單選題：
1.空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＜eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)) B.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)) D.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))與eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的大小不能比較
2.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值為( )
A.a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
3.在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5.如圖，二面角的大小為，，為棱上相異的兩點(diǎn)，射線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱．若線段，和的長(zhǎng)分別為，和，則的長(zhǎng)為（ ）
B．
D．
二、填空題:
6.已知為兩兩垂直的單位向量，，，則與夾角的余弦值為 ．
7.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______.
8.如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的 兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq \r(17)， 則該二面角的大小為_(kāi)_________.
三、雙空題：
9.已知平行六面體，設(shè)中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
若且，則 ，若，則 ．
四、拓展題：
10.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))； (2)EG的長(zhǎng)；
(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值.
四、創(chuàng)新題：
11.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成
大小等于的二面角，，分別為，的中
點(diǎn)，若，，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．

12.是正方形的邊的中點(diǎn)，將繞旋轉(zhuǎn)，求直線與直線所成角的余弦值的取值范圍．
同步練習(xí)答案
選擇題：
1.答案：C.
解析：取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綉eq \f(1,2)CD，因?yàn)椤磂q \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＞90°
因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＜0，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)). 故選C.
2.答案：C.
解析 如圖，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c， ∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \f(1,2)c
＝eq \f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2. 故選C.
3. 答案：B.
解析：如圖，，，
．
．
．
異面直線與所成角的余弦值是．故選：．
4.答案：D.
解析：(法1)∵，，，，
則=5 所以. 故選D．
(法2)：如圖所示，設(shè)，，分別為，和的中點(diǎn)，則(或其補(bǔ)角)就是異面直線與所成角，，.作中點(diǎn)，則為直角三角形，∵，，在中，由余弦定理
，∴，，
在中，，
在中，由余弦定理得，
∴與所成角的余弦值為． 故選D．

5.答案：A
解析：二面角的大小為，，為棱上相異的兩點(diǎn)，
射線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱．
線段，和的長(zhǎng)分別為，和，
，
的長(zhǎng)為． 故選：．
二、填空題：
6．答案：
解析：為兩兩垂直的單位向量，，，
，
，
，
，， ．
7. 答案： eq \r(2)
解析： |eq \(EF,\s\up6(→))|2＝(eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2
＝eq \(EC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))2＋2(eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→)))
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)＝2，
∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)， ∴EF的長(zhǎng)為eq \r(2).
8. 答案 60°
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|· cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝－24.
∴ cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝－eq \f(1,2). 又所求二面角與〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉互補(bǔ)，
∴所求的二面角為60°.
三、雙空題：
9. 答案：，0
解析：①，
，
解得．
②，
與比較可得：，．則．

四、拓展題：
10. 答案：（1）eq \f(1,4) （2）eq \f(\r(2),2) （3）eq \f(2,3)
解析：設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4)，
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b－a＋eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)b ＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
|eq \(EG,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)c2－eq \f(1,2)a·b＋eq \f(1,2)b·c－eq \f(1,2)c·a＝eq \f(1,2)， 則|eq \(EG,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
由于異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為eq \f(2,3).
五．創(chuàng)新題：
11.答案：．
解析：連接，，可得，，
即有為二面角的平面角，
且，在等腰中，，
且，，，， 則．
12.答案：
解析：如圖，在平面內(nèi)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，（1）當(dāng)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，
在中，可得，，
；
（2）當(dāng)將繞旋轉(zhuǎn)，使面與平面重合時(shí)，
此時(shí)求得，．
直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是．

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