突破5.7 三角函數的應用A組 基礎鞏固1．（2021·北京·北大附中高三月考）如圖所示，有一半徑為10米的水輪，水輪的圓心與水面的距離為6米，若水輪每分鐘逆時針轉4圈，且水輪上的點P在t=0時剛剛從水中浮現，則5秒鐘后點P與水面的距離是（結果精確到0.1米）（    ）A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米2．（2021·山西·懷仁市第一中學校高三月考（文））已知簡諧振動的振幅是，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則該簡諧振動的頻率和初相是（    ）A．， B．，C．， D．，3．（2021·貴州貴陽·高三開學考試（文））水車（如圖1），又稱孔明車，是我國最古老的農業(yè)灌溉工具，主要利用水流的動力灌溉農作物，是先人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產，相傳為漢靈帝時畢嵐造出雛形，經三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時廣泛用于農業(yè)灌溉，有1700余年歷史．下圖2是一個水車的示意圖，它的直徑為，其中心（即圓心）距水面．如果水車每逆時針轉圈，在水車輪邊緣上取一點，我們知道在水車勻速轉動時，點距水面的高度（單位：）是一個變量，它是時間（單位：）的函數．為了方便，不妨從點位于水車與水面交點時開始記時，則我們可以建立函數關系式（其中，，）來反映隨變化的周期規(guī)律．下面關于函數的描述，正確的是（    ）A．最小正周期為B．一個單調遞減區(qū)間為C．的最小正周期為D．圖像的一條對稱軸方程為4．（2021·江西省蓮花中學高一月考）某城市中一年12個月的平均氣溫與月份的關系近似地用三角函數來表示，已知6月份的平均氣溫最高，為28度.12月份的平均氣溫最低，為18度．則10月份的平均氣溫為（    ）度A．20.5 B．21.5 C．22.5 D．23.55．（2021·全國·高一單元測試）某公園有一摩天輪，其直徑為110米，逆時針勻速旋轉一周所需時間約為28分鐘，最高處距離地面120米，能夠看到方圓40公里以內的景致.某乘客觀光3分鐘時看到一個與其視線水平的建筑物，試估計建筑物多高？（    ） （參考數據：）A．50 B．38 C．27 D．156．（2021·北京·高二期末）一個半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m，已知水輪每分鐘轉動（按逆時針方向）3圈，當水輪上的點P從水中浮現時開始計時，即從圖中點開始計算時間．當時間秒時，點P離水面的高度為（    ）A．3m B．2m C．1m D．0m7．（2021·全國·模擬預測（理））水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，當時，（    ）A．6 B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用．假設在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動，與水平面的所成角為，且2分鐘恰好轉動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數關系式是（    ）  A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和．心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為標準值．高三同學在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對于高考報考有一些影響．某同學測得的血壓滿足函數式，其中為血壓為時間，其函數圖像如上圖所示，則下列說法錯誤的是（    ）A．收縮壓為 B． C．舒張壓為 D．10．（2021·全國·高一專題練習）達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數百年來讓無數觀賞者入迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數據：(其中).根據測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（    ）A． B． C． D．11．（2021·全國·高一課前預習）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度厘米滿足下列關系：，，則每秒鐘小球能振動______次.12．（2021·山西·運城市新康國際實驗學校高一開學考試）某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃，12月份的月平均氣溫最低為18℃，則10月份的平均氣溫值為________．13．（2021·全國·高一課前預習）如圖所示，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離和時間的函數關系式為，那么單擺來回擺一次所需的時間為_______． 14．（2021·全國·高一專題練習）如圖某地夏天從8～14時用電量變化曲線近似滿足函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b.（1）這一天的最大用電量為_____萬度，最小用電量為____萬度；（2）這段曲線的函數解析式為______________.15．（2021·山西運城·高三期末（理））在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標是根據中國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的.會標圖案如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若直角三角形中較小銳角為，當小正方形的面積是大正方形面積的一半時，___________.16．（2021·北京市八一中學高三開學考試）某地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個月的月平均最高氣溫可近似地用函數來刻畫，其中正整數表示月份且，例如表示1月份，和是正整數，，.統(tǒng)計發(fā)現，該地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫有以下規(guī)律：①該地區(qū)月平均最高氣溫最高的7月份與最低的1月份相差30攝氏度；②1月份該地區(qū)月平均最高氣溫為3攝氏度，隨后逐月遞增直到7月份達到最高；③每年相同的月份，該地區(qū)月平均最高氣溫基本相同.根據已知信息，得到的表達式是______.17．（2021·江蘇南通·高一開學考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用(如圖).假設在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.現有一半徑為2米的簡車，在勻速轉動過程中，筒車上一盛水簡M距離水面的高度H(單位：米)與轉動時間t(單位：秒)滿足函數關系式，且時，盛水筒M與水面距離為2.25米，當筒車轉動100秒后，盛水筒M與水面距離為_______米.18．（2021·新疆·哈密市第十五中學高三月考）如圖，某地一天從6~14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+b，0<φ<π，則這段曲線的函數解析式為__________________________.  
