1.掌握綜合法、分析法證明問題的過程和推理特點(diǎn),能靈活選用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單問題.
2.了解反證法的定義,掌握反證法的推理特點(diǎn).掌握反證法證明問題的一般步驟,能用反證法證明一些簡(jiǎn)單的命題.
數(shù)學(xué)家給出了“上帝不是萬能的”的證明過程.證明:假設(shè)上帝是萬能的,那么上帝能做任何事,就讓他制造一塊自己都搬不動(dòng)的大石頭,如果他造不出來,就說明他不是萬能的,如果他造出來了,但他又搬不動(dòng),這與假設(shè)矛盾.所以,上帝不是萬能的.數(shù)學(xué)家采用了哪種證明命題的方法?常見的證明方法有哪些呢?這節(jié)課我們一起來研究不等式的證明方法.
問題1 閱讀下面的證明過程,證明方法有何特點(diǎn)?
從已知條件出發(fā),綜合利用各種結(jié)果,經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法,在數(shù)學(xué)中通常稱為 法.綜合法最重要的推理形式為 ,其中p是已知或者已得出的結(jié)論,所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找 .
1.用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:
2.綜合法實(shí)際上是尋求使命題成立的必要條件,即由因?qū)Ч?
∵c0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.
∵c0.∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,
綜合法處理問題的三個(gè)步驟
(1)已知a>b,e>f,c>0.求證:f-acb,c>0,∴ac>bc,∴-aca;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推得成立的是________.
所以①②④能使它成立.
8.要使 成立,a,b應(yīng)滿足的條件是_____________或者_(dá)___________.
∴當(dāng)ab>0時(shí),b0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.
方法一 要證明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,只需證2a3-b3-2ab2+a2b≥0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
方法二 ∵a≥b>0,∴a2≥b2,a2-b2≥0,2a+b>0,∴(a2-b2)(2a+b)≥0,∴2a3-b3-2ab2+a2b≥0,∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
∴x=0,與條件x>0矛盾.
11.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
由于三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確.若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,于是三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙;若甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則甲、乙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)橐?、甲,再假設(shè)丙預(yù)測(cè)正確,則乙、丙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)楸?、乙,于是甲、乙、丙按成?jī)由高到低排序?yàn)楸?、乙、甲,從而乙的預(yù)測(cè)也正確,與事實(shí)矛盾;若甲、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則可推出乙的預(yù)測(cè)也錯(cuò)誤.綜上所述,三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧住⒁?、?
12.設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時(shí)大于0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
首先,若P,Q,R同時(shí)大于0,則必有PQR>0成立.其次,若PQR>0,且P,Q,R不都大于0,則必有兩個(gè)為負(fù),不妨設(shè)P0,∴a-b0,
故只需a≠b且a,b都不小于零即可.
15.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是______.(填序號(hào))
若a=b=1,則a+b=2,故②不能推出.若a=-2,b=1,則a2+b2>2,故④不能推出.對(duì)于③,若a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1.反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1.
16.已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),用反證法證明三個(gè)方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.

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2.2.1 不等式及其性質(zhì)

版本: 人教B版 (2019)

年級(jí): 必修 第一冊(cè)

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