1.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算.2.知道對(duì)數(shù)的換底公式，能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)和常用對(duì)數(shù)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、計(jì)算.
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式，會(huì)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究
互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
提示　(1)lg 10＋lg 100＝lg 1 000＝3，(2)lg39＋lg327＝lg3243＝5，
每組中兩式子的值均相等，兩個(gè)正數(shù)的乘積的對(duì)數(shù)等于每個(gè)正數(shù)對(duì)數(shù)的和.
(3)lgaa5－lgaa3＝lgaa2＝2.每組中兩個(gè)式子的值均相等，兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于每個(gè)正數(shù)對(duì)數(shù)的差.
2.問題　計(jì)算下列各組式子的值：
3.填空　對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝_______________；
(3)lgaMn＝____________.溫馨提醒　(1)性質(zhì)的逆運(yùn)算仍然成立；(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子lg2[(－2)·(－3)]有意義，而lg2(－2)與lg2(－3)都沒有意義；(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：lga(N1·N2·…·Nk)＝lgaN1＋lgaN2＋…＋lgaNk，其中Nk>0，k∈N*.
4.做一做　(1)已知a＝lg32，那么lg38－2lg36用a表示是(　　)A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2解析　原式＝lg323－2lg32－2lg33＝lg32－2＝a－2.
2.填空　對(duì)數(shù)換底公式：lgab＝________ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
3.做一做　(多選)下列結(jié)論(式子中字母都符合條件)正確的是(　　)
解析　A不符合運(yùn)算性質(zhì)與換底公式，D項(xiàng)中－2不能做為底數(shù)，D項(xiàng)不正確.B，C正確.
4.思考辨析　正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)lg2x2＝2lg2x.( )(2)lga[(－2)×(－3)]＝lga(－2)＋lga(－3).( )(3)lgaM·lgaN＝lga(M＋N).( )(4)若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，則lgab·lgbc＝lgac.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動(dòng)合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
例1 (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
題型一　對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用
解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2lg55＝2.
1.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.2.化簡(jiǎn)同底的對(duì)數(shù)常用的方法：(1)“收”，將兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；(2)“拆”，將兩對(duì)數(shù)的積(商)拆成和(差)的對(duì)數(shù).
訓(xùn)練1 計(jì)算下列各式的值：
題型二　換底公式的應(yīng)用
角度1　代數(shù)式的恒等變形
例3 已知lg189＝a，18b＝5，用a，b表示lg3645.解　法一　∵lg189＝a，18b＝5，∴l(xiāng)g185＝b，
角度2　用代數(shù)式表示對(duì)數(shù)
法二　∵lg189＝a，18b＝5，∴l(xiāng)g185＝b，
法三　∵lg189＝a，18b＝5，∴l(xiāng)g 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
1.在利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況下是根據(jù)題中所給對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對(duì)數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進(jìn)行換底.
題型三　對(duì)數(shù)與指數(shù)的綜合應(yīng)用
解　法一　由3a＝4b＝36，得a＝lg336，b＝lg436，
法二　由3a＝4b＝36，兩邊取以6為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得alg63＝blg64＝lg636＝2，
解　令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，
得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，∴k＝30，∴x＝lg230＝1＋lg215，y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.
1.在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化.2.對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問題得解.
解　∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝lg3c，b＝lg5c，
題型四　實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s).故當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時(shí)，火箭的最大速度為2 198 m/s.
1.對(duì)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用十分廣泛，解決此類問題的關(guān)鍵在于理解題意，提煉出對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，以及認(rèn)真分析題目中給出的相關(guān)數(shù)據(jù).2.將相關(guān)數(shù)據(jù)代入，準(zhǔn)確利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式進(jìn)行計(jì)算，必要時(shí)注意指數(shù)與對(duì)數(shù)的靈活轉(zhuǎn)化.
A.6 B.7 C.8 D.9解析　設(shè)至少需要過濾n次，
即n(lg 2－lg 3)≤－lg 20，又lg 2－lg 30，則a＝lgxk，b＝lgyk，c＝lgzk.
即lgkx＋lgky＝lgkz.所以lgk(xy)＝lgkz，即z＝xy.
12.(多選)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝5b＝10，則下列關(guān)系正確的有(　　)
13.已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a>1).(1)設(shè)x＝at，試用a，t表示y；(2)當(dāng)0

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4.3 對(duì)數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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