九年級上冊21.3 實際問題與一元二次方程學(xué)案

這是一份九年級上冊21.3 實際問題與一元二次方程學(xué)案，共13頁。學(xué)案主要包含了直擊考點，學(xué)習目標，知識點梳理，典例分析，考點1變化率問題，變式1-1，變式1-2，變式1-3等內(nèi)容，歡迎下載使用。
專題21.3  一元二次方程與實際應(yīng)用（一）（知識解讀）【直擊考點】 【學(xué)習目標】懂得運用一元二次方程解決有關(guān)變化率問題；懂得運用一元二次方程解決有關(guān)傳播、分裂問題；懂得運用一元二次方程解決有關(guān)握手、比賽問題 【知識點梳理】考點 1 變化率問題 ：設(shè)基準數(shù)為a ，兩次增長（或下降）后為 b；增長率（下降率）為 x，第一次增長（或下降）后 為；第二次增長（或下降）后為 2．可列方程為 2=b。 考點2 傳染、分裂問題有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人? 設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：  考點3 握手、比賽問題握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。【典例分析】【考點1變化率問題】【例1】（2022春?沂源縣校級月考）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展等多重利好因素，我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高．據(jù)統(tǒng)計，2016年利潤為2億元，2018年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率．（2）若2019年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能否超過3.4億元？       【變式1-1】（2021?東營）“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現(xiàn)．         【變式1-2】（2022?威寧縣模擬）書籍是人類寶貴的精神財富，讀書則是傳承優(yōu)秀文化的通道．我縣為響應(yīng)全民閱讀活動，利用春節(jié)假期面向社會開放縣圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一天進館100人次，進館人次逐天增加，第三天進館121人次．若進館人次的日平均增長率相同．（1）求進館人次的日平均增長率；（2）因疫情防控要求限制，縣圖書館每天接納能力不得超過200人次，在進館人次的日平均增長率不變的條件下，縣圖書館能否接納第四天的進館人次，說明理由．      【變式1-3】（2022春?巴州區(qū)校級月考）為了滿足社區(qū)居民強身健體的需要，政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經(jīng)過考察了解，飛躍公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇，已知飛躍公司2020年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，2020年每套B型健身器材的售價為2萬元，2022年每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府經(jīng)過招標，決定年內(nèi)采購并安裝飛躍公司A，B兩種型號的健身器材共80套，政府采購專項經(jīng)費總計不超過112萬元，并且采購A型器材費用不能少于B型器材的費用，請求出滿足條件的采購方案．       【考點2 傳染、分裂問題】【例2】（2020秋?武漢期末）有5人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有605人患流感，則第一輪后患流感的人數(shù)為（　?。?/span>A．10 B．50 C．55 D．45【變式2-1】（2021秋?濱城區(qū)期末）有兩名流感病人，如果每輪傳播中平均一個病人傳染的人數(shù)相同，為了使兩輪傳播后，流感病人總數(shù)不超過288人，則每輪傳播中平均一個病人傳染的人數(shù)不能超過（　?。┤耍?/span>A．11 B．10 C．9 D．8【變式2-2】（2021?新民市開學(xué)）某學(xué)校有一名同學(xué)題了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名同學(xué)得了流感，每輪傳染中平均一名同學(xué)傳染了幾名同學(xué)？    【變式2-3】（2021秋?海淀區(qū)校級月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？    【例3】（2021秋?舞陽縣期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是91，設(shè)每個枝干長出x小分支，列方程為（　　）A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91【變式3-1】（2021春?拱墅區(qū)校級月考）某校“研學(xué)”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個主干上長出x個枝干，每個枝干上再長出x個小分支．若在1個主干上的主干、枝干和小分支的數(shù)量之和是43個，則x等于（　?。?/span>A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-2】（2021秋?蓬江區(qū)期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是157，每個支干長出的小分支數(shù)目為（　?。?/span>A．12 B．11 C．8 D．7【變式3-3】（2019秋?萍鄉(xiāng)期末）某樹主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、枝干和小分支總數(shù)共57根，則主干長出枝干的根數(shù)為（　?。?/span>A．7 B．8 C．9 D．10【考點3握手、比賽問題】【例4】（2021秋?虎林市校級期末）2021年虎林市教育局組織開展了全市中學(xué)生籃球聯(lián)賽，比賽采用單循環(huán)賽制（每兩隊之間進行一場比賽），共進行了66場比賽，則參加比賽的隊伍數(shù)量是（　?。?/span>A．10 B．11 C．12 D．13【變式4-1】（2022?黑龍江模擬）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進行了28場，則該校八年級有（　?。﹤€班級．A．8 B．9 C．10 D．11【變式4-2】（2020?河池）某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數(shù)是（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【變式4-3】（2021?南漳縣模擬）參加一次綠色有機農(nóng)產(chǎn)品交易會的每兩家公司都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，參加這次交易會的公司共有（　?。?/span>A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家【例5】（2021秋?蘭山區(qū)期末）一個小組若干人，新年互送賀卡一張，若全組共送賀卡90張，則這個小組共有（　?。?/span>A．9人 B．10人 C．12人 D．15人【變式5-1】（2021?宜州區(qū)模擬）某班學(xué)生畢業(yè)時，每一位同學(xué)都向全班其他同學(xué)送一張自己的相片作為紀念，全班共送了2550張相片，若設(shè)全班有x名學(xué)生，則可列方程為（　?。?