?5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和及其解析
（一）教學(xué)內(nèi)容
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第七節(jié)《三角函數(shù)的應(yīng)用》。
（二）教學(xué)內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，通過例題,循序漸進(jìn)地介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性,同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識解決問題的能力.進(jìn)一步突出函數(shù)來源于生活應(yīng)用于生活的思想培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.
二、教學(xué)目標(biāo)及解析
（一）教學(xué)目標(biāo)
1． 會通過建立三角模型，解決實(shí)際問題。
2． 體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．掌握對函數(shù)圖像的應(yīng)用，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)能力。
3． 通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，能使學(xué)生學(xué)會把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。
（二） 教學(xué)目標(biāo)解析
①要讀懂題目所要反映的實(shí)際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，根據(jù)相等關(guān)系或不等關(guān)系列式.
②在建立三角函數(shù)模型這一關(guān)鍵步驟上，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來打開思路，解決問題.
③在應(yīng)用研究數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助解決問題.
④實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此可能需要用到計(jì)算機(jī)或計(jì)算器.
三、教學(xué)問題診斷分析
問題1 如何理解函數(shù)中，的物理意義．

突破：通過對彈簧振子振動、及交變電流兩個(gè)物理問題來說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用．包括函數(shù)模型的擬合、作散點(diǎn)圖、確定參數(shù)從而確定出相應(yīng)的函數(shù)解析式．了解簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)表示，理解描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期、頻率等與這個(gè)解析式中常數(shù)有關(guān)，理解的物理意義．
問題2 三角函數(shù)模型的作用
突破：三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中（周期現(xiàn)象）的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著重要作用．
三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：
①已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；
②把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再利用三 角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
審題
建模
求解
定論
閱讀理解材料
建立三角函數(shù)模型
求解三角函數(shù)模型
得出相應(yīng)結(jié)論
問題3 利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟
突破：





教學(xué)難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實(shí)際問題；
難點(diǎn)：實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型.
四、 教學(xué)支持條件
PPT課件，視頻
五、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)（主體內(nèi)容）
（一）情景導(dǎo)入
現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述.
問題1：你能舉出生活中具有周期性現(xiàn)象的實(shí)例嗎？
【學(xué)生經(jīng)過思考和討論之后，舉出一些生活中的實(shí)例，教師進(jìn)行補(bǔ)充】
【預(yù)設(shè)的答案】：預(yù)想學(xué)生所舉周期性現(xiàn)象的例子可能包括以下幾方面：
（1）勻速圓周運(yùn)動。如表的指針的轉(zhuǎn)動，摩天輪等；
（2）自然界中的周期性現(xiàn)象。如潮汐變化，日升日落，一天當(dāng)中的氣溫變化等；
（3）物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象。如鐘擺，彈簧振子運(yùn)動，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的交變電流等．
【設(shè)計(jì)意圖】通過開門見山，提出問題，讓學(xué)生體會由實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型的過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。
師：這節(jié)課我們通過幾個(gè)具體的例子，一起來用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.
（二）典例探究
例一：某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時(shí)間(單位)與位移 (單位)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．請你查閱資料，了解振子的運(yùn)動原理．



問題2： 畫出散點(diǎn)圖并觀察，位移隨時(shí)間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？【讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.】
【預(yù)設(shè)的答案】根據(jù)散點(diǎn)圖(如圖)，分析得出位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用這個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行刻畫．

【設(shè)計(jì)意圖】通過散點(diǎn)圖，可以幫助學(xué)生較為直觀地分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，然后根據(jù)這種關(guān)系選擇一種合適的函數(shù)模型去刻畫問題.
問題3：由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖，你能說出振子振動時(shí)位移的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)(t＝0)時(shí)的位移嗎？根據(jù)這些值，你能求出函數(shù)的解析式嗎？
【學(xué)生觀察數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖基礎(chǔ)上回答問題，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式．教師對學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評之后，給出簡諧運(yùn)動的有關(guān)概念．】

