【解析】原式＝1＋ eq \f(5,2) × eq \f(1,2) － eq \f(1,2) ＝1＋ eq \f(5,4) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(7,4) .
20．解方程x2－4x＋1＝0.
【解析】方法一：公式法：a＝1，b＝－4，c＝1.
b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12>0，
∴x＝ eq \f(4±\r(12),2) ＝2± eq \r(3) .
所以x1＝2＋ eq \r(3) ，x2＝2－ eq \r(3) .
方法二：配方法：移項(xiàng)，得x2－4x＝－1.
配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3，
由此可得x－2＝± eq \r(3) ，
∴x1＝2＋ eq \r(3) ，x2＝2－ eq \r(3) .
21．如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，P，Q分別是BM，DN的中點(diǎn)．
(1)求證：△MBA≌△NDC；
(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】(1)∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC，
∵M(jìn)，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴AM＝NC，∴△MBA≌△NDC.
(2)四邊形MPNQ是菱形．
理由∵△MBA≌△NDC，
∴MB＝DN, ∠ABM＝∠CDN，
∵P，Q分別是BM，DN的中點(diǎn)．∴PM＝NQ，
∵∠ABM ＋∠CBM＝90°，∠CDN ＋∠CND＝90°，∴∠CBM＝∠CND，∴PM ∥NQ，
∴四邊形MPNQ是平行四邊形．
連接MN，由題意可得四邊形AMNB是矩形，PN為直角三角形斜邊上的中線，故PN＝MP，
∴四邊形MPNQ是菱形．
22．為了解學(xué)生對(duì)“校園安全知識(shí)”的了解程度，我市某中學(xué)采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，對(duì)部分學(xué)生就“校園安全知識(shí)”進(jìn)行了調(diào)查測(cè)試，并根據(jù)調(diào)查測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪制出了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
(1)接受調(diào)查測(cè)試的學(xué)生共有________人，條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為_(kāi)_______；
(2)若該中學(xué)共有學(xué)生3 000人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該學(xué)校學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)約有________人；
(3)若從抽樣調(diào)查測(cè)試中對(duì)“校園安全知識(shí)”達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加全市“校園安全知識(shí)”競(jìng)賽，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解析】(1)接受調(diào)查測(cè)試的學(xué)生共有30÷50%＝60(人)，條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為60－(5＋30＋16)＝9，
答案：60 9
(2)估計(jì)出該學(xué)校學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為3 000× eq \f(30＋5,60) ＝1 750(人)，
答案：1 750
(3)畫樹(shù)狀圖得：
∵共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生的有12種情況，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為 eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .
23．某市為了加快5G網(wǎng)絡(luò)信號(hào)覆蓋，在市區(qū)附近小山頂架設(shè)信號(hào)發(fā)射塔，如圖所示．小軍為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點(diǎn)A測(cè)得發(fā)射塔頂端P點(diǎn)的仰角是45°，向前走60米到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角是60°，測(cè)得發(fā)射塔底部Q點(diǎn)的仰角是30°.請(qǐng)你幫小軍計(jì)算出信號(hào)發(fā)射塔PQ的高度．(結(jié)果精確到0.1米， eq \r(3) ≈1.732)
【解析】延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)PC＝x米．在直角△APC中，∠A＝45°，
則AC＝PC＝x米；∵∠PBC＝60°，∴∠BPC＝30°
在Rt△BPC中，BC＝ eq \f(\r(3),3) PC＝ eq \f(\r(3),3) x米，
∵AB＝AC－BC＝60米，則x－ eq \f(\r(3),3) x＝60，解得x＝90＋30 eq \r(3) ，則BC＝(30 eq \r(3) ＋30)米．
在Rt△BCQ中，QC＝ eq \f(\r(3),3) BC＝ eq \f(\r(3),3) (30 eq \r(3) ＋30)＝(30＋10 eq \r(3) )米．
∴PQ＝PC－QC＝90＋30 eq \r(3) －(30＋10 eq \r(3) )
＝60＋20 eq \r(3) ≈94.6(米).
答：信號(hào)發(fā)射塔PQ的高度約是94.6米．
24．(2021·本溪中考)某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買1本手繪紀(jì)念冊(cè)和4本圖片紀(jì)念冊(cè)共需135元，購(gòu)買5本手繪紀(jì)念冊(cè)和2本圖片紀(jì)念冊(cè)共需225元．
(1)求每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？
(2)該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共40本，總費(fèi)用不超過(guò)1 100元，那么最多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)多少本？
【解析】(1)設(shè)每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為y元，
依題意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4y＝135,5x＋2y＝225)) ，解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝35,y＝25)) .
答：每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為35元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為25元．
(2)設(shè)可以購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)m本，則購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)(40－m)本，
依題意得：35m＋25(40－m)≤1 100，
解得：m≤10.
答：最多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)10本．
25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAC＝2∠CDF.
(1)求證：DF是⊙O的切線；
(2)連接DE，求證：DE＝DB；
(3)若cs B＝ eq \f(1,3) ，CF＝2，求⊙O的半徑．
【解析】(1)連接AD，OD，
∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，
∴∠ADO＋∠CDO＝90°，
∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵∠BAC＝2∠CDF，∴∠CAD＝∠CDF，
∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠ODA，∴∠ODC＋∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切線．
(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，
∵∠BED＝∠ACD，∴∠BED＝∠B，
∴DE＝DB.
(3)∵∠DAC＝∠CDF，∠F＝∠F，
∴△ADF∽△DCF，∴ eq \f(DF,AF) ＝ eq \f(CF,DF) ＝ eq \f(CD,AD) .
∵cs B＝cs ∠ACB＝ eq \f(1,3) ，
∴設(shè)CD＝k，AC＝3k，
∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝2 eq \r(2) k，
∴ eq \f(DF,AF) ＝ eq \f(CF,DF) ＝ eq \f(k,2\r(2)k) ＝ eq \f(\r(2),4) .
∵CF＝2，∴DF＝4 eq \r(2) ，
∴AF＝16，∴AC＝AF－CF＝14，
∴AO＝OC＝7，∴⊙O的半徑是7.
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