專題22.3  二次函數(shù)的實際應用（知識解讀2）【直擊考點】【學習目標】1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)的關系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．【知識點梳理】考點1 面積類考點2   拱橋類一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?/span>(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題． 【典例分析】【考點1  面積類】【例1】（2021九上·長清期末）如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個矩形苗圃ABCD，其中兩邊靠的墻足夠長，中間用平行于AB的籬笆EF隔開，已知籬笆的總長度為18米，設矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（）．（1）求y與x的函數(shù)關系式；（2）求所圍矩形苗圃ABCD的面積最大值；      【變式1-1】（2021秋?科左中旗期末）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關于x的函數(shù)關系式為（　?。?/span>A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【變式1-2】（2012秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．(1)求S與x的函數(shù)關系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？(3)當AB的長是多少米時，圍成的花圃的面積最大？【變式1-3】（2019?永春縣校級自主招生）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用32m 長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm．  （1）若花園的面積為252m2，求x的值；  （2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是17m 和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值．    【例2】（2020秋?中山市期末）如圖，利用一面長為34米的墻，用鐵柵欄圍成一個矩形自行車場地ABCD，在AB和BC邊各有一個2米寬的小門（不用鐵柵欄）．若所用鐵柵欄的長為40米，矩形ABCD的邊AD長為x米，AB長為y米，矩形的面積為S平方米，且x＜y．（1）求y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）求S與x的函數(shù)關系式，并求出矩形場地的最大面積．      【變式2-1】（2021春?百色期末）如圖，依靠一面長18米的墻，用34米長的籬笆圍成一個矩形場地花圃ABCD，AB邊上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍）．（1）設花圃的一邊AD長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊CD的長為 　　米；（2）當矩形場地面積為160平方米時，求AD的長．   【變式2-2】（2020九上·安慶期末）如圖，一農(nóng)戶要建一矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為 的住房墻，另外三邊用 長的建筑材料圍成，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個 寬的門．所圍成矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍的面積最大，最大面積是多少？           【變式2-3】（2021?游仙區(qū)模擬）如圖，游仙怡心月季養(yǎng)植園是一個矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．為了便于養(yǎng)護與運輸，養(yǎng)植園內(nèi)留有四橫四縱等寬道路，養(yǎng)植面積與道路面積比為7：3．（1）求道路的寬度．（2）養(yǎng)植區(qū)域內(nèi)月季盆栽要均勻擺放，即每平方米擺放的盆數(shù)一樣．每平方米最多能擺放36盆，密度越大，花的品質(zhì)會下降，每盆月季的出售價也會隨之降低．大棚內(nèi)現(xiàn)在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售價為5元．分析發(fā)現(xiàn)：每平方米每增加5盆，每盆的出售價會下降0.5元．老板準備增加養(yǎng)植數(shù)量，以獲得最多的出售總額，那么每平米應該養(yǎng)植多少盆月季小盆栽才能使出售總額最多？    【考點2  拱橋類】【例3】（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，橋洞的拱形是拋物線，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面4m．若選取拱形頂點C為坐標原點，以水平方向為x軸，建立平面直角坐標系，此時該拋物線解析式為　　．【變式3-1】（2020秋?