【預(yù)設(shè)的答案】：A＝20mm，T＝0.6s，初始狀態(tài)的位移為－20mm．函數(shù)的解析式為.
【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)置問題，讓學(xué)生利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.
歸納總結(jié)
現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動，如鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動．在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”．可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)，x∈[0,+∞)（A>0， ω >0）來表示．描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：
A就是這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；
這個(gè)簡諧運(yùn)動的周期是，它是做簡諧運(yùn)動的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時(shí)間；
這個(gè)簡諧運(yùn)動的頻率由公式給出，它是做簡諧運(yùn)動的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)；
ωx＋φ稱為相位；x=0時(shí)的相位φ稱為初相.
【設(shè)計(jì)意圖】在探究特例的基礎(chǔ)上，遵循從具體到抽象的思路，形成振幅、周期和頻率等概念.
例二.用三角函數(shù)模型刻畫交變電流
如圖（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位：A）隨時(shí)間t（單位：s）變化的圖像，將測得得圖像放大，得到圖（2）
（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式.
（2）當(dāng)時(shí)，求電流i.

問題4：觀察圖象，交變電流i隨時(shí)間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？
【學(xué)生觀察圖（2），小組討論，合作探討，回答教師提出的問題.】
【預(yù)設(shè)的答案】：由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用來刻畫．
教師補(bǔ)充：其中A為振幅，為頻率，為相位，為初相．
問題5：根據(jù)圖象，你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t=0）時(shí)的電流嗎？由這些值，你能進(jìn)一步解決問題（1）、（2）嗎？
【預(yù)設(shè)的答案】：A=5，T=s，初始狀態(tài)的電流為4.33 A．
由這些值可求得電流i隨時(shí)間t的變化的解析式是
．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
歸納提升：
解決函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)問題的策略
利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點(diǎn)求得；φ由點(diǎn)在圖象上求得，確定φ時(shí)，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
（三）課堂練習(xí)
1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是( )
①三角函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．
②與周期有關(guān)的實(shí)際問題都必須用三角函數(shù)模型解決．
③若一個(gè)簡諧振動的振動量的函數(shù)解析式是y＝3sin(4x＋)，則其往復(fù)振動一次所需時(shí)間為秒．
④若電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，則電流的最大值為4A.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]?、佗苷_，②③錯(cuò)誤，故選B.
2．電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的周期是( )
A． s B．50 s
C． s D．100 s
[解析]　T＝＝ s，故選A.
3.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動，離開平衡位置O的距離s cm和時(shí)間t s的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋)，那么單擺來回?cái)[動一次所需的時(shí)間為( )

A．2πs　 　　 B．π s　　 　
C．0.5 s　 　　 D．1 s
[解析]　本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離s cm和時(shí)間t s的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回?cái)[一次所需的時(shí)間即為此函數(shù)的一個(gè)周期．即ω＝2π，所以T＝＝1.
4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動節(jié)某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sin(t≥0)，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
[解析]　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
六、 目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
練習(xí)1：如圖3所示是某簡諧運(yùn)動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅、周期與頻率各是多少？
（2）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動的解析式．

【預(yù)設(shè)的答案】：
（1）振幅A＝3，周期T＝4，頻率f＝．
（2）設(shè)這個(gè)簡諧運(yùn)動的函數(shù)表達(dá)式為．

練習(xí)2：商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，五一某商場的人流量滿足函數(shù)，則下列時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的是( )
A. B. C. D.
【預(yù)設(shè)的答案】：C
解析：由，，得，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，.當(dāng)時(shí)，，而，故選C.
練習(xí)3.如圖表示電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的關(guān)系在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,則該函數(shù)解析式可以是( )

A. B.
C. D.
【預(yù)設(shè)的答案】：C
解析：由題圖得,,
,.
又函數(shù)圖象過點(diǎn),則，，
取，.故選C.
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固運(yùn)用三角函數(shù)分析實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
七、 課堂小結(jié)
解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：
(1)審清題意；
(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；
(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；
(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論．
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)經(jīng)歷，自主總結(jié)知識要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。
八、 課后作業(yè)
1. 教科書習(xí)題5.7第1，2題
2. 預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容

九、 教學(xué)反思





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5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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