第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式-綜合檢測1（基礎(chǔ)卷）高一數(shù)學(xué)階段性復(fù)習(xí)精選精練（人教A版2019必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的． 1．下列命題是真命題的是 A．若．則 B．若，則 C．若，則 D．若，，則【答案】D 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷選項A，D；通過舉反例可判斷選項B，C．【解析】當(dāng)時，若，則，故選項A錯誤；當(dāng)時，滿足，但，故選項B錯誤；當(dāng)時，滿足，但，故選項C錯誤；若，，則由不等式的可加性得，即，選項D正確．故選D． 2．已知，下列關(guān)系正確的是 A． B． C． D．【答案】D 【分析】運用作差法比較代數(shù)式的大小，最后運用配方法化簡代數(shù)式即可得出結(jié)果．【解析】根據(jù)題意，選項D正確，選項ABC錯誤．故選D． 3．已知正數(shù)，，滿足，則有 A．最小值1 B．最小值 C．最大值 D．最大值1 【答案】D 【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解析】因為正數(shù)、滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即有最大值，故選D 4．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D．【答案】C 【分析】分和兩種情況求解，是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸沒有交點的問題，然后列出不等式求解即可．【解析】當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，，即，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故選C 5．已知，，且，則的最小值為 A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．，解得或（舍去），所以，即的最小值．4．此時．故選C． 6．不等式，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D．【答案】B 【分析】由得，解二次不等式即可．【解析】由得，解得．故選B． 7．已知，且，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值集合為 A． B． C．或 D．或【答案】A 【分析】根據(jù)求出的最小值，解不等式即可得解．【解析】，且，，當(dāng)時取得最值，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，，，，所以．故選A 8．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D．【答案】B 【分析】關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，等價于在內(nèi)，然后求出即可【解析】關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，等價于在內(nèi)，令，因為拋物線的對稱軸為，所以當(dāng)時，取最大值，所以，故選B 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．已知，，則下列說法正確的是 A．的取值范圍為 B．的取值范圍為 C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ACD 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對各個選項進(jìn)行計算，即可求出結(jié)果．【解析】對于，因為，所以，所以的取值范圍為，故正確；對于，因為，，所以，，所以的取值范圍為，故不正確；對于，因為，所以，又，所以的取值范圍為，故正確；對于，因為，，所以的取值范圍為，故正確；故選ACD． 10．不等式的解集是，對于系數(shù)a，b，c，下列結(jié)論正確的是 A． B． C． D．【答案】BD 【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集以及根與系數(shù)關(guān)系即可求解．【解析】不等式的解集是，可得，且的兩個根為，根與系數(shù)關(guān)系，所以，故B正確；由，則，故C不正確；二次函數(shù)開口向下，函數(shù)的零點為，當(dāng)時，，故A不正確；當(dāng)時，，故D正確；故選BD 11．現(xiàn)有以下結(jié)論 ①函數(shù)的最小值是2 ②若且，則 ③的最小值是2 ④函數(shù)的最小值為其中，不正確的是 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判斷．【解析】①未限定，時，，故錯誤； ②且，，，，故正確； ③，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，，等號不成立，最小值不為2，故錯誤； ④，，當(dāng)此僅當(dāng)，即時取等，故函數(shù)的最大值為，故錯誤．故選ACD 12．關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且僅有3個整數(shù)，則a的取值可以是 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】ABC 【分析】利用二次函數(shù)的對稱性確定原不等式的三個整數(shù)解即可計算作答．【解析】函數(shù)f(x)= x2-6x+a的圖象對稱軸為x=3，即在x=3時函數(shù)f(x)取得最小值，依題意，不等式f(x)≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則這三個整數(shù)必為2，3，4，即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，而a∈Z，則a=6或a=7或a=8，所以a的取值可以是6或7或8．故選ABC 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若方程有唯一的實數(shù)根－2，則不等式的解集為________．