高中數學人教A版 (2019)必修第一冊5.7 三角函數的應用優(yōu)秀隨堂練習題-試卷下載-教習網

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，則，
周期為，則，初相位為，，
所以噪聲的聲波曲線的解析式為，
所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．
故選：A.
2．（2023春·陜西西安·高一?？计谥校┕糯鷶祵W家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎，現(xiàn)根據劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在一條直線上，且在點A的同側，若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和30°，且，則該球體建筑物的高度約為（）

A．100mB．C．D．
【答案】A
【解析】設球的截面圓心為O，連接OB，OC，設球的截面圓的半徑為R，
由圓的切線的性質可得：，，
則，，
所以，可得，
即，
又因為，
，
所以，
所以，
所以球的直徑.

故選：A.
3．（2022春·北京海淀·高一北京市八一中學?？茧A段練習）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規(guī)律，建立如圖所示的平面直角坐標系，設秒針針尖位置為點．若初始位置為點，秒針從（規(guī)定此時）開始沿順時針方向轉動，點P的縱坐標y與時間t的函數關系式可能為（）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為函數的周期為，所以，
由于秒針順時針旋轉，所以可設函數解析式為，
因為初始位置為點，所以當時，，
所以，所以可能取，
所以，
故選：D
4．（2023春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）據長期觀察，某學校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數關系式：（為常數，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（）（參考數據：，）
A．441量B．159量C．473量D．127量
【答案】A
【解析】由題意可得，可得，
解得，所以，
當時，
（量）.
故選：A.
5．（2023秋·高一單元測試）如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時秒，經過秒后，水斗旋轉到點，設的坐標為，其縱坐標滿足，則下列敘述錯誤的是（）

A．、、
B．當時，點到軸距離的最大值是
C．當時，函數單調遞減
D．當時，
【答案】C
【解析】A選項：
有題意，，，
因從點出發(fā)，所以，
代入得，
得，因，所以，故A正確，
選項B：
由A得，，
當時，，
所以，
故點到軸距離的最大值是，B正確；
選項C：
因，
令，，
得，，
故當時，函數不是單調遞減的，C錯誤；
選項D：
當，，
故，，故D正確，
故選：C
6．（2023春·云南）（多選）單擺是一種簡諧運動，擺球的運動情況可以用三角函數表達為，，，其中x表示時間（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示頻率，φ表示初相位.如圖甲某個小球做單擺運動，規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，豎直方向為平衡位置.圖乙表示該小球在秒運動時的位移隨時間變化情況.根據秒表記錄有：當時，小球第一次到平衡位置；當時，小球的位移第一次到反向最大值.根據以上圖文信息，下列選項中正確的是（）

A．頻率為
B．初相位或
C．振幅
D．當時，小球第三次回到平衡位置
【答案】ACD
【解析】A選項，設最小正周期為，據題意，頻率為，故A正確；
B選項，當時，小球第一次到平衡位置，即是正弦函數減區(qū)間上的零點，且，所以，故B錯誤；
C選項，根據圖中的信息知在圖象上，所以，故C正確；
D選項，當時，小球第一次到達平衡位置，當時，小球第三次到達平衡位置，故D正確.
故選：ACD．
7（2023春·四川成都·高一校考期中）（多選）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）
A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點在0.3s和0.7s時運動速度為零
C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8s
【答案】CD
【解析】對于A，D，由題圖可知，質點的運動周期為，所以A錯，D正確；
對于B，C，由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3 s和0.7 s時運動速度最大，在0.1 s和0.5 s時運動速度為零，故B錯，C正確．
綜上，CD正確．
故選：CD.
8．（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）近年來，淮安市依托地方資源優(yōu)勢，用風能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發(fā)電的主要手段是風車發(fā)電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每6秒旋轉一圈，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點（此時P離地面50米）．設點P轉動t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關于t的函數關系式為，葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為秒．

【答案】 4
【解析】（1）由題意，塔高即風車中心距地面的高度，風車半徑，
風車轉動一圈為秒，則角速度，
如圖，以風車中心為坐標原點，以與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系，
設時，風車開始旋轉時某葉片的一個端點P在風車的最低點，設，
以為始邊，為終邊的角不妨取，
那么經過（秒）后，運動到點，
于是，以為始邊，為終邊的角為，
由三角函數定義知，
則，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
當時，，
所以葉片旋轉一圈內點P離地面的高度不低于70米的時長為4秒.
故答案為：；.

9．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）如圖點為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為，周期為，且物體向左運動到平衡位置開始計時，則物體對平衡位置的位移和時間之間的函數關系式為．

【答案】
【解析】依題意設，則，周期，又，解得，所以.
故答案為：.
10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變?質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，若函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為 .

【答案】
【解析】由函數的圖象，可得，解得，所以，
又由，可得，解得
因為，所以，所以，
由區(qū)間的區(qū)間長度為，即區(qū)間長度為個周期，
當區(qū)間在同一個單調區(qū)間時，不妨設，可得
則，
因為，可得，當或時，取最小值；
當區(qū)間在不同一個單調區(qū)間時，不妨設，可得，
此時函數在上先增后減，此時，
不妨設，則
，
.
綜上可得，最小值為.
故答案為：.
11．（2023·全國·高三對口高考）已知函數（其中，，）的圖象如圖所示，它刻畫了質點做勻速圓周運動（如圖）時，質點相對水平直線的位置值（是質點與直線的距離（米），質點在直線上方時，為正，反之為負）隨時間（秒）的變化過程．則