肇源縣期末）如圖，有一座拋物線形拱橋，當水位線在AB位置時，拱頂離水面2m，水面寬為4m．當水面下降1m后，水面寬為　　m．【變式3-2】（2021秋?黔西南州期末）中國貴州省省內(nèi)的射電望遠鏡（FAST）是目前世界上口徑最大，精度最高的望遠鏡．根據(jù)有關資料顯示，該望遠鏡的軸截面呈拋物線狀，口徑AB為500米，最低點P到口徑面AB的距離是100米，若按如圖（2）所示建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是　．【變式3-3】（2022九下·定海開學考）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達式為（1）求雕塑高OA．（2）求落水點C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．        【例4】（2021九上·百色期末）如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.（1）建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式；（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？    【變式4-1】（2021九上·新興期末）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高．高度為3m．（1）在給出的圖中畫出平面直角坐標系；（2）求出水管的長度．     【變式4-2】如圖所示．三孔橋橫截面的三個孔是都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度AB為10m，頂點M距水面6m（即），小孔頂點N距水面4m（即），建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）求出大孔拋物線的解析式；（2）現(xiàn)有一艘船高度是4.5m，寬度是4m，為了保證安全，船頂距離橋拱頂部至少0.5m，則這艘船在正常水位時能否安全通過拱橋大孔？（3）當水位上漲到剛好淹沒小孔時，求出此時大孔的水面寬度EF．                 【變式4-3】（2021九上·青島期末）“?；⒂瑠W”明溪喜迎冬奧籃球賽火熱開啟，運動員你攻我守，分秒必爭，籃球運動員小明站在點O處長拋球，球從離地面1米的A處扔出，籃球在距O點6米的B處達到最高點，最高點C距地面4米，又一次彈起，落到點E處，EF之間的距離為2米，據(jù)試驗，籃球在場地上第二次彈起后劃出的拋物線與第一次劃出的拋物線形狀相同，但最大高度減少到原來最大高度的一半，以小明站立處O為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示．（算出的結(jié)果均保留整數(shù)，≈1.75；≈2.5）（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達式；（2）籃球第二次落地點E距O點的距離；（3）若小明需要在第一次拋球時投中籃筐，他應該向前走多遠？    【例5】（2021秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，某隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長OA為12m，寬OB為4m，隧道頂端D到路面的距離為10m，建立如圖所示的直角坐標系．（1）求該拋物線的解析式；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱，集裝箱最高處與地面距離為6m，寬為4m，隧道內(nèi)設雙向行車道，問這輛貨車能否安全通過？【變式5-1】（2021九上·海州期末）如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O點為原點，OM所在的直線為x軸建立直角坐標系.（1）求這條拋物線的解析式；（2）若要搭建一個由AD﹣DC﹣CB組成的矩形“支撐架”，已知支架的高度為4米，則這個“支撐架”總長是多少米？     【變式5-2】（2021秋?禪城區(qū)校級期中）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成．長方形的長為12m，寬為5m，拋物線的最高點C離路面AA1的距離為8m，過AA1的中點O建立如圖所示的直角坐標系．（1）求拋物線的表達式；（2）要在隧道入口頂部的拋物線上，左右對稱地安裝兩個攝像頭，使得這兩個攝像頭與地面距離相同，并且這兩個攝像頭之間的距離為6米，求攝像頭距離地面的距離．    【變式5-3】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構(gòu)成．矩形一邊OA的長是12m，另一邊OC的長是1m．拋物線上的最高點D到地面OA的距離為7m．以OA所在直線為x軸，以OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線所對應的函數(shù)表達式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內(nèi)車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于m的空隙．現(xiàn)有一輛貨運汽車，在隧道內(nèi)距離道路邊緣2m處行駛，求這輛貨運汽車載物后的最大高度．     【例6】（2021?