(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形．如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】(1)∵拋物線y＝－ eq \f(1,2) x2＋mx＋n經(jīng)過點(diǎn)C(0，2)，∴n＝2，
把A(－1，0)代入y＝－ eq \f(1,2) x2＋mx＋2，可得m＝ eq \f(3,2) ，
∴拋物線表達(dá)式為y＝－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2.
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形．
P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) ，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2))) ，
P3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(5,2))) .
(3)當(dāng)y＝0時(shí)，－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0).
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，把B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入
y＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝0，,b＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝2，))
∴直線BC的表達(dá)式是y＝－ eq \f(1,2) x＋2.
過點(diǎn)C作CM⊥EF于點(diǎn)M，設(shè)E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a＋2)) ，
則F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(1,2)a2＋\f(3,2)a＋2)) .
∴EF＝－ eq \f(1,2) a2＋ eq \f(3,2) a＋2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋2))
＝－ eq \f(1,2) a2＋2a(0≤a≤4).
∴S四邊形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF
＝ eq \f(1,2) × eq \f(5,2) ×2＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a2＋2a)) [a＋(4－a)]
＝－a2＋4a＋ eq \f(5,2) ＝－(a－2)2＋ eq \f(13,2) (0≤a≤4).
∴當(dāng)a＝2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值為 eq \f(13,2) ，此時(shí)E(2，1).
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若y＝x＋4與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)的拋物線為y＝－x2＋bx＋c，點(diǎn)D為AB上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)DE＝4時(shí)，求四邊形OAEB的面積；
(3)連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似，若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【解析】(1)∵y＝x＋4，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－4，
∴A(－4，0)，B(0，4).
∵拋物線y＝－x2＋bx＋c過A，B兩點(diǎn)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝4，,－16－4b＋c＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝4，))
∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－3x＋4.
(2)如圖①：設(shè)點(diǎn)D(x，x＋4)，E(x，－x2－3x＋4)，
則DE＝CE－CD＝－x2－3x＋4－(x＋4)＝4，
解得：x1＝x2＝－2.
當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－x2－3x＋4＝6，
即E(－2，6)，
∴S四邊形OAEB＝S△ACE＋S梯形CEBO
＝ eq \f(1,2) ×6×2＋ eq \f(1,2) ×(4＋6)×2＝16.
(3)存在，理由如下：
設(shè)點(diǎn)E(x，－x2－3x＋4)，
①當(dāng)BE∥x軸時(shí)(如圖②)，△D1BE∽△D1AC.
∵EC⊥x軸，∴EC＝BO，
則－x2－3x＋4＝4，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝－3.
當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝x＋4＝1，
∴D1(－3，1).
②當(dāng)BE⊥AB時(shí)(如圖③)，△D2BE∽△D2CA.
過點(diǎn)B作BF⊥D2E交D2E于點(diǎn)F，
則F(x，4)，D2(x，x＋4)，
由(1)知∠OAB＝45°，
∴△BED2是等腰直角三角形，
∴EF＝FD2，∴－x2－3x＋4－4＝4－(x＋4).
化簡得x2＋2x＝0，
解得x1＝0(舍去)，x2＝－2，
當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝x＋4＝2，∴D2(－2，2).
綜上所述，使△DBE和△DAC相似的點(diǎn)為
D1(－3，1)，D2(－2，2)，共2個(gè)．
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