的是（????）
??
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】當點在線段上時，當點在點的左側(cè)時，當點在點的右側(cè)時，分類求解確定的位置，進而求解．
【詳解】解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，
將點的坐標代入直線表達式得：，解得，
拋物線的解析式為，直線的解析式為，
當點在線段上時，線段與拋物線只有一個公共點，
，的距離為3，而A，B的水平距離是3，故此時只有一個交點，即，
當點在點的右側(cè)時，當時，拋物線和交于拋物線的頂點，即時，線段與拋物線只有一個公共點，
綜上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整，
故選：B．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，分類求解確定位置是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數(shù)，當時，若y隨著x的增大而 （填“增大”“不變”或“減小”）．
【答案】減小
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的圖象與性質(zhì)進行解答即可．
【詳解】∵,對稱軸，
∴當時，若y隨著x的增大而減小，
故答案為：減?。?br /> 【點睛】本題考查二次函數(shù)頂點式的圖象與性質(zhì)，分清a、h的符號和二次函數(shù)頂點式的增減性是解題的關(guān)鍵．
12．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點、為拋物線上的點，則n＝ ．
【答案】
【分析】由拋物線的解析式可知拋物線的對稱軸是直線，根據(jù)點A和B的坐標知，則點A和B關(guān)于直線對稱．據(jù)此易求的值，進而把P點的坐標代入解析式即可求得n的值．
【詳解】∵拋物線解析式為，
∴該拋物線的對稱軸是直線，
∵點為拋物線上的點，
∴點關(guān)于直線對稱，
∴，
∴，
∴
把代入拋物線的解析式得，．
故答案是：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)圖象上所有點的坐標均滿足該函數(shù)解析式．
13．（2022秋·天津西青·九年級?？计谥校┬旭傊械钠噭x車后，由于慣性的作用，還會繼續(xù)向前滑行一段距離，這段距離我們將它稱為“剎車距離”．某車的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間的函數(shù)關(guān)系是，現(xiàn)在該車在限速120 km/h的高速公路上出了交通事故，事后測得剎車距離為46．5m，請推測該車剎車時是否超速 （填“是”或“否”），車速為 km/h．
【答案】 是
【分析】將代入函數(shù)解析式，求出車速，與比較即可得出答案．
【詳解】根據(jù)題意，當時，得：，
解得：（舍），，
∴剎車前，汽車超速．
故答案為：是，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將的值代入，解一元二次方程，注意將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．
14．（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤舳魏瘮?shù)中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：
x
…


0
1
2
…
y
…
0


0
4
…
則當時，y的最大值為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)表中點的坐標得出函數(shù)的對稱軸，設(shè)二次函數(shù)的表達式是，把點的坐標代入求出該二次函數(shù)的表達式是；再畫出圖象，即可利用圖象法求解．
【詳解】解：根據(jù)表中可知：點和點關(guān)于對稱軸對稱，
即對稱軸是直線，
設(shè)二次函數(shù)的表達式是，
把點和點代入得：，
解得：，，
，
所以該二次函數(shù)的表達式是；
函數(shù)圖象如圖所示，

由圖象可得∶當時， ﹣，最大值為4.
故答案為∶ 4．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
15．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）年5月8日，商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．時分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退米，兩條水柱的形狀及噴水口、到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點距地面 米．
??
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令求平移后的拋物線與軸的交點即可．
【詳解】解：由題意可知：
、、，
設(shè)拋物線解析式為：，
將代入解析式，
解得：，
，
消防車同時后退米，即拋物線向左（右）平移米，
平移后的拋物線解析式為：，
令，解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖像的平移及坐標軸的交點；解題的關(guān)鍵是求得移動前后拋物線的解析式．
16．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)值的最小值為1，則的值為 ．
【答案】0或-3
【分析】利用二次函數(shù)圖像上點的特征找出時自變量的值，結(jié)合時，函數(shù)值的最小值為1，可得到關(guān)于的一元一次方程，解即可．
【詳解】解：令，則，
解得：，．
時，函數(shù)值的最小值為1
或，
或．
故答案為： 或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征以及函數(shù)的最值．利用二次函數(shù)圖像上點的特征找出時自變量的值是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2023秋·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，坐標平面上有一透明片，透明片上有一拋物線：．
??
(1)寫出的對稱軸和的最小值；
(2)點為透明片上一點，的坐標為．平移透明片，平移后，的對應(yīng)點為，拋物線的對應(yīng)拋物線為，其表達式恰為，求移動的最短路程．
【答案】(1)對稱軸為直線：，的最小值為2
(2)

【分析】（1）直接根據(jù)解析式進行作答即可；
（2）求出平移后的拋物線的頂點坐標，移動的最短路程為兩個頂點間的距離，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，頂點坐標為，
∴對稱軸為直線，的最小值為2；
（2）∵，頂點坐標為，
∵拋物線的頂點坐標為，
∴移動的最短路程為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
18．（2023秋·河南開封·九年級開封市第十三中學(xué)?？计谀┠乘l(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于60元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售2箱．
(1)求平均每天銷售量箱與銷售價元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)求批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價（元/箱）之間函數(shù)關(guān)系式．
(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)當每箱蘋果的銷售價為元時，可以獲得元的最大利潤．