安徽模擬）如圖①，一個橫截面為拋物線形的隧道，其底部的寬AB為8m，拱高為4m，該隧道為雙向車道，且兩車道之間有0.4m的隔離帶，一輛寬為2m的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂部與隧道間有不少于0.5m的空隙，按如圖②所建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線對應的函數(shù)關系式；（2）通過計算說明該貨車能安全通過的最大高度． 【變式6-1】（2021?朝陽區(qū)校級一模）如圖，一個橫截面為拋物線形的隧道底部寬12米、高6米．車輛雙向通行，若規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應為 　米．【變式6-2】（2020秋?莫旗期末）如圖，隧道的橫截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是8m，寬是2m，拋物線的解析式為．（1）一輛貨運車車高4m，寬2m，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設雙行道，中間遇車間隙為0.4m，那么這輛卡車是否可以通過？           【變式6-3】（2020秋?海珠區(qū)校級期中）某公路有一個拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過頂點C（0，5）．（長度單位：m）（1）直接寫出c＝　　；（2）求該隧道截面的最大跨度（即AB的長度）是多少米？（3）該隧道為雙向車道，現(xiàn)有一輛運貨卡車高4米、寬3米，問這輛卡車能否順利通過隧道？請說明理由．                  專題22.3  二次函數(shù)的實際應用（知識解讀2）【直擊考點】【學習目標】1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)的關系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．【知識點梳理】考點1 面積類考點2   拱橋類一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?/span>(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數(shù)關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題． 【典例分析】【考點1  面積類】【例1】（2021九上·長清期末）如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個矩形苗圃ABCD，其中兩邊靠的墻足夠長，中間用平行于AB的籬笆EF隔開，已知籬笆的總長度為18米，設矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（）．（1）求y與x的函數(shù)關系式；（2）求所圍矩形苗圃ABCD的面積最大值；【答案】（1）y＝﹣2x2＋18x（2）（m2）【解答】（1）解：設矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（），則，根據(jù)題意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x（2）解：二次函數(shù)y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），∵a＝﹣2＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，且當x＝﹣＝時，y取得最大值，最大值為y＝×（18﹣2×）＝（m2）； 【變式1-1】（2021秋?科左中旗期末）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為40米的籬笆圍成，已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關于x的函數(shù)關系式為（　?。?/span>A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【答案】C【解答】解：設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，則苗圃園與墻平行的一邊長為（40﹣2x）米．依題意可得：y＝x（40﹣2x）．故選：C．【變式1-2】（2012秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．(1)求S與x的函數(shù)關系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？(3)當AB的長是多少米時，圍成的花圃的面積最大？【答案】（1）S=﹣3x2+24x，≤x< 8；（2） 5m；（3）46.67m2【解答】（1）設花圃寬AB為xm，則長為（24-3x），利用長方形的面積公式，可求出S與x關系式，根據(jù)墻的最大長度求出x的取值范圍；（2）根據(jù)（1）所求的關系式把S=45代入即可求出x，即AB；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求出即可.