2022-2023學年度人教版初中八年級數(shù)學課堂提升訓練試卷班級             姓名          第十三章　軸對稱13.3　等腰三角形13.3.2　等邊三角形第2課時 一、選擇題1. 已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等邊三角形,還需添加一個條件.現(xiàn)有下面三種說法:①如果添加條件“AB=AC”,那么△ABC是等邊三角形;②如果添加條件“∠B=∠C”,那么△ABC是等邊三角形;③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等邊三角形.上述說法中,正確的有(　　)A.3個　　B.2個　　C.1個　　D.0個2.如圖,E是等邊△ABC中AC邊上的點,∠1=∠2,BE=CD,則△ADE的形狀是(　　)A.等腰三角形　　B.等邊三角形　　C.不等邊三角形　　D.不能確定形狀3. 如圖,在鈍角三角形ABC中,∠ABC為鈍角,以點B為圓心,AB長為半徑畫弧,再以點C為圓心,AC長為半徑畫弧,兩弧交于點D,連接AD,BD,CD,CB的延長線交AD于點E.下列結(jié)論錯誤的是(　　)A.CE垂直平分AD　　     　　B.CE平分∠ACDC.△ABD是等腰三角形　　 　　D.△ACD是等邊三角形4.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,則BD與BC的數(shù)量關(guān)系為(　　)A.BC=2BD　　　　B.BC=3BDC.BC=4BD　　　　D.BC=5BD5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等邊△CDE的頂點E,D分別在線段AB,BC上,則CD的長為(　　)A.1　　　　B.2　　   C.3　　　　D.46.如圖,AB∥CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE=40°,則∠EAB等于(　　)A.40°　　　　B.30°　　C.20°　　　　D.15°二、填空題7.一個三角形一邊上的中線和另一邊上的高所在直線分別是這個三角形的對稱軸,則這個三角形是　　　　三角形. 8.如圖,在等邊△ABC的邊BC上任取一點D,作∠ADE=60°,DE與∠ACB鄰補角的平分線交于E,則△ADE是　　　　三角形. 9.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為　　　　. 10.圖①是某小區(qū)地下車庫入口的智能道閘機,圖②是橫桿升起時的示意圖,已知AC=100 cm,CD=220 cm,∠DCE=30°,則此時點D距離地面AB的高度為　　　　cm. 11.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E,連接BD.若CD=1,則AD的長為　　　　. 12.如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線分別交BC、AB于點E、F.若△AFC是等邊三角形,則∠B=　　　　°. 13.如圖,在一個池塘兩旁有一條筆直小路(B,C為小路端點)和一棵小樹(A為小樹位置).測得的相關(guān)數(shù)據(jù)為∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48米,則AC=　　　　米. 三、解答題14.已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于點D,且DE=DB,試判斷△CEB的形狀,并說明理由.     15.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D、E在BC上,且AE=BE.(1)求∠CAE的度數(shù);(2)若點D為線段EC的中點,求證:△ADE是等邊三角形.       16.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于點M,交BE于點G,AD平分∠MAC,交BC于點D,交BE于點F.(1)判斷直線BE與線段AD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若∠C=30°,圖中是否存在等邊三角形?若存在,請寫出來并證明;若不存在,請說明理由.   答案全解全析一、選擇題1.答案　A　①若添加的條件為AB=AC,由∠A=60°,利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形;②若添加的條件為∠B=∠C,∵∠A=60°,∴∠B=∠C=60°,∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC為等邊三角形;③若添加的條件為邊AB、BC上的高相等,如圖所示:已知:∠BAC=60°,AE⊥BC,CD⊥AB,且AE=CD.求證:△ABC為等邊三角形.證明:∵AE⊥BC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠AEC=90°,在Rt△ADC和Rt△CEA中,∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),∴∠ACE=∠BAC=60°,∴∠B=60°=∠BAC=∠ACB,∴△ABC為等邊三角形.綜上,正確的說法有3個.2.答案　B　∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD,∠CAD=∠BAE=60°,∴△ADE是等邊三角形.3.答案　D　由題意得CA=CD,BA=BD,∴CB所在直線是AD的垂直平分線,即CE垂直平分AD,故A選項結(jié)論正確;∵CA=CD,∴∠CAD=∠CDA,∵CE⊥AD,∴∠CEA=∠CED=90°,∴∠ACE=∠DCE,即CE平分∠ACD,故B選項結(jié)論正確;∵DB=AB,∴△ABD是等腰三角形,故C選項結(jié)論正確;∵AD與AC不一定相等,∴△ACD不一定是等邊三角形,故D選項結(jié)論錯誤.4. 