【分析】（1）在銷售90箱的基礎(chǔ)上，價格每提高1元，平均每天少銷售2箱，再列函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）由銷售量乘以每箱蘋果的利潤可得總利潤，可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）再依據(jù)二次函數(shù)的增減性求得最大利潤．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，平均每天的銷售量y（箱）與銷售單價x（元/箱）之間
得，即 ．
（2）由（1）可得：
；
（3）∵，
∵，
∴拋物線開口向下．當時，有最大值．
又，隨的增大而增大．
∴當元時，的最大值為元．
∴當每箱蘋果的銷售價為元時，可以獲得元的最大利潤．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在時取得．
19．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形花圃，它的一邊利用已有的圍墻，可利用的圍墻長度不超過，另外三邊所圍的柵欄的總長度是，設(shè)長為x米．
??
(1)若矩形的面積為，求的長度．
(2)若矩形的面積是S，求當x為何值時，S有最大值？
【答案】(1)20米(2)
【分析】（1）設(shè)長為米，則長為米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程，解之取合適的值即可；
（2）列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)長為米，則長為米，
依題意，得，
解得：，，
當時，，超過了圍墻的長度，
∴不合題意，舍去，
∴，即的長為20米；
（2）設(shè)矩形的面積是S，
則，
∵，
∴開口向下，
∴當時，S有最大值．
【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出BC的長是解題關(guān)鍵．
20．（2022秋·河北張家口·九年級張家口市實驗中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知點，，，直線經(jīng)過點，拋物線恰好經(jīng)過，，三點中的兩點．
(1)判斷點是否在直線上，并說明理由；
(2)求的值；
(3)平移拋物線，
①使其頂點為，求此時拋物線與軸交點的坐標；
②使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．
【答案】(1)點在直線上，理由見解析，
(2)，
(3)①；②

【分析】（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將代入解析式即可求解；
（2）先根據(jù)拋物線與直線都經(jīng)過點，且，兩點的橫坐標相同，判斷出拋物線只能經(jīng)過，兩點，然后將，兩點坐標代入得出關(guān)于，的二元一次方程組；
（3）①根據(jù)題意，可得拋物線解析式為，令，即可求解；
②設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為，根據(jù)頂點在直線上，得出，令，得到平移后拋物線與軸交點的縱坐標為，再將式子配方即可求出最大值．
【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點，
∴，解得：，
∴直線：，
當時，，
∴ 在直線上，
（2）拋物線與直線都經(jīng)過點，且，兩點的橫坐標相同，
拋物線只能經(jīng)過，兩點，
將，兩點坐標代入
得，
解得：，；

（3）解：①依題意，點，
則拋物線解析式為，
令，解得：，
∴拋物線與軸交點的坐標為；
②設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達式為，
∵頂點在直線上，
∴，
令，得到平移后拋物線與軸交點的縱坐標為，
∵，
∴當時，此拋物線與軸交點的縱坐標取得最大值．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移和求最值，求出兩個函數(shù)的表達式是解題關(guān)鍵．
21．（2023春·山東德州·九年級德州市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．
(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：
x
…


-2

0
1
2

3
…
y
…
3



0

0

3
…
其中，___________．
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．
??
(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)．
(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：
①函數(shù)圖象與x軸有___________個交點，所以對應(yīng)的方程有___________個實數(shù)根；
②方程有___________個實數(shù)根；
③關(guān)于x的方程有4個實數(shù)根時，a的取值范圍是___________．
【答案】(1)0
(2)見解析
(3)見解析
(4)①3，3；②2；③

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可求解；
（2）描點即可畫出函數(shù)圖象；
（3）任意指出函數(shù)的兩條性質(zhì)即可，如函數(shù)的最小值為；時，y隨x的增大而增大，答案不唯一；
（4）①從圖象上看函數(shù)與x軸有3個交點，即可求解；
②設(shè)，從圖象看與有兩個交點，即可求解；
③當與有2個交點時，a在x軸的下方，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的對稱性，，
故答案為：0；
（2）描點畫出如下函數(shù)圖象：
??
（3）函數(shù)的最小值為；
時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①從圖象上看函數(shù)與x軸有3個交點，故對應(yīng)方程有3個根，
故答案為：3，3；
②設(shè)，從圖象看與有兩個交點；
故答案為：2；
③當與有2個交點時，a在x軸的下方，
故，
故答案為：．
【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖象，拋物線與x軸的交點，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．

乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：
水平距離x/







豎直高度y/







(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；
??
(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；
②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．
【答案】(1)見解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為

【分析】（1）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可求解；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當時，；
②待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，根據(jù)題意當時，，代入進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
??（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當和時，函數(shù)值相等，則對稱軸為直線，頂點坐標為，
又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是，
當時，，
∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是；
故答案為：；．
②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（3）∵當時，拋物線的解析式為，
設(shè)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為，則平移距離為，
∴平移后的拋物線的解析式為，
依題意，當時，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．
??
(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側(cè)時，即時，當點在對稱軸右側(cè)時，即時，分別進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當時，，即，
設(shè)的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，
??
∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積



，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側(cè)時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側(cè)時，即時，
??
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．

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