均值不等式 (a>0,b>0)的應用廣泛,方法靈活多變,常見考查情形有連續(xù)運用均值不等式求最值、求變量的取值范圍、比較大小,另外均值不等式也常和其他知識交匯考查.
連續(xù)運用均值不等式求最值
由a>b>0,得a-b>0,
多次使用均值不等式時,一定要保證幾次等號成立的條件能同時成立,要善于發(fā)現(xiàn)“定值”,在使用時可采用拼湊法、換元法、常數(shù)代換等方法.
當且僅當a=b=1時,等號成立.
利用均值不等式求參數(shù)的值或取值范圍
已知4x+ (x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a的值為______.
求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數(shù),轉化為求代數(shù)式的最值問題.(2)觀察題目特點,利用基本不等式確定相關成立條件,從而得參數(shù)的值或取值范圍.
因為a>0,b>0,所以2a+b>0,
當且僅當a=b時,等號成立,所以m≤9.所以m的最大值為9.
利用均值不等式比較大小
A.P>Q>M B.M>P>QC.Q>M>P D.M>Q>P
運用均值不等式比較大小的注意點(1)要靈活運用均值不等式,特別注意其變形.(2)應注意成立的條件,即a+b≥ 成立的條件是a>0,b>0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.
(多選)設a,b為非零實數(shù),則下列不等式恒成立的是
由a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立,可知A正確;
當a=1,b=-1時,可知D不正確.
由題意知a>0,二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖像與x軸有兩個相同的交點,則Δ=16-4ac=0,所以ac=4,c>0.
對于均值不等式和其他知識交匯問題,一般以其他知識為載體,通過對所給條件(其他知識)研究,得到一個等式,在此條件下利用均值不等式解決問題.
所以-2m-n+2=0,即2m+n=2,
1.知識清單: (1)連續(xù)運用均值不等式求最值. (2)利用均值不等式求參數(shù)的值或取值范圍. (3)利用均值不等式比較大小. (4)均值不等式與其他知識的交匯問題.2.方法歸納:消元法、換元法、拼湊法、“1”的代換等.3.常見誤區(qū):在同一個題目多次使用均值不等式時,一定要注意等號成立的 條件是否一致.
1.已知00,y>0,且x+2y=1,則x2+4y2+2xy的最小值為_____.
8.若對?x>-1,不等式x+ -1≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
因為x>-1,所以x+1>0,
理由如下:因為a-c=(a-b)+(b-c),
又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
10.已知實數(shù)a,b滿足0

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2.2.4 均值不等式及其應用

版本: 人教B版 (2019)

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