人教A版 (2019)必修第一冊5.1 任意角和弧度制優(yōu)秀綜合訓練題-試卷下載-教習網

突破5.1 任意角與弧度制一、考情分析二、考點梳理考點1 任意角的概念1.任意角定義角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.構成要素始邊、頂點、終邊表示常用大寫字母等表示臘字母等表示；特別的，當角作為變量時，常用字母表示.2.角的分類分類定義正角按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角負角按順時針方向旋轉形成的角叫做負角零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角叫做零角考點2 象限角與非象限角1.象限角當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，則角的終邊（除端點外）在第幾象限，就稱這個角為第幾象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角Z第二象限角Z第三象限角Z第四象限角Z3.非象限角當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.4.非象限角的集合表示角的終邊位置集合表示軸的非負半軸軸的非正半軸軸上軸非負半軸軸非正半軸軸上考點3 終邊相同的角一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整個周角的和.考點4 弧度制的概念1.角度制規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.2.弧度制的定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.3.弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的定值.考點5 角度與弧度之間的互化1.角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°=2rad 2rad=360°180°=rad rad=180° 1°=rad0.01745rad 1rad=2.一些特殊角的度數與弧度數的對應表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0考點6 扇形的弧長與面積公式設扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積
三、題型突破重難點題型突破01 象限角，軸線角,對稱角，區(qū)域角與集合的關系例1、（1）（2021·江蘇·高一課時練習）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合（包括邊界）．【答案】答案見詳解【分析】（1）結合圖像，先分別表示終邊落在兩塊區(qū)域的角的集合，再取并集即可；（2）先寫出在的范圍內，陰影部分對應的角，再表示即可【詳解】（1）這是對頂角區(qū)域的表示問題，結合圖像終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：或（2）在的范圍內，陰影部分為終邊落在陰影部分的角的集合可表示為：（2）、（2021·全國·高二課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內，試指出角的取值范圍．【答案】【分析】分別寫出終邊落在x軸上方和下方的陰影部分的角的集合，再求這兩個集合的并集即可.【詳解】終邊落在x軸上方陰影部分的角的集合為：，終邊落在x軸下方陰影部分的角的集合為：，所以角的取值范圍是集合．【變式訓練1-1】．（2020·寧縣第二中學高一期中）已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內（不包括邊界），那么________.【答案】.【解析】在范圍內，終邊落在陰影內的角滿足：或滿足題意的角為：，，本題正確結果：【變式訓練1-2】．（2021·全國·高二課時練習）鐘表的分針在1.5小時內轉了（）A．180° B．-180° C．540° D．-540°【答案】D【分析】根據任意角的定義即可得出選項.【詳解】根據順時針為負角，則分針在1.5小時內轉了，故選：D【變式訓練1-3】．（2021·全國·高一專題練習）寫出如圖所示陰影部分的角α的范圍.（1）；（2）.【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.【分析】（1）分別寫出與45°角終邊相同的角和與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角，再表示出其范圍.（2）分別寫出與45°角終邊相同的角和與－60°＋360°＝300°角終邊相同的角，再表示出其范圍.【詳解】（1）因為與45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角可寫成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以圖（1）陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）因為與45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－60°＋360°＝300°角終邊相同的角可寫成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖（2）中角α的范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.重難點題型突破02 與終邊有的角的問題以及對稱問題2α，，例2．（1）、（2020·重慶高一月考）設是第三象限角，則所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】是第三象限角，，，則，，令，有，；在二象限；，，有，；在四象限；故選：B．（2）、（2021·安徽省蚌埠第三中學高一月考）已知α為第三象限角，則所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【答案】D【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性質求出滿足的不等式，從而確定角的終邊在的象限．