解：（1）根據(jù)題意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函數(shù)解析式為：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴；（2）根據(jù)題意，設花圃寬AB為xm，則長為（24-3x），∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，當x＝3時，長＝24﹣9＝15＞10不成立，當x＝5時，長＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB長為5m；（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48∵墻的最大可用長度為10m，0≤24﹣3x≤10，∴，∵對稱軸x＝4，開口向下，∴當x＝m，有最大面積的花圃．【變式1-3】（2019?永春縣校級自主招生）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用32m 長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm．  （1）若花園的面積為252m2，求x的值；  （2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是17m 和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值．【答案】（1）18m或14m （2）255平方米【解答】解：（1）設AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根據(jù)題意得：x（32﹣x）＝252．解這個方程得：x1＝18，x2＝14，答：x的長度18m或14m．（2）設周圍的矩形面積為S，則S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離是17m和6米，∴6≤x≤15．∴當x＝15時，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．答：花園面積的最大值是255平方米．【例2】（2020秋?中山市期末）如圖，利用一面長為34米的墻，用鐵柵欄圍成一個矩形自行車場地ABCD，在AB和BC邊各有一個2米寬的小門（不用鐵柵欄）．若所用鐵柵欄的長為40米，矩形ABCD的邊AD長為x米，AB長為y米，矩形的面積為S平方米，且x＜y．（1）求y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）求S與x的函數(shù)關系式，并求出矩形場地的最大面積．【答案】（1）5≤x＜（2）S=﹣2（x﹣11）2+242；最大面積為242m2【解答】解：（1）根據(jù)題意，知x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，∴y＝﹣2x+44，自變量x的取值范圍是5≤x＜；（2）S＝xy＝x（﹣2x+44）＝﹣2x2+44x＝﹣2（x﹣11）2+242，∴當x＝11時，S取得最大值，最大值為242，即矩形場地的最大面積為242m2．【變式2-1】（2021春?百色期末）如圖，依靠一面長18米的墻，用34米長的籬笆圍成一個矩形場地花圃ABCD，AB邊上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍）．（1）設花圃的一邊AD長為x米，請你用含x的代數(shù)式表示另一邊CD的長為 　　米；（2）當矩形場地面積為160平方米時，求AD的長．【答案】（1）（36﹣2x） （2）10米【解答】解：（1）設AD＝x米，則BC＝AD＝x米，∴CD＝34+2﹣2AD＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米．故答案為：（36﹣2x）．（2）依題意得：x（36﹣2x）＝160，化簡得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10．當x＝8時，36﹣2x＝36﹣2×8＝20＞18，不合題意，舍去；當x＝10時，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合題意．答：AD的長為10米．【變式2-2】（2020九上·安慶期末）如圖，一農(nóng)戶要建一矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為 的住房墻，另外三邊用 長的建筑材料圍成，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個 寬的門．所圍成矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍的面積最大，最大面積是多少？  【答案】長、寬分別為12米、8米時，豬舍的面積最大，最大面積是96平方米．【答案】解：設豬舍的寬為 ，則長為 ，  由題意得 ，對稱軸為 ， ， ， ，在 中，∵ ，∴在對稱軸右側(cè) 隨著 的增大而減小，所以當 米時，即矩形豬舍的長、寬分別為12米、8米時，豬舍的面積最大，最大面積是96平方米．【變式2-3】（2021?游仙區(qū)模擬）如圖，游仙怡心月季養(yǎng)植園是一個矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．為了便于養(yǎng)護與運輸，養(yǎng)植園內(nèi)留有四橫四縱等寬道路，養(yǎng)植面積與道路面積比為7：3．（1）求道路的寬度．（2）養(yǎng)植區(qū)域內(nèi)月季盆栽要均勻擺放，即每平方米擺放的盆數(shù)一樣．每平方米最多能擺放36盆，密度越大，花的品質(zhì)會下降，每盆月季的出售價也會隨之降低．