一、選擇題
1.下列推理錯(cuò)誤的是( )
A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC為等邊三角形
B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC為等邊三角形
C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形
D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形
2.如圖，已知D、E、F分別是等邊 △ABC的邊AB、BC、AC上的點(diǎn)，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，則下列結(jié)論不成立的是( )
A.△DEF是等邊三角形 B.△ADF≌△BED≌△CFE
C.DE=AB D.S△ABC=3S△DEF
3.在△ABC中，①若AB=BC=CA，則△ABC為等邊三角形；
②若∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；
③有兩個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形；
④一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
上述結(jié)論中正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
4.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則BC∶AB等于( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，則AB等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2cm，則AC長(zhǎng)為( )
A.4cm B.2cm C.1cm
7.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE=6 cm，則AC等于( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
8.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，立柱BC垂直于橫梁AC，AB=10m，∠A=30°，則立柱BC的長(zhǎng)度是( )
A.5m B.8m C.10m D.20m
9.下列說(shuō)法正確的是( )
A.如果兩個(gè)三角形全等，則它們是關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的圖形
B.如果兩個(gè)三角形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形
C.等邊三角形是關(guān)于一條邊上的中線成軸對(duì)稱的圖形
D.一條線段是關(guān)于經(jīng)過(guò)該線段中點(diǎn)的中線成軸對(duì)稱的圖形
10.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
11.一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若∠2=50°，則∠1=( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
12.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，點(diǎn)PQ分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+BQ的最小值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空題
13.在△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，則∠A的度數(shù)是________.
14.如果a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且(a-b)2+(a-c)2+|b-c|=0，則這個(gè)三角形是 .
15.由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可.
如圖①，衣架桿OA=OB=18 cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖②，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是 cm.
16.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E，則MN的長(zhǎng)為 .
17.等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)是2 cm，則腰上的高為________.
18.如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則eq \f(FG,AF)= .
三、解答題
19.如圖所示，銳角△ABC中，∠A=60°，它的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC.
求證：△ABC是等邊三角形.
20.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分線.
求證：△ADE是等邊三角形.
21.如圖，已知點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠EBC=∠DAC，CE∥AB.
求證：△CDE是等邊三角形.
22.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E.求證：BF=eq \f(1,2)FC.
23.如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥AC交BC于點(diǎn)F，且DF=EF.
(1)求證：CD=BE；
(2)若AB=12，試求BF的長(zhǎng).
參考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.C
6.C
7.D
8.A
9.B
10.D
11.C.
12.A
13.答案為：60°
14.答案為：等邊三角形.
15.答案為：18.
16.答案為：3cm.
17.答案為：1 cm
18.答案為：eq \f(1,2).
19.證明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，
∴∠BEC=∠BDC=90°.
又∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠DCO.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
∵∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形.
20.證明：∵點(diǎn)A在DE的垂直平分線上，
∴AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AB⊥DE，
∴∠ADE=90°－∠BAD，
∵AD⊥BD，
∴∠B=90°－∠BAD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴△ADE是等邊三角形.
21.證明：∵∠ABE+∠CBE=60°，∠CAD+∠ADC=60°，∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠ADC.
又CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE.
∴∠BEC=∠ADC.
又BC=AC，∠EBC=∠DAC，
∴△BCE≌△ACD.
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，即∠ECD=∠ACB=60°.
∴△CDE是等邊三角形.
22.證明：連接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF為AB的垂直平分線，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=120°﹣30°=90°，
∵∠C=30°，
∴AF=eq \f(1,2)CF，
∵BF=AF，
∴BF=eq \f(1,2)FC.
23.解：(1)如圖，作DM∥AB，交CF于M，則∠DMF=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF(ASA)，
∴DM=BE，
∴CD=BE；
(2)∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4.

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