【詳解】由已知為第三象限角，則則當時，此時在第二象限.當時,，此時在第四象限.故選： D【變式訓練2-1】．（2021·全國·高一專題練習）（多選題）若是第二象限的角，則的終邊所在位置可能是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．笫四象限【答案】ABD【分析】用不等式表示的范圍，求得的范圍后確定其所在象限．【詳解】是第二象限的角，則，，，，當時，是第一象限角，當時，是第二象限角，當時，是第四象限角，故選：ABD．【點睛】結論點睛：本題考查象限觚判斷，掌握各象限角的表示是解題關鍵．第一象限角：，，第二象限角：，，第三象限角：，，第四象限角：，．另外還有非象限角，即終邊在坐標軸的軸線角．【變式訓練2-2】．（2020·廣東高一期末）下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因為，所以與2019°終邊相同.故選：C.重難點題型突破03 已知終邊求角與已知終邊區(qū)域求角例3．（1）（2021·湖南懷化·高一期末）與角終邊相同的角是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】寫出終邊相同的角的集合，再判斷選項.【詳解】與角終邊相同的角的集合是，當時，，當時，.故選：BD（2）．（2021·上海·高一課時練習）分別寫出終邊在x軸正半軸、x軸負半軸和x軸上的角所對應的集合．【答案】答案見解析【分析】根據終邊相同的角的表示得出答案即可；【詳解】解：x軸正半軸；x軸負半軸；x軸上的角【變式訓練3-1】．（2021·江蘇·高一課時練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°間的角寫出來：（1）－120°；（2） 640°．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【分析】由終邊相同的角的公式求解即可.【詳解】（1）S＝{β|β＝k·360°－120°，k∈Z}，分別令k＝0，1，2得S中在－360°到720°間的角為－120°，240°，600°．（2）S＝{β|β＝k·360°＋640°，k∈Z}，分別令k＝－2，－1，0得S中在－360°到720°間的角為－80°，280°，640°．【變式訓練3-2】．（2021·全國·高一專題練習）已知，求，并指出角終邊的位置．【答案】，終邊在第一、三象限【分析】直接運算求得，分k是奇數和偶數討論終邊位置.【詳解】∵，∴，當k是偶數時，角的終邊在第一象限，當k是奇數時，角的終邊在第三象限,∴角終邊在一、三象限. 重難點題型突破04 弧度制的概念、角度與弧度的互化、弧度制與弧長例4．（1）、（2021·江蘇·高一課時練習）把下列各角化成（，）的形式，并分別指出它們是第幾象限角：（1）；（2）-1500°；（3）；（4）672°．【答案】答案見解析【分析】先化為的形式，再判斷象限.【詳解】（1）是第四象限角，是第四象限角.（2）是第四象限角.（3）是第三象限角.（4）是第四象限角.（2）、（2021·江蘇·高一課時練習）把下列各角從弧度化為度：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根據度數與弧度之間的轉換公式計算：1弧度＝．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式訓練4-1】、（2020·上海高一課時練習）_________弧度；弧度=________.【答案】 80° 【解析】根據角度制與弧度制的互化公式，可得，.故答案為：，.【變式訓練4-2】、（2021·江蘇·高一課時練習）分別把下列各角從弧度化為度：（1）；（2）；（3）；（4）1.4．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】利用，即即可求解.【詳解】（1）（2）（3）（4）重難點題型突破05 扇形的周長與面積例5．（1）、（2021·全國·高一課時練習）若一扇形的圓心角為2，圓心角所對的弦長為2，則此扇形的面積為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】因為扇形的圓心角為2，圓心角所對的弦長為2，故扇形所在圓的半徑，扇形的面積為，故選：C．（2）、（2021·山西省長治市第二中學校高一月考）《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕像，它取材于現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間．現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知這段弓所在弧長，結合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距離為其所對弦長．【詳解】由題得：弓所在的弧長為：；所以其所對的圓心角；兩手之間的距離m．故選：B【變式訓練5-1】．（2021·全國·模擬預測（文））已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件利用扇形面積公式直接計算即得.【詳解】因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數是，設圓的半徑為r，則由扇形面積公式得：，而，解得，所以該扇形所在圓的半徑為2.故選：B【變式訓練5-2】．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算術》是中國古代的數學名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．【答案】6 12π﹣9 【解析】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據圓的幾何性質可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．

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