大棚內(nèi)現(xiàn)在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售價為5元．分析發(fā)現(xiàn)：每平方米每增加5盆，每盆的出售價會下降0.5元．老板準備增加養(yǎng)植數(shù)量，以獲得最多的出售總額，那么每平米應該養(yǎng)植多少盆月季小盆栽才能使出售總額最多？【答案】(1) 1米 (2)30盆【解答】解：（1）設道路寬x米，則（32﹣4x）（20﹣4x）＝32×20×，解得：x1＝1，x2＝12（不合題意舍去），故x＝1，答：道路寬為1米；（2）∵5：0.5＝10：1，故設每平方米增加10z盆，則每盆售價降低z元，出售總額為w元/m2，則：w＝（10+10z）（5﹣z）＝﹣10（z﹣2）2+90，∵10z≤36﹣10，∴z≤2.6，∴0≤z≤2.6，又∵a＝﹣10＜0，且z＝2在0≤z≤2.6內(nèi)，∴每平米應該養(yǎng)植30盆月季小盆栽才能使出售總額最多． 【考點2  拱橋類】【例3】（2020秋?郫都區(qū)期末）如圖，橋洞的拱形是拋物線，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面4m．若選取拱形頂點C為坐標原點，以水平方向為x軸，建立平面直角坐標系，此時該拋物線解析式為　　．【答案】y＝﹣x2【解答】解：如圖，拱形頂點C為坐標原點，以水平方向為x軸，建立平面直角坐標系，由題意知B（6，﹣4），設拋物線解析式為y＝ax2，將點B（6，﹣4）代入，得：﹣4＝36a，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2，故答案為：y＝﹣x2．【變式3-1】（2020秋?肇源縣期末）如圖，有一座拋物線形拱橋，當水位線在AB位置時，拱頂離水面2m，水面寬為4m．當水面下降1m后，水面寬為　　m．【答案】【解答】解：由題意得：B（2，﹣2），設拋物線解析式為y＝ax2，將B（2，﹣2）代入y＝ax2，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，設D（x，﹣3），把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，∴水面寬CD為2m，故答案為：2．【變式3-2】（2021秋?黔西南州期末）中國貴州省省內(nèi)的射電望遠鏡（FAST）是目前世界上口徑最大，精度最高的望遠鏡．根據(jù)有關資料顯示，該望遠鏡的軸截面呈拋物線狀，口徑AB為500米，最低點P到口徑面AB的距離是100米，若按如圖（2）所示建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是　．【答案】：y＝x2﹣100．【解答】解：由題意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），設拋物線解析式為：y＝ax2﹣100，則0＝62500a﹣100，解得：a＝，故拋物線解析式為：y＝x2﹣100．故答案為：y＝x2﹣100．【變式3-3】（2022九下·定海開學考）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達式為（1）求雕塑高OA．（2）求落水點C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．【答案】（1）OA高為m （2）22m  （3）不會碰到水柱 【答案】（1）解：∵ ， 當x=0時， =.∴雕塑OA高為m；（2）解：設，∴(x-11)(x+1)=0， 解得x=11或-1，∴OD=11m，∴CD=2OD=22m， 即落水點C、D之間的距離為22m ;（3）解：∵OE=10m，∴x=10，∴ =，∵1.8=，∴>1.8，∴ 頂部不會碰到水柱 .【例4】（2021九上·百色期末）如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.（1）建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式；（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【答案】（1） . （2）0.2m.【解答】（1）解：∵當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米， ∴拋物線的頂點坐標為（0，3.5），∴設拋物線的表達式為y＝a +3.5，由圖知圖象過以下點：（1.5，3.05）.∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴拋物線的表達式為 .（2）解：設球出手時，他跳離地面的高度為hm， 因為（1）中求得 ，則球出手時，球的高度為h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2× +3.5，∴h＝0.2（m）.答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m.【變式4-1】（2021九上·新興期末）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高．高度為3m．（1）在給出的圖中畫出平面直角坐標系；（2）求出水管的長度．【答案】（1）略（2）m【答案】（1）解：以水池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立平面直角坐標系；如圖所示：（2）解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3(0≤x≤3)，∵當x=0時，y=-×（0-1）2+3=-+3=，∴水管的長度為m．