第4章 數(shù)列
4.3.3　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
第一課時(shí)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
課標(biāo)要求
1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.
素養(yǎng)要求
在探索等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).
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WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
1
一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.思考　設(shè){an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，試推導(dǎo)Sn.
提示　法一　(錯(cuò)位相減法)Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①.在①式兩邊同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn②.由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
2.填空　
溫馨提醒　(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法一采用的是錯(cuò)位相減法，就是在前n項(xiàng)和式子的兩邊同乘公比，通過相減，可以抵消相同的項(xiàng)，從而得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn.這種方法一般適用于數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)和的求解，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且q≠1.(2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式不能用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)，因?yàn)榇藭r(shí)等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1.
B
由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個(gè)常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為________.
(2)當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1是關(guān)于n的________函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù))，則數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數(shù)y＝a1x圖象上的一群孤立的點(diǎn).
相反數(shù)
正比例
溫馨提醒　我們可以得到利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列的變形：Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0)，且A＋B＝0.
3.做一做　如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么數(shù)列{an}________等比數(shù)列.(填“是”或“不是”).
是
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
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2
題型一　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
遷移1　設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝3a3，求此數(shù)列的公比q.
遷移2　在等比數(shù)列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是否是等比數(shù)列.
題型二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用
解　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式.
法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，顯然a1，a2，a3不是等比數(shù)列，故{an}不是等比數(shù)列.法二　由等比數(shù)列{bn}的公比q≠1時(shí)的前n項(xiàng)和Sn＝A·qn＋B滿足的條件為A＝－B，對(duì)比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比數(shù)列.
訓(xùn)練2 若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.
題型三　利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
例3 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
訓(xùn)練3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
課堂小結(jié)
1.牢記2個(gè)公式
課堂小結(jié)
2.掌握2種方法 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的基本量法. (2)錯(cuò)位相減法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類討論，即當(dāng)q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
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3
1.設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn等于(　　)
D
2.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5等于(　　) A.33 B.72 C.84 D.189
C
解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.
3.等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，則a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝(　　)
B
C
BD
32
3n－1
2n－1
9.在等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和.
解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合題意，應(yīng)舍去.故公比q＝3，首項(xiàng)a1＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝an·3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
11.(多選)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是(　　 ) A.q＝2 B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列 C.S8＝510 D.數(shù)列{log2an}是公差為2的等差數(shù)列
ABC
解析　∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，又公比q為整數(shù)，故a1＝q＝2，故A正確；
∴數(shù)列{Sn＋2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故B正確；由B知S8＝29－2＝510，故C正確；由B知log2an＝n，數(shù)列{log2an}是公差為1的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
－2
13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝t，點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上. (1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
解　因?yàn)辄c(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，所以an＋1－an＝3an，所以an＋1＝4an.又當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝3S1＋1，得a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以當(dāng)t＝1時(shí)，a2＝4a1，此時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn.
C
顯然當(dāng)n＝1時(shí)，也適合，所以an＝2n－1(n∈N*).令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，

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4.3 等比數(shù)列

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