/span>A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100 【變式5-2】（2020秋?紅橋區(qū)期末）要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽90場．設(shè)共有x個隊參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為（　　）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【變式5-3】（2021春?濟寧期末）參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽72場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，所列方程為 　          　．                       專題21.3  一元二次方程與實際應(yīng)用（一）（知識解讀）【直擊考點】 【學(xué)習目標】懂得運用一元二次方程解決有關(guān)變化率問題；懂得運用一元二次方程解決有關(guān)傳播、分裂問題；懂得運用一元二次方程解決有關(guān)握手、比賽問題 【知識點梳理】考點 1 變化率問題 ：設(shè)基準數(shù)為a ，兩次增長（或下降）后為 b；增長率（下降率）為 x，第一次增長（或下降）后 為；第二次增長（或下降）后為 2．可列方程為 2=b。 考點2 傳染、分裂問題有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人? 設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：  考點3 握手、比賽問題握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。【典例分析】【考點1變化率問題】【例1】（2022春?沂源縣校級月考）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展等多重利好因素，我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高．據(jù)統(tǒng)計，2016年利潤為2億元，2018年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率．（2）若2019年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能否超過3.4億元？【答案】（1） 20%（2）能超過3.4億元【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率為20%．（2）2.88×（1+20%）＝3.456（億元），∵3.456億元＞3.4億元，∴若2019年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能超過3.4億元．【變式1-1】（2021?東營）“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長率，科研團隊期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達到1200公斤，請通過計算說明他們的目標能否實現(xiàn)． 【答案】（1）20%    （2）能實現(xiàn)【解答】解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為x，依題意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：畝產(chǎn)量的平均增長率為20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他們的目標能實現(xiàn)． 【變式1-2】（2022?威寧縣模擬）書籍是人類寶貴的精神財富，讀書則是傳承優(yōu)秀文化的通道．我縣為響應(yīng)全民閱讀活動，利用春節(jié)假期面向社會開放縣圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一天進館100人次，進館人次逐天增加，第三天進館121人次．若進館人次的日平均增長率相同．（1）求進館人次的日平均增長率；（2）因疫情防控要求限制，縣圖書館每天接納能力不得超過200人次，在進館人次的日平均增長率不變的條件下，縣圖書館能否接納第四天的進館人次，說明理由．【答案】（1）10%（2）能接納第四天的進館人次．【解答】解：（1）設(shè)進館人次的日平均增長率為x，根據(jù)題得，100（1+x）2＝121，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣1.1（不符題意，舍去），答：進館人次的日平均增長率為10%；（2）因為第四天的進館人次為121×（1+0.1）＝133.1（人次），而133.1＜200，所以縣圖書館能接納第四天的進館人次．答：縣圖書館能接納第四天的進館人次．【變式1-3】（2022春?巴州區(qū)校級月考）為了滿足社區(qū)居民強身健體的需要，政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經(jīng)過考察了解，飛躍公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇，已知飛躍公司2020年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，2020年每套B型健身器材的售價為2萬元，2022年每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府經(jīng)過招標，決定年內(nèi)采購并安裝飛躍公司A，B兩種型號的健身器材共80套，政府采購專項經(jīng)費總計不超過112萬元，并且采購A型器材費用不能少于B型器材的費用，請求出滿足條件的采購方案．【答案】（1）20% (2)6種購買方案【解答】解：（1）設(shè)每套A型健身器材年平均下降率為x，根據(jù)題意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率為20%；（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（萬元）．設(shè)購買B型健身器材m套，則購買A型健身器材（80﹣m）套，根據(jù)題意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤112，解得：m≤50．又因為采購A型器材費用不能少于B型器材的費用，所以1.6（80﹣m）≥1.28m，解得m≥＝44．故44≤m≤50．因為m是正整數(shù)，所以m的值為45，46，47，48，49，50，則（80﹣m）的值為35，34，33，32，31，30，所以共有6種購買方案：方案一：購買A型健身器材35套，購買B型健身器材45套；方案二：購買A型健身器材34套，購買B型健身器材46套；方案三：購買A型健身器材33套，購買B型健身器材47套；方案四：購買A型健身器材32套，購買B型健身器材48套；方案五：購買A型健身器材31套，購買B型健身器材49套；方案六：購買A型健身器材30套，購買B型健身器材50套【考點2 傳染、分裂問題】【例2】（2020秋?武漢期末）有5人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有605人患流感，則第一輪后患流感的人數(shù)為（　　）A．10 B．50 C．55 D．45【答案】C【解答】解：設(shè)每輪傳染中每人傳染x人，依題意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，整理，得：x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合題意，舍去），∴5+5x＝55．故選：C．【變式2-1】（2021秋?