【變式4-2】如圖所示．三孔橋橫截面的三個孔是都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度AB為10m，頂點M距水面6m（即），小孔頂點N距水面4m（即），建立如圖所示的平面直角坐標系．（1）求出大孔拋物線的解析式；（2）現(xiàn)有一艘船高度是4.5m，寬度是4m，為了保證安全，船頂距離橋拱頂部至少0.5m，則這艘船在正常水位時能否安全通過拱橋大孔？（3）當水位上漲到剛好淹沒小孔時，求出此時大孔的水面寬度EF．【答案】（1） （2）能安全通過  （3）【答案】（1）解：設大孔拋物線的解析式為y＝ax2＋6，把點A（?5，0）代入解析式解得，，解得：，∴函數(shù)解析式為（2）解：把代入函數(shù)解析式得：，∵，∴這艘船在正常水位時，能安全通過拱橋大孔（3）解：∵NC=4，∴把代入得：，解得：，∴E、F兩個點的橫坐標分別為：，，當水位上漲到剛好淹沒小孔時，大孔的水面寬度EF為：【變式4-3】（2021九上·青島期末）“?；⒂瑠W”明溪喜迎冬奧籃球賽火熱開啟，運動員你攻我守，分秒必爭，籃球運動員小明站在點O處長拋球，球從離地面1米的A處扔出，籃球在距O點6米的B處達到最高點，最高點C距地面4米，又一次彈起，落到點E處，EF之間的距離為2米，據(jù)試驗，籃球在場地上第二次彈起后劃出的拋物線與第一次劃出的拋物線形狀相同，但最大高度減少到原來最大高度的一半，以小明站立處O為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示．（算出的結(jié)果均保留整數(shù)，≈1.75；≈2.5）（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達式；（2）籃球第二次落地點E距O點的距離；（3）若小明需要在第一次拋球時投中籃筐，他應該向前走多遠？【答案】（1）y=（x-6）2+4 （2）23m （3）16m【答案】（1）解：設籃球開始飛出到第一次落地時拋物線的表達式為y=a（x-h）2+k，∵h=6，k=4，∴y=a（x-6）2+4，由已知：當x=0時y=1，即1=36a+4，∴a=，∴表達式為y=（x-6）2+4；（2）解：令y=0，（x-6）2+4=0，∴（x-6）2=48，解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6，∴點D坐標為(13，0)．∴OD=13m如圖所示，過拋物線DE的頂點M作MG∥x軸，交拋物線ACD于點G、點H．∵籃球在場地上第二次彈起后劃出的拋物線與第一次劃出的拋物線形狀相同，但最大高度減少到原來最大高度的一半∴拋物線DME相當于將拋物線ACD向下平移的兩個長度單位再向右平移．∴GH=DE，點G、H、M的縱坐標為2．當y=2時，（x-6）2+4=2x1=        x2=∴DE=GH=x2-x1=10OE=OD+DE=13+10=23m∴籃球第二次落地點E距O點的距離23m（3）解：如圖所示，當y=3時，（x-6）2+4＝3，解得：x1=；x2=9即點OR=9m，∵EF=2m∴OF=OE+EF=23+2=25m若小明需要在第一次拋球時投中籃筐，他應該向前走的距離為：RF=OF-OR=25-9=16m故：若小明需要在第一次拋球時投中籃筐，他應該向前走16m． 【例5】（2021秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，某隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長OA為12m，寬OB為4m，隧道頂端D到路面的距離為10m，建立如圖所示的直角坐標系．（1）求該拋物線的解析式；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱，集裝箱最高處與地面距離為6m，寬為4m，隧道內(nèi)設雙向行車道，問這輛貨車能否安全通過？【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+10（2）能安全通過【解答】解：（1）根據(jù)題意，該拋物線的頂點坐標為（6，10），設拋物線解析式為：y＝a（x﹣6）2+10，將點B（0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a＝﹣，故該拋物線解析式為y＝﹣（x﹣6）2+10； （2）根據(jù)題意，當x＝6+4＝10時，y＝﹣×16+10＝＞6，∴這輛貨車能安全通過． 【變式5-1】（2021九上·海州期末）如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O點為原點，OM所在的直線為x軸建立直角坐標系.（1）求這條拋物線的解析式；（2）若要搭建一個由AD﹣DC﹣CB組成的矩形“支撐架”，已知支架的高度為4米，則這個“支撐架”總長是多少米？【答案】（1） x2+2x  （2）（8+ ）米【解答】（1）解：由題意，該拋物線過O（0，0）、M（12，0）， ∴該拋物線的對稱軸為直線x=6，頂點坐標為P（6，6），設該拋物線的解析式為y=a(x－6)2+6，將點O(0，0)代入，得：36a+6=0，解得：a= ，∴該拋物線的解析式為y=    (x－6)2+6=  x2+2x；（2）解：∵AD﹣DC﹣CB組成的是矩形“支撐架”， ∴AD=CB=4，令y=4，由4=  x2+2x得：x2－12x+24=0，解得： ， ，∴C( ，4)，D（ ，4），∴CD= －( )= ，∴AD+DC+CB=4+4+ =8+ ，∴這個“支撐架”總長是（8+ ）米.