培優(yōu)課　指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)的綜合問題與指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，主要是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)復(fù)合成的新函數(shù)，求新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值、值域等問題，一般采用換元思想，把復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)化成簡單的初等函數(shù).類型一　指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)的單調(diào)性例1 函數(shù)f(x)＝2的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)A.(－∞，2]   B.[1，2]C.[2，3]   D.[2，＋∞)答案　B解析　令g(x)＝，因為f(x)＝2g(x)在定義域上為增函數(shù)，所以只需求g(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間即可，令h(x)＝－x2＋4x－3，由二次函數(shù)單調(diào)性及二次根式有意義的條件可知1≤x≤2，故f(x)＝2的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，2].例2 求函數(shù)y＝log(x2－3x＋5)的單調(diào)區(qū)間.解　由于方程x2－3x＋5＝0的判別式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，∴x2－3x＋5>0恒成立，即函數(shù)的定義域為R.令u(x)＝x2－3x＋5，當x∈時，u(x)單調(diào)遞減，當x∈時，u(x)單調(diào)遞增.又y＝logu為減函數(shù)，∴y＝log(x2－3x＋5)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)y＝log(x2－3x＋5)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.類型二　已知復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍例3 已知函數(shù)f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(　　)A.∪[2，＋∞)   B.∪(1，2]C.∪[2，＋∞)   D.∪(1，2]答案　C解析　當0<a<1時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)u＝ax2－2x＋5在上單調(diào)遞減且u>0恒成立.所以解得≤a≤.當a>1時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)u＝ax2－2x＋5在上單調(diào)遞增且u>0恒成立，所以解得a≥2.綜上，a的取值范圍為∪[2，＋∞).類型三　與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題例4 已知函數(shù)f(x)＝log2是奇函數(shù)，a∈R.(1)求a的值；(2)對任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解　(1)法一　令＋1>0，則>0.∴x<－a－1或x>－a.∵f(x)是奇函數(shù)，∴其定義域關(guān)于原點對稱，∴－a－1－a＝0，∴a＝－.此時，f(x)＝log2＝log2，則f(－x)＋f(x)＝log2＋log2＝0，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù).因此a＝－.法二　f(x)＝log2＝log2，則>0，解得：A＝{x|x<－a－1或x>－a}，因為f(x)是奇函數(shù)，故?x∈A，f(－x)＝－f(x)，即log2＝－log2＝log2，所以＝，即(1＋a)2－x2＝a2－x2，解得a＝－.(2)f(2x＋1)>log2(m－2x)，即log2>log2(m－2x)，整理得m<2x＋＋＋，令u＝2x＋，x∈(－∞，0)，所以u∈，令g(u)＝u＋＋.易知g(u)≥，當u＝1時取等號，所以m<，又由m－2x>0，即m>2x，故m≥1，所以m的取值范圍是.類型四　指(對)數(shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用例5 已知函數(shù)f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.解　(1)由f(x)的定義域為R，得ax2＋2x＋1>0恒成立，當a＝0時，2x＋1>0，x>－，不符合題意；當a≠0時，由得a>1.即實數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞).(2)因為f(x)的值域為R，所以{y|y＝ax2＋2x＋1}?(0，＋∞)，(也可以說y＝ax2＋2x＋1取遍一切正數(shù))①當a＝0時，y＝2x＋1可以取遍一切正數(shù)，符合題意； ②當a≠0時，需即0<a≤1.綜上，實數(shù)a的取值范圍為[0，1].例6 定義在R上的函數(shù)f(x)＝4x－m·2x＋1＋m2－3.(1)當m＝1時，解不等式f(x)>1；(2)若在R上存在x0使得f(－x0)＝－f(x0)成立，求實數(shù)m的取值.解　(1)當m＝1時，f(x)＝4x－2x＋1－2.由f(x)>1得(2x)2－2·2x－3>0，則(2x－3)>0，得2x>3，得x>log23，故不等式的解集為(log23，＋∞).(2)∵f(－x)＝4－x－m·2－x＋1＋m2－3，由f(－x)＝－f(x)，得4－x－m·2－x＋1＋m2－3＝－(4x－m·2x＋1＋m2－3)，于是4x＋4－x－2m(2x＋2－x)＋2(m2－3)＝0①在R上有解，令t＝2x＋2－x(t≥2)，則4x＋4－x＝t2－2，∴方程①變?yōu)?/span>t2－2mt＋2m2－8＝0在區(qū)間[2，＋∞)內(nèi)有解，令g(t)＝t2－2mt＋2m2－8，由題意需滿足以下條件：g(2)≤0或則m2－2m－2≤0或得1－≤m≤1＋或解得1－≤m≤1＋或1＋≤m≤2，綜上1－≤m≤2，故實數(shù)m的取值范圍是[1－，2].

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