1．1.1 空間向量及其線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)一 兩條直線(不重合)平行的判定
知識(shí)點(diǎn)二 兩條直線垂直的判定
題型一、兩條直線平行的判定
1．判斷正誤
（1）若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線必定平行．( )
（2）若兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等．( )
【答案】 √ √
【詳解】（1）兩條不重合的直線的傾斜角相等，可知兩條直線平行，正確；
（2）兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等.
2．根據(jù)下列給定的條件，判定直線與直線是否平行或重合：
（1）經(jīng)過點(diǎn)，；經(jīng)過點(diǎn)，；( )
（2）的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，；( )
（3）平行于軸，經(jīng)過點(diǎn)，；( )
（4）經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，．( )
【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合
【詳解】（1），，
，所以與不平行．
（2）的斜率，的斜率，即，無法判斷兩直線是否重合，
所以與平行或重合．
（3）由題意，知的斜率不存在，且不是軸，的斜率也不存在，恰好是軸，
所以．
（4）由題意，知，，所以與平行或重合．
需進(jìn)一步研究，，，四點(diǎn)是否共線，．所以，，，四點(diǎn)共線，所以與重合．
3．直線的傾斜角為，經(jīng)過點(diǎn)，，則直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．平行或重合
【答案】D
【詳解】由點(diǎn)，，可求得直線的斜率，
因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，
則有，則直線與直線平行或重合.
故選： D.
4．（多選）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，，下列命題是真命題的為（ ）
A．若，則兩條直線的斜率相等
B．若兩條直線的斜率相等，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BCD
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，但兩條直線斜率不存在，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若兩條直線的斜率相等，且兩直線不重合，故，故B正確；
選項(xiàng)C，若，由平行線的性質(zhì)，可得，故C正確；
選項(xiàng)D，若，由平行線的性質(zhì)，可得，故D正確.
故選：BCD
5．已知過點(diǎn)、的直線與過點(diǎn)、的直線平行，則m的值為______．
【答案】-2
【詳解】由題意得，，
.由于AB∥CD，即，
所以＝，所以m＝-2.
故答案為：-2
題型二、兩條直線垂直的判定
1．設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則對應(yīng)關(guān)系如下：
【答案】 k1k2＝－1；
2．下列條件中，使得l1⊥l2的是（ ）
①l1的斜率為，l2經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)，B；
②l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過點(diǎn)P(-2，-1)，Q(3，-5)；
③l1經(jīng)過點(diǎn)M(1，0)，N(4，-5)，l2經(jīng)過點(diǎn)R(-6，0)，S(-1，3).
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【詳解】對于①：，，所以，故①正確；
對于②：，，，故②錯(cuò)誤；
對于③：，，所以，故③正確；
故選：B
3．以，，為頂點(diǎn)的三角形是（ ）
A．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形B．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
C．銳角三角形D．鈍角三角形
【答案】A
【詳解】由，，，
，，
由，所以直線與直線垂直，
所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.
故選：A
4．直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)和點(diǎn).則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．重合B．平行C．垂直D．無法確定
【答案】C
【詳解】①當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)和點(diǎn).此時(shí)直線的斜率，直線的斜率不存在，因此.
②當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線過點(diǎn)和點(diǎn).此時(shí)直線的斜率不存在，直線的斜率，因此.
③當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率此時(shí)，.
綜上可知，直線與垂直.
故選：C.
5．已知四邊形的頂點(diǎn)，則四邊形的形狀為___________.
【答案】矩形
【詳解】，且不在直線上，.
又，且不在直線上，，四邊形為平行四邊形.又.
平行四邊形為矩形.
故答案為：矩形.
6．已知，，，四點(diǎn).
（1）當(dāng)直線與直線平行，求的值；
（2）求證：無論取何值，總有.
【答案】（1）或；（2）證明見解析.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線軸，點(diǎn)、，與軸不垂直.
所以，直線的斜率存在，且直線的斜率為，
直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與直線平行，則，即，
整理可得，解得或，
直線的斜率為，由題意可得，即，
整理可得，顯然成立，
綜上所述，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，或；
（2）若，則，，，軸，軸，此時(shí)；
若，直線的斜率為，，則，此時(shí).
綜上所述，無論取何值，總有.
1．（多選）下列說法正確的有（ ）
A．若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線可能平行
B．若，則
C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直
D．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行
【答案】AD
【詳解】對于A：若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行或重合，所以這兩條直線可能平行，故選項(xiàng)A正確；
對于B：若，則或兩條直線的斜率都不存在，故選項(xiàng)B不正確；
對于C：若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在且不為，則這兩條直線不垂直，故選項(xiàng)C不正確；
對于D：若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
2．分別根據(jù)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷各組中直線AB與CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
【詳解】(1)
，，，不共線，因此與平行．
(2)，，又兩直線不重合，直線與平行，
(3)直線，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
(4),，直線與不平行．
3．已知直線的傾斜角為60°，直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線，的位置關(guān)系是（ ）．
A．平行或重合B．平行C．垂直D．以上都不對
【答案】A
【詳解】∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴以直線的斜率，又直線的傾斜角為60°，
∴直線的斜率，故直線與直線平行或重合．
故選：A
4．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分條件也非必要條件
【答案】D
【詳解】與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，
若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，
故選：D.