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)特征可知，拋物線開口向上，與軸只有一個交點，直接寫出解集即可【解析】由已知得拋物線的開口向上，與x軸交于點，故的解集為．故答案為 14．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是________．【答案】16 【分析】對利用基本不等式求出且，把展開得到，即可求出最小值．【解析】因為正實數(shù)a，b滿足，所以，即，也即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．因為，所以，所以．故的最小值是16．故答案為16 15．若關(guān)于的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】由關(guān)于的不等式無解，可得，求出的最大值，進(jìn)而可求出實數(shù)的取值范圍．【解析】因為關(guān)于的不等式無解，所以，令，二次函數(shù)開口向下，對稱軸時，取得最大值，最大值，所以，解得或．所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為．【名師點睛】本題考查不等式的恒成立問題，若恒成立，則；若存在解，則；若無解，則． 16．已知λ∈R，函數(shù)，當(dāng)λ=2時，不等式的解集是________．【答案】(1，4) 【分析】當(dāng)λ=2時，等價于或，分別求解，綜合即可得答案．【解析】由題意得或，解得或，即，所以不等式的解集是故答案為(1，4) 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（10分）（1）試比較與的大小；（2）已知，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）與作差，判斷差的正負(fù)即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)分析即可證出結(jié)論．【解析】（1）由題意，，所以．（2）因為，所以，即，而，所以，則．得證． 18．（12分）已知二次函數(shù)，且是函數(shù)的零點．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用根與系數(shù)關(guān)系求出即得解；（2）解一元二次不等式即得解．【解析】（1）因為是函數(shù)的零點，即或是方程的兩個實根，所以，從而，，即，所以．（2）由（1）得，從而即，所以，解得或． 19．（12分）求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）8．【分析】（1）因為，所以利用均值不等式即可求解；（2）因為，所以利用均值不等式即可求解．【解析】（1）因為，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故y的最大值為；（2）由題意，，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故y的最小值為8． 20．（12分）今年10月份，學(xué)校從某廠家購進(jìn)了A、B型電腦共250臺，A、B兩種型號電腦的單價分別為7000元、9000元，其中購進(jìn)A型、B型電腦的總金額和為205萬元．（1）求學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦各多少臺？（2）為推進(jìn)學(xué)校設(shè)備更新進(jìn)程，學(xué)校決定11月份在同一廠家再次購進(jìn)A、B兩種型號的電腦，在此次采購中，比起10月份進(jìn)購的同類型電腦，A型電腦的單價下降了a%，A型電腦數(shù)量增加了，B型電腦的單價上升了元，B型電腦數(shù)量下降了，這次采購A、B兩種型號電腦的總金額為205萬元，求a的值．【答案】（1）100臺，150臺；（2）50．【分析】（1）設(shè)學(xué)校月份購進(jìn)型電腦臺，結(jié)合總金額列方程，由此求得型電腦購進(jìn)的臺數(shù)．（2）結(jié)合采購的總金額列方程，由此求得的值．【解析】（1）設(shè)學(xué)校10月份購進(jìn)A型電腦x臺，則學(xué)校購進(jìn)B型電腦臺，由題意得，解得，則學(xué)校10月份B型電腦為（臺）；答：學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦各100、150臺．（2）根據(jù)第（1）可得學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦的單價各為7000元、9000元，由題意可得令，方程整理得，（舍），所以．即a的值為50． 21．（12分）已知實數(shù)，且．（1）當(dāng)時，求的最小值，并指出取最小值時，的值：（2）當(dāng)時，求的最小值，并指出取最小值時，的值（3）當(dāng)時，求的最小值，并指出取最小值時，的值．【答案】（1）時，最小值為；（2）時，最小值為；（3）時，最小值為；【解析】（1）當(dāng)時，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以時，取得最小值；（2）當(dāng)時，，所以，整理可得，解得或（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，最小為；（3）當(dāng)時，，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，取得最小值． 22．（12分）若，則．（1）若存在常數(shù)，使得不等式對任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；（2）證明不等式：．【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）令即可求解，利用不等式性質(zhì)即可證明不等式；（2）從原不等式入手，對原不等式變形，通過分類討論與之間的大小關(guān)系即可證明．【解析】證明：（1）當(dāng)時，，故，由，且，利用不等式性質(zhì)可得，；（2）欲證，只需證明，即， ①當(dāng)時，顯然不等式成立， ②當(dāng)時，不妨令，即，故，由于，顯然成立，故原不等式成立；同理，當(dāng)時，原不等式也成立．綜上所述，對于任意，，均成立．