選擇性必修第一冊4.1 數(shù)列學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)列新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)數(shù)學(xué)抽象2.了解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式數(shù)學(xué)運(yùn)算傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們研究數(shù)的概念時，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生一系列的形數(shù)．畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1，3，6，10等數(shù)時，小石子都能擺成正三角形，如圖①.他把這些數(shù)叫作三角形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1，4，9，16等數(shù)時，小石子都能擺成正方形，如圖②.他把這些數(shù)叫作正方形數(shù)，等等．每一系列有形狀的數(shù)按順序排列出來就稱為數(shù)列．[問題]　(1)數(shù)列的有關(guān)概念是什么？(2)數(shù)列可分為哪幾類？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點(diǎn)一　數(shù)列的概念1．定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項(xiàng)．2．分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列；項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列．3．記法：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．其中a1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或首項(xiàng)，a2稱為第2項(xiàng)……an稱為第項(xiàng)．1．2，3，4，5和5，4，3，2是相同的數(shù)列嗎？提示：不是．2．{an}與an是兩個相同的概念嗎？提示：不是．{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，而an只是數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)．給出以下數(shù)列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有窮數(shù)列為________；無窮數(shù)列為______．(填序號)答案：②④?、佗?/span>知識點(diǎn)二　數(shù)列通項(xiàng)公式與遞推公式1．通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．遞推公式如果已知一個數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫作這個數(shù)列的遞推公式．1．數(shù)列{an}與函數(shù)有什么關(guān)系？提示：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或它的有限子集{1，2，…，n}．2．是否所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式？若有是否唯一？提示：不是．同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．若有通項(xiàng)公式也不一定唯一．3．所有的數(shù)列都有遞推公式嗎？提示：不是所有的數(shù)列都有遞推公式．例如精確到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列數(shù)：1，1.4，1.41，1.414，…就沒有遞推公式．1．符合遞推關(guān)系式an＝an－1的數(shù)列是(　　)A．1，2，3，4，…　　　　　 B．1，，2，2，…C.，2，，2，… D．0，，2，2，…解析：選B　B中相鄰的兩項(xiàng)，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍，符合遞推公式an＝an－1.2．數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝(　　)A．－3 B．－11C．－5 D．19解析：選D　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，則a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.3．數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝則a2·a3＝________．解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.答案：204．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足＝n－2，那么15是這個數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．答案：5由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式[例1]　(鏈接教科書第126頁例4)(1)數(shù)列，，，，…的一個通項(xiàng)公式是________．(2)根據(jù)以下數(shù)列的前4項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：①，，，，…；②－3，7，－15，31，…；③2，6，2，6，….(1)[解析]　數(shù)列可寫為：，，，，…，分子滿足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母滿足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，故通項(xiàng)公式為an＝.[答案]　an＝(2)[解]?、倬欠质角曳肿泳鶠?，分母均是兩因數(shù)的積，第一個因數(shù)是項(xiàng)數(shù)加上1，第二個因數(shù)比第一個因數(shù)大2，∴an＝.②正負(fù)相間，且負(fù)號在奇數(shù)項(xiàng)，故可用(－1)n來表示符號，各項(xiàng)的絕對值恰是2的整數(shù)次冪減1，∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．③為擺動數(shù)列，一般求兩數(shù)的平均數(shù)＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中間符號用(－1)n來表示．∴an＝4＋(－1)n·2或an＝由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題策略(1)分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系；(2)若n和n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯，那么符號用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控；(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式；(4)對于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)1，2，3，4，…；(4)1，11，111，1 111，….解：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一個通項(xiàng)公式是an＝n2－1.(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值為1，3，5，7，9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1，2，3，4，…恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝n＋＝.(4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?/span>×9，×99，×999，×9 999，…，易知數(shù)列9，99，999，9 999，…的一個通項(xiàng)公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝(10n－1).數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用[例2]　(鏈接教科書第124頁例1，例2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)．(1)計(jì)算a3＋a4的值；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說明理由．[解]　(1)∵an＝，∴a3＝＝，a4＝＝，∴a3＋a4＝＋＝.(2)若為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則＝，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即是數(shù)列{an}的第10項(xiàng)．判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的項(xiàng)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？解：(1)設(shè)an＝kn＋b(k≠0)，則解得∴an＝4n－2.(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N*，∴88不是數(shù)列{an}中的項(xiàng).由遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)[例3]　(鏈接教科書第126頁例3)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5項(xiàng)．[解]　由a－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.∴數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為1，3，10，33，109.由遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可；(2)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式；(3)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．已知數(shù)列{an}中的首項(xiàng)a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數(shù)列的第三項(xiàng)是(　　)A．1　　　　　　　　　　 B.C. D.解析：選C　由題知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.2．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a1，a2，a3，a4，a5的值，并根據(jù)前5項(xiàng)的值能否推斷出a2 021的值？解：a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，a4＝＝＝，a5＝＝＝2＝a1，∴{an}是周期為4的數(shù)列，∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.數(shù)列的單調(diào)性的判斷及應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性在研究函數(shù)性質(zhì)時有著重要的作用，而數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，也具有單調(diào)性，且單調(diào)性是數(shù)列的一個重要性質(zhì)．?dāng)?shù)列的單調(diào)性在研究數(shù)列的最值、數(shù)列不等式以及在判定某一項(xiàng)是否為已知數(shù)列中的項(xiàng)等問題時，都有重要的作用．1．數(shù)列單調(diào)性的判斷(1)利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷：①作差法：即作差an＋1－an后與0進(jìn)行比較．若an＋1－an＞0對于任意n(n∈N*)恒成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；若an＋1－an＜0對于任意n(n∈N*)恒成立，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；若an＋1－an＝0對于任意n(n∈N*)恒成立，則數(shù)列{an}是常數(shù)列．②作商法：即作商(務(wù)必要確定an的符號)后與1進(jìn)行比較．對于任意n(n∈N*)，若an＞0，則當(dāng)＞1時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)＜1時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．對于任意n(n∈N*)，若an＜0，則當(dāng)＜1時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)＞1時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．對于任意n(n∈N*)，若an≠0，則當(dāng)＝1時，數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)利用數(shù)列的圖象直觀地判斷．2．利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍常利用以下的等價關(guān)系：數(shù)列{an}遞增?an＋1＞an(n∈N*)；數(shù)列{an}遞減?an＋1＜an(n∈N*)．進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式成立(恒成立)，通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來解決；或由數(shù)列的函數(shù)特征，通過構(gòu)建變量的不等關(guān)系，解不等式(組)來確定變量的取值范圍．[遷移應(yīng)用]1．已知函數(shù)f(x) ＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(1，3)　　　　　　　 B．(1，2]C．(2，3) D.解析：選C　由題意知an＝因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以當(dāng)n≤10時，3－a＞0，即a＜3；當(dāng)n＞10時，a＞1.且a10＜a11，所以(3－a)×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即(a＋12)(a－2)＞0，所以a＜－12或a＞2.綜上可得a的取值范圍為(2，3)．2．已知數(shù)列{an}滿足an＝n2＋λn(n∈N*)，且對任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，則實(shí)數(shù)λ滿足(　　)A．λ＞0 B．λ＜0C．λ≥－2 D．λ＞－3解析：選D　因?yàn)閷θ我?/span>n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N*)是函數(shù)f(x)＝x2＋λx圖象上的點(diǎn)，而函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝－，事實(shí)上，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，滿足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲滿足上述不等關(guān)系，需－＜，解得λ＞－3.3．已知數(shù)列{an}，其通項(xiàng)公式為an＝3n2－n(n∈N*)，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．解：法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，則an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，即an＋1＞an(n∈N*)，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，則＝＝·＞1.又an＞0，故an＋1＞an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(注：這里要確定an的符號，否則無法判斷an＋1與an的大小)法三：令y＝3x2－x，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x＝，＜1，則函數(shù)y＝3x2－x在上單調(diào)遞增，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．1．有下面四個結(jié)論：①數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集(或它的有限子集)上的函數(shù)；②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無限的；③數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的；④數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項(xiàng)公式．其中正確的是(　　)A．① B．①②C．③④ D．②④解析：選A　結(jié)合數(shù)列的定義與函數(shù)的概念可知，①正確；有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是有限的，因此②錯誤；數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一，③錯誤；數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一個通項(xiàng)公式為an＝④錯誤．故選A.2．數(shù)列{an}中，an＝3n－1，則a2等于(　　)A．2 B．3C．9 D．32解析：選B　因?yàn)?/span>an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.3．數(shù)列0，，，，，…的一個通項(xiàng)公式是(　　)A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝解析：選C　已知數(shù)列可化為：0，，，，，…，故an＝ .4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝________．解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.答案：5．已知數(shù)列，，2，，…，則2是該數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，∴an＝.由＝2得3n－1＝20，解得n＝7，∴2是該數(shù)列的第7項(xiàng)．答案：7

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