B組 能力提升19．（2021·全國·模擬預測）（多選題）某商場前有一塊邊長為60米的正方形地皮，為了方便消費者停車，擬劃出一塊矩形區(qū)域用于停放電動車等，同時為了美觀，建造扇形花壇，現設計兩種方案如圖所示，方案一：，在線段上且，方案二：在圓弧上且．若花壇區(qū)域工程造價0.2萬元/平方米，停車區(qū)域工程造價為0.1萬元/平方米，則下列說法正確的是（ ）A．兩個方案中矩形停車區(qū)域的最大面積為2400平方米B．兩個方案中矩形停車區(qū)域的最小面積為1200平方米C．方案二中整個工程造價最低為萬元D．兩個方案中整個工程造價最高為萬元20．（2021·重慶·模擬預測）（多選題）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用(圖1)，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2).現有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉1圈，簡車的軸心距離水面的高度為2米，設簡車上的某個盛水筒P到水面的距離為(單位：米)(在水面下則為負數)，若以盛水筒P剛浮出水面為初始時刻，經過1秒后，下列命題正確的是（    ）(參考數據：)A．，其中，且B．，其中，且C．當時，盛水筒再次進入水中D．當時，盛水筒到達最高點21．（2021·全國·高三專題練習）（多選題）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，則下列說法中正確的有（    ）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港22．（2021·江蘇·高一課時練習）一根長的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：）和時間t（單位：s）的函數關系式是，.（1）求小球擺動的周期；（2）已知，要使小球擺動的周期是1s，線的長度應當是多少？（精確到0.1，取3.14）
23．（2021·江蘇·高一課時練習）一個單擺如圖所示，以為始邊，為終邊的角（）與時間t（單位：s）的函數滿足.（1）時，角是多少？（2）單擺頻率是多少？（3）單擺完成5次完整擺動共需多長時間？
24．（2021·江蘇·高一課時練習）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t（單位：s）時相對于平衡位置（靜止時的位置）的高度h（單位：）由下列關系式決定：，.以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出這個函數在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖，并且回答下列問題：（1）小球在開始振動時（即時）的位置在哪里？（2）小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？（3）經過多少時間小球往復振動一次（周期）？（4）每秒鐘小球能夠振動多少次（頻率）？
25．（2021·全國·高一課時練習）在自然條件下，對某種細菌在一天內存活的時間進行了一年的統(tǒng)計與測量，得到10次測量結果（時間近似到0.1小時），結果如表所示：日期月日月日月日月日月日月日月日月日月日月日日期位置序號存活時間小時（1）試選用一個形如的函數來近似描述一年（按天計）中該細菌一天內存活的時間與日期位置序號之間的函數解析式.（2）用（1）中的結果估計該種細菌一年中大約有多少天的存活時間大于小時.
26．（2021·全國·高一課時練習）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數，記作：，下表是某日各時的浪高數據：（時）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經長期觀察，的曲線可近似地看成是函數的圖象.（1）根據以上數據，求函數的最小正周期，振幅及函數解析式；（2）依據規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）中的結論，判斷一天內的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
27．（2021·江蘇·高一專題練習）平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深(米）是隨著一天的時間（，單位小時)呈周期性變化，某天各時刻的水深數據的近似值如下表:t（小時）03691215182124(米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5（1）根據表中近似數據畫出散點圖（坐標系在答題卷中），觀察散點圖，選擇一個合適的函數模型，并求 出該擬合模型的函數解析式；（2）為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據（1）中的選擇的函數解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全.
 

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5.7 三角函數的應用

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