【變式5-2】（2021秋?禪城區(qū)校級期中）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成．長方形的長為12m，寬為5m，拋物線的最高點C離路面AA1的距離為8m，過AA1的中點O建立如圖所示的直角坐標系．（1）求拋物線的表達式；（2）要在隧道入口頂部的拋物線上，左右對稱地安裝兩個攝像頭，使得這兩個攝像頭與地面距離相同，并且這兩個攝像頭之間的距離為6米，求攝像頭距離地面的距離．【答案】（1）    （2）7.25米【解答】解：（1）由題意可得，點C的坐標為（0，8），點B的坐標為（﹣6，5），設此拋物線的解析式為y＝ax2+8，5＝a×（﹣6）2+8，解得，a＝﹣，∴此拋物線的解析式為y＝﹣x2+8；（2）∵這兩個攝像頭之間的距離為6米，∴當x＝3時，y＝﹣×9+8＝＝7.25，∴攝像頭距離地面的距離為7.25米．【變式5-3】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構(gòu)成．矩形一邊OA的長是12m，另一邊OC的長是1m．拋物線上的最高點D到地面OA的距離為7m．以OA所在直線為x軸，以OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線所對應的函數(shù)表達式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內(nèi)車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于m的空隙．現(xiàn)有一輛貨運汽車，在隧道內(nèi)距離道路邊緣2m處行駛，求這輛貨運汽車載物后的最大高度．【答案】（1）． （2）m  （3）4m【解答】解：（1）由題意設拋物線所對應的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣6）2+7，將點C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得，∴該拋物線所對應的函數(shù)表達式為． （2）把y＝5代入中，，解得，，，所以兩排燈之間的水平距離為m； （3）把x＝2代入中，，，所以這輛貨運汽車載物后的最大高度為4m．【例6】（2021?安徽模擬）如圖①，一個橫截面為拋物線形的隧道，其底部的寬AB為8m，拱高為4m，該隧道為雙向車道，且兩車道之間有0.4m的隔離帶，一輛寬為2m的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂部與隧道間有不少于0.5m的空隙，按如圖②所建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線對應的函數(shù)關系式；（2）通過計算說明該貨車能安全通過的最大高度．【答案】（1） （2）2.29 m【解答】解：（1）如圖②中，A（﹣4，0），C（0，4），設拋物線解析式為y＝ax2+k，由題意，得，解得：，∴拋物線表達式為．（2）2+＝2.2，當x＝2.2時，y＝﹣×2.22+4＝2.79，當y＝2.79時，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．答：該貨車能夠通行的最大高度為2.29 m．【變式6-1】（2021?朝陽區(qū)校級一模）如圖，一個橫截面為拋物線形的隧道底部寬12米、高6米．車輛雙向通行，若規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應為 　米．【答案】3【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)題意得：A（0，6），B（6，0），設拋物線解析式為y＝ax2+6，把B（6，0）代入，得a＝﹣，所以拋物線的解析式為y＝﹣x2+6，當x＝4時，y＝，﹣＝3．所以通過隧道車輛的高度限制應為3米．故答案為3．【變式6-2】（2020秋?莫旗期末）如圖，隧道的橫截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是8m，寬是2m，拋物線的解析式為．（1）一輛貨運車車高4m，寬2m，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設雙行道，中間遇車間隙為0.4m，那么這輛卡車是否可以通過？【答案】（1）能通過 （2）能通過【解答】解：（1）由題意，得當x＝1時，，∵3.75+2＝5.75＞4，∴能通過． （2）由題意，得當x＝2.2時，，∵2.79+2＝4.79＞4，∴能通過．【變式6-3】（2020秋?海珠區(qū)校級期中）某公路有一個拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過頂點C（0，5）．（長度單位：m）（1）直接寫出c＝　　；（2）求該隧道截面的最大跨度（即AB的長度）是多少米？（3）該隧道為雙向車道，現(xiàn)有一輛運貨卡車高4米、寬3米，問這輛卡車能否順利通過隧道？請說明理由．【答案】（1）5 （2）10米 （3）能安全通過【解答】解：（1）∵頂點C（0，5）∴c＝5，故答案為：5．（2）由題意可得：0＝﹣x2+5，解得：x1＝5，x2＝﹣5，故AB＝2×5＝10米；（3）把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，故能安全通過． 

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