濱城區(qū)期末）有兩名流感病人，如果每輪傳播中平均一個病人傳染的人數(shù)相同，為了使兩輪傳播后，流感病人總數(shù)不超過288人，則每輪傳播中平均一個病人傳染的人數(shù)不能超過（　?。┤耍?/span>A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x人，由題意得，2+2x+（2+2x）x＝288，解得：x1＝11，x2＝﹣13，答：每輪傳播中平均一個病人傳染的人數(shù)不能超過11個人．故選：A．【變式2-2】（2021?新民市開學(xué)）某學(xué)校有一名同學(xué)題了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名同學(xué)得了流感，每輪傳染中平均一名同學(xué)傳染了幾名同學(xué)？【答案】10【解答】解：設(shè)平均一名同學(xué)傳染了x名同學(xué)，根據(jù)題意得，1+x+（1+x）x＝121，解得，x1＝10，x2＝﹣12（舍去），答：平均一名同學(xué)傳染了10名同學(xué)【變式2-3】（2021秋?海淀區(qū)校級月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？【答案】15個人【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪傳染了x（1+x）人，依題意得：1+x+x（1+x）＝256，解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了15個人．【例3】（2021秋?舞陽縣期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是91，設(shè)每個枝干長出x小分支，列方程為（　?。?/span>A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91【答案】B【解答】解：設(shè)每個枝干長出x個小分支，則主干上長出了x個枝干，根據(jù)題意得：x2+x+1＝91．故選：B．【變式3-1】（2021春?拱墅區(qū)校級月考）某?！把袑W(xué)”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的1個主干上長出x個枝干，每個枝干上再長出x個小分支．若在1個主干上的主干、枝干和小分支的數(shù)量之和是43個，則x等于（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：依題意，得：1+x+x2＝43，整理，得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．故選：C．【變式3-2】（2021秋?蓬江區(qū)期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是157，每個支干長出的小分支數(shù)目為（　?。?/span>A．12 B．11 C．8 D．7【答案】A【解答】解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1＝157，即（x+13）（x﹣12）＝0，解得：x＝12或x＝﹣13（不合題意，應(yīng)舍去）；∴x＝12．故選：A．【變式3-3】（2019秋?萍鄉(xiāng)期末）某樹主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、枝干和小分支總數(shù)共57根，則主干長出枝干的根數(shù)為（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：設(shè)主干長出x根枝干，依題意，得：1+x+x2＝57，解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合題意，舍去）．故選：A．【考點3握手、比賽問題】【例4】（2021秋?虎林市校級期末）2021年虎林市教育局組織開展了全市中學(xué)生籃球聯(lián)賽，比賽采用單循環(huán)賽制（每兩隊之間進行一場比賽），共進行了66場比賽，則參加比賽的隊伍數(shù)量是（　?。?/span>A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解答】解：設(shè)參加比賽的隊伍有x支，依題意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：C．【變式4-1】（2022?黑龍江模擬）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進行了28場，則該校八年級有（　?。﹤€班級．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解答】解：設(shè)該校八年級有x個班級，依題意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．故選：A．【變式4-2】（2020?河池）某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數(shù)是（　?。?/span>A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【變式4-3】（2021?南漳縣模擬）參加一次綠色有機農(nóng)產(chǎn)品交易會的每兩家公司都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，參加這次交易會的公司共有（　　）A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家【答案】B【解答】解：設(shè)參加這次交易會的公司共有x家，依題意得：x（x﹣1）＝45，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去），∴參加這次交易會的公司共有10家．故選：B．【例5】（2021秋?蘭山區(qū)期末）一個小組若干人，新年互送賀卡一張，若全組共送賀卡90張，則這個小組共有（　?。?/span>A．9人 B．10人 C．12人 D．15人【答案】B【解答】解：設(shè)這個小組共有x人，則每人需送出（x﹣1）張賀卡，依題意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．故選：B．【變式5-1】（2021?宜州區(qū)模擬）某班學(xué)生畢業(yè)時，每一位同學(xué)都向全班其他同學(xué)送一張自己的相片作為紀念，全班共送了2550張相片，若設(shè)全班有x名學(xué)生，則可列方程為（　　）A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100【答案】B【解答】解：∵每一位同學(xué)都向全班其他同學(xué)送一張自己的相片作為紀念，且全班有x名學(xué)生，∴每一位同學(xué)需送出（x﹣1）張相片．依題意得：x（x﹣1）＝2550．故選：B．【變式5-2】（2020秋?紅橋區(qū)期末）要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽90場．設(shè)共有x個隊參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為（　?。?/span>A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【答案】D【解答】解：設(shè)有x個隊參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D【變式5-3】（2021春?濟寧期末）參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽72場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，所列方程為 　          　．【答案】x（x﹣1）＝72．【解答】解：設(shè)參加比賽的球隊有x支，依題意得：x（x﹣1）＝72．故答案為：x（x﹣1）＝72．