答案　C　∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°,BC=2AB,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故選C.5. 答案　B　∵△CDE為等邊三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60°-30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE為直角三角形,∴CD=CE=BC=×4=2,故選B.6. 答案　C　∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE為等邊三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故選C.二、填空題7.答案　等邊解析　如圖所示,△ABC中,AD是邊BC上的高,BE是邊AC上的中線,∵AD,BE所在直線分別是三角形ABC的對稱軸,∴△ABD≌△ACD,△BAE≌△BCE,∴AB=AC,AB=BC,∴AB=AC=BC,∴△ABC為等邊三角形.8.答案　等邊解析　如圖,過D作AC的平行線交AB于P,∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°,AB=BC,∵AC∥PD,∴∠BPD=∠BDP=∠BAC=∠ACB=60°,∴△BDP為等邊三角形,∴BD=BP,∴AP=CD,∵∠BPD為△ADP的外角,∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°,∵∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°,∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC,∴∠DAP=∠EDC,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=120°,∵CE平分∠ACF,∴∠ACE=60°,∴∠DCE=120°,∵∠BPD=60°,∴∠APD=120°,∴∠APD=∠DCE,在△ADP和△DEC中,∴△ADP≌△DEC(ASA),∴AD=DE,∵∠ADE=60°,∴△ADE是等邊三角形.9. 答案　6解析　∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B=30°,∵∠A=90°,AN=1,∴MN=2AN=2,∵MN平分∠AMC,∴∠NMC=∠NMA=30°,∵CM平分∠ACB,∴∠ACM=∠ACB=30°,∴∠ACM=∠NMC,∴CN=MN=2,∴AC=AN+CN=1+2=3,∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,∴BC=2AC=2×3=6,故答案為6.10. 答案　210解析　如圖所示,過D作DG⊥AB于G,交CE于點F,易知∠DFC=90°,FG=AC=100 cm,∵∠DCE=30°,CD=220 cm,∴DF=CD=×220=110(cm),∴DG=DF+FG=110+100=210(cm).11. 答案　2解析　∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD,∵∠A=30°,∴∠ABD=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.12. 答案　30解析　∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF,∵△ACF為等邊三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.13. 答案　48解析　∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=BC=48米.三、解答題14.解析　△CEB是等邊三角形.理由:∵AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC,∴∠CBE=∠ABE=60°.又∵DE=DB,BE⊥AC,∴CB=CE,∴△CEB是等邊三角形.15.解析　(1)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AE=BE,∴∠EAB=∠B=30°.∵∠BAC=120°,∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°.(2)證明:由(1)知∠CAE=90°,∵∠C=30°,∴∠AEC=60°,AE=CE,∵點D為線段EC的中點,∴DE=CE=AE,又∵∠AEC=60°,∴△ADE是等邊三角形.16.解析　(1)BE垂直平分AD.理由如下:∵AM⊥BC,∴∠ABC+∠5=90°.∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°,∴∠5=∠C.∵AD平分∠MAC,∴∠3=∠4.∵∠BAD=∠5+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∴∠BAD=∠ADB,∴AB=DB,∴△BAD是等腰三角形.又∵BE平分∠ABC,∴BF⊥AD,AF=DF,∴BE垂直平分AD.(2)存在.△ABD、△AEG均是等邊三角形.證明:由(1)知BA=BD,∵∠C=30°,∠BAC=90°,∴∠ABD=60°,∴△ABD是等邊三角形.∵BE平分∠ABC,∴∠2=∠ABC=30°,∵AM⊥BC,∴∠BGM=∠AGE=60°.又∵Rt△ACM中,∠C=30°,∴∠CAM=60°,∴∠AEG=60°=∠AGE=∠GAE,∴△AEG是等邊三角形.
 

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13.3.2 等邊三角形

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