①質點運動的圓形軌道的半徑為米；
②質點旋轉一圈所需的時間秒；
③函數的解析式為：；
④圖中，質點首次出現(xiàn)在直線上的時刻秒．
【答案】
【解析】
已知函數（其中，，）的圖象如圖所示，
結合解析式與圖象得到，
因為，所以，因為，所以，
因為在處取到最大值，所以，（），
因為，解得，
所以解析式為.
因為圖象刻畫了質點做勻速圓周運動（如圖）時，質點相對水平直線的位置值（是質點與直線的距離（米），質點在直線上方時，為正，反之為負）隨時間（秒）的變化過程，
所以振幅就是圓的半徑，得到半徑為米，
質點旋轉一圈所需的時間就是一個周期，因為，所以周期為，所以秒，
因為圖中，質點首次出現(xiàn)在直線上的時刻就是函數在上最左側的零點，
所以，解得秒.
故答案為：；；；．
12．（2023·重慶）已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時間（單位：s）滿足，初始時將彈簧振子下壓至后松開，經過測量發(fā)現(xiàn)彈簧振子每10s往復振動5次，則在第45s時，彈簧振子的位移是 cm.
【答案】
【解析】由題意，且最小正周期，即，故，
所以，且，即，
不妨令，故，
當，則.
故答案為：
13（2023春·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）如圖，某公園摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做勻速轉動，每轉一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．

(1)已知在時刻（單位：）時點P距離地面的高度（其中，，），求函數解析式及時點P距離地面的高度；
(2)當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩，則游客在游玩過程中共有多少時間可以看到公園的全貌？
【答案】(1)，
(2)1
【解析】（1）由題意可知：，
所以，又，得到，即，
又摩天輪上的點的起始位置在最低點處，即，所以，
即，又，所以，
故，
當時，，所以時點P距離地面的高度為85.
（2）因為從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經過最高點再下降至時又能看著全貌，
由（1）知，得到，即，得到，
所以，又，
所以，游客在游玩過程中共有可以看到公園的全貌.
14．（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┖Ｋ苋赵碌囊?，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：
經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數來描述．
(1)根據以上數據，求出函數的表達式；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該貨船在一天內什么時間段能安全進出港口？
【答案】(1)；
(2)在0時至4時或12時至16時進出港.
【解析】（1）由表格知，，則，，
函數的周期，則，即有，又，
即，而，則，
所以．
（2）貨船需要的安全水深為米，則當時就可以進港，
由，得，解得，
即，而，因此當時，；當時，，
所以貨船應在0時至4時或12時至16時進出港.
15．（2023春·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化.如圖，設地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射點的緯度（太陽直射北半球時正值，太陽直射南半球時取負值），為當地的緯度值.

(1)若，，求的值，并直接寫出用，表示的關系式；
(2)某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點的緯度平均值.下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當地太陽高度角數據：
請根據數據補充完成上面的表格（計算結果精確到0.0001）；
(3)設第天時太陽直射點的緯度平均值為.該科技小組通過對數據的整理和分析，推斷與近似滿足函數，經計算，已知2023年春分是3月21日，問2023年夏至大概是幾月幾日?
(4)定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年，估計每400年中，應設定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數最為接近（精確到1）.
【答案】(1)，；
(2)表格見解析；
(3)6月21日；
(4)97.
【解析】（1）由題意得，
，，間的關系式為.
（2）根據可得：
（3）因為周期，所以春分到夏至需要天，
3月、5月有31天，4月、6月有30天，所以夏至大概是6月21日.
（4）因為，故應在400年中設定97個閏年.
16．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谥校┠炒髽蚴墙煌ㄒ刻鞊撝薮蟮能嚵髁浚阎滠嚵髁縴（單位：千輛）是時間t（，單位：h）的函數，記為，下表是某日橋上的車流量的數據：
經長期觀察，函數的圖象可以近似地看做函數（其中，，，）的圖象．
(1)根據以上數據，畫出散點圖，并求函數的近似解析式；
(2)為了緩解交通壓力，有關交通部門規(guī)定：若車流量超過4千輛時，核定載質量10噸及以上的大貨車將禁止通行，試估計一天內將有多少小時不允許這種貨車通行？
【答案】(1)圖見解析，
(2)一天中有8小時不允許這種貨車通行
【解析】（1）散點圖，如圖：
依題意，，，
，解得：，當時，y取最大值，則，
而，于是，
所以函數的近似解析式為.
（2）若車流量超過4千輛時，即，則，
解得，，即，，而，
因此和滿足條件，共有，
所以一天中有8小時不允許這種貨車通行.
17．（2023春·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學?？茧A段練習）如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分轉2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2m.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間.
(1)求d與時間t（單位：s）之間函數關系
(2)在（1）的條件下令，的橫坐標縮小為原來的，縱坐標變縮小為原來的得到函數，畫出在上的圖象
【答案】(1)；
(2)圖象見解析
【解析】】（1）由題意，
所以，，
因為逆時針方向每分轉2圈，所以,
因為時，，所以，即，
又，所以
，所以；
（2）由（1）知，所以的橫坐標縮小為原來的，縱坐標變縮小為原來的得到函數，
列表如下
描點連線，圖象如圖.
時刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深（米）
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
觀測站
A
B
C
觀測站所在緯度/度
40.0000
23.4393
0.0000
觀測站正午太陽高度角/度
66.3870
82.9464
73.6141
太陽直射點的緯度/度
16.3857
16.3859
太陽直射點的緯度平均值/度
觀測站
A
B
C
觀測站所在緯度度
40.0000
23.4393
0.0000
觀測站正午太陽高度角度
66.3870
82.9464
73.6141
太陽直射點的緯度度
16.3870
16.3857
16.3859
太陽直射點的緯度平均值度
16.3862
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千輛）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
x
0
1
0
0

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