5．判斷下列各對直線平行還是垂直：
(1)經(jīng)過兩點(diǎn)A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）且斜率為1的直線l2；
(2)經(jīng)過兩點(diǎn)C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點(diǎn)M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4.
【詳解】(1)由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；
(2)由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故兩直線垂直.
6．下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．斜率互為負(fù)倒數(shù)的兩條直線一定互相垂直
B．互相垂直的兩條直線的斜率一定互為負(fù)倒數(shù)
C．兩條平行直線的傾斜角相等
D．傾斜角相等的兩條直線平行或重合
【答案】B
【詳解】對于A，若兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們的斜率之積為-1，故這兩條直線一定互相垂直，故A正確；
對于B，若兩條垂直的直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則這兩條直線的斜率不互為負(fù)倒數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對于C，若兩條直線平行，則它們的傾斜角一定相等，故C正確；
對于D，傾斜角相等的兩條直線一定平行或重合，故D正確.
故選：B.
7．已知直線的斜率，直線的斜率，則與( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情況
【答案】B
【詳解】根據(jù)斜率乘積為-1，可知兩條直線垂直
故選：B
8．（多選）已知直線的傾斜角為30°，經(jīng)過點(diǎn)，，則與的位置關(guān)系為（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不確定
【答案】BC
【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為30°，所以直線的斜率，又經(jīng)過點(diǎn)，，所以直線的斜率，
故，所以⊥
故選：BC
9．過點(diǎn)()，(0，3)的直線與過點(diǎn)()，(2，0)的直線的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直B．平行
C．重合D．以上都不正確
【答案】A
【詳解】過點(diǎn)()，(0，3)的直線的斜率k1＝＝－；過點(diǎn)()，(2，0)的直線的斜率k2＝＝＋.因?yàn)閗1·k2＝－1，所以兩條直線垂直．
故選：A.
10．判斷下列各小題中的每對直線是否垂直
(1)l1的斜率為，l2經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（0，）
(2)l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
(3)l1經(jīng)過點(diǎn)M（1，0），N（4，﹣5），l2經(jīng)過點(diǎn)R（﹣6，0），S（﹣1，3）
【詳解】(1)∵l2經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（0，），∴l(xiāng)2的斜率為，
又∵l1的斜率為，且，∴l(xiāng)1與l2垂直.
(2)∵l1的傾斜角為45°，∴l(xiāng)1的斜率為，∵l2經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），
∴l(xiāng)2的斜率為，而，∴l(xiāng)1與l2不垂直.
(3)∵l1經(jīng)過點(diǎn)M（1，0），N（4，﹣5），∴l(xiāng)1的斜率為，
∵l2經(jīng)過點(diǎn)R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l(xiāng)2的斜率為，又∵，
∴l(xiāng)1與l2垂直.
1．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【詳解】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時(shí)，與仍然平行，但是，此時(shí)不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直線與的斜率相等，則必有直線與平行，故必要性成立；
綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的必要非充分條件.
故選：B
2．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
【答案】C
【詳解】設(shè)方程的兩根為、，則．
直線、的斜率，故與相交但不垂直．
故選：C．
3．下列說法正確的是（ ）
A．平行的兩條直線的斜率一定存在且相等B．平行的兩條直線的傾斜角一定相等
C．垂直的兩條直線的斜率之積為D．只有斜率相等的兩條直線才一定平行
【答案】B
【詳解】因?yàn)閮蓷l直線傾斜角為時(shí)，兩條直線平行，但是沒有斜率，故A不正確；
平行的兩條直線的傾斜角一定相等，故B正確；
垂直的兩條直線的斜率存在時(shí)，斜率之積為；當(dāng)一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為時(shí)兩直線也垂直，故C不正確；
斜率不存在的兩條直線也能夠平行，故D不正確；
故選：B．
4．已知直線的傾斜角為30°，直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線，的位置關(guān)系是（ ）．
A．平行或重合B．平行C．垂直D．以上都不對
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以k1k2＝－1，即直線，的位置關(guān)系是垂直．
故選：C．
5．兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（ ）
A．垂直B．斜交C．平行D．重合
【答案】A
【詳解】設(shè)兩直線的斜率分別為，因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以兩直線的位置關(guān)系是垂直.
故選：A
6．已知點(diǎn)，，，，順次連接，，，，所構(gòu)成的圖形是（ ）
A．平行四邊形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不對
【答案】B
【詳解】由已知可得：，，,
∴ ，，，即，不平行于，，，故構(gòu)成的圖形為直角梯形.
故選：B.
7．過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不對
【答案】B
【詳解】由題意，點(diǎn)和點(diǎn)，可得，所以的方程為，
又由直線的斜率為0，且兩直線不重合，
所以兩直線平行.
故選：B.
8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－a，0)，B(a，0)和C，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．斜三角形
【答案】C
【詳解】因?yàn)閗AC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC為直角三角形．
故選：C
9．(多選)設(shè)點(diǎn)P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，則有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【詳解】依題意，直線PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分別為：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS與QS不平行，
即選項(xiàng)ABD正確，選項(xiàng)C不正確.
故選：ABD
10．（多選）滿足下列條件的直線與一定平行的是（ ）
A．經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，
B．的斜率為1，經(jīng)過點(diǎn)，
C．經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，
D．經(jīng)過點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)，
【答案】CD
【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．
對于A．，，，與不平行．
對于B，，，，故或與重合
對于C，，，則有．又，則A，B，M不共線．故.
對于D，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，得與均與x軸垂直且不重合，故有．
故選：CD
11．（多選）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則斜率B．若斜率，則
C．若傾斜角，則D．若，則傾斜角
【答案】BCD
【詳解】對于A，若，且與的傾斜角均為，則直線與的斜率不存在，故A錯(cuò)誤；
對于B，若斜率，且直線與為兩條不重合的直線，則，故B正確；
對于C，若傾斜角，且直線與為兩條不重合的直線，由平行線的性質(zhì)可得，故C正確；
對于D，若，由平行線的性質(zhì)可得傾斜角，故D正確．
故選：BCD．
12．（多選）下列各對直線互相垂直的是（ ）
A．的傾斜角為120°，過點(diǎn)，
B．的斜率為，過點(diǎn)，
C．的傾斜角為30°，過點(diǎn)，
D．過點(diǎn)，，過點(diǎn)，
【答案】ABD
【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．
對于A，因?yàn)椋?，所以，故兩直線垂直．
對于B，因?yàn)?，，所以，故兩條直線垂直．
對于C，因?yàn)椋?，所以與不垂直
對于D，因?yàn)椋?，所以，故兩條直線垂直．
故選：ABD
13．（多選）已知點(diǎn)，那么下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【詳解】因?yàn)椋?，即不在直線上，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
又，，∴，∴，故D正確，C錯(cuò)誤．
故選：AD．
14．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．( )
【答案】錯(cuò)誤
15．已知在中，，，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______，試判斷平行四邊形ABCD是否為菱形．______（填“是”或“否”）
【答案】 是
【詳解】設(shè)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，
所以，，所以解得所以.
因?yàn)?，，所以．所以?br>所以為菱形．
故答案為：；是.
16．已知，，，，若直線直線，則_____．
【答案】0或1
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，而直線的斜率存在，與不平行，不合題意；
當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，而直線的斜率存在，與不平行，不合題意；
當(dāng)且時(shí)，，,
因?yàn)橹本€直線，所以，即，解得或,
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，,即，不重合，
同理當(dāng)時(shí)，直線，不重合．
綜上，的值為或．
故答案為：或．
17．已知三點(diǎn)，則△ABC為__________ 三角形.
【答案】直角
【詳解】如圖，猜想是直角三角形，
由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案為：直角.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針順序依次為，，，，其中．則四邊形的形狀為______.
【答案】矩形
【詳解】由斜率公式得，，，，
所以，，從而，．所以四邊形為平行四邊形．
又，所以，故四邊形為矩形．
故答案為：矩形.
19．已知，，，四點(diǎn)，若順次連接四點(diǎn)，試判斷圖形的形狀．
【答案】直角梯形
【詳解】由斜率公式，得，，，,
所以，又因?yàn)?,說明與不重合，
所以．
因?yàn)?，所以與不平行．
又因?yàn)椋裕?br>故四邊形為直角梯形．
20．判斷三點(diǎn)是否共線，并說明理由．
【詳解】這三點(diǎn)共線，理由如下：
由直線斜率公式可得：，
直線的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點(diǎn)，
所以這三點(diǎn)共線.
21．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)試判定?ABCD是否為菱形？
【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(a，b)，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得，所以D(－1,6).
(2)因?yàn)閗AC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
所以?ABCD為菱形.
22．已知正方形ABCD的邊長為4，若E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，求證:BF⊥AE.
【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,所以,
又
所以.
類型
斜率存在
斜率不存在
前提條件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
對應(yīng)關(guān)系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?兩直線的斜率都不存在
圖示
圖示
對應(yīng)關(guān)系
l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2
圖示
對應(yīng)關(guān)系
與的斜率都存在，分別為，，則_________
與中的一條斜率不存在（傾斜角為），另一條斜率為零（傾斜角為），則與的位置關(guān)系是_________

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