【自主學(xué)習(xí)】
一．直線的一般式方程
1.定義：關(guān)于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．
2.適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．
3.系數(shù)的幾何意義：
①當(dāng)B≠0時(shí)，則－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y軸上的截距)；
②當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－eq \f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率．
思考：當(dāng)A＝0或B＝0或C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的直線？
【小試牛刀】
思辨解析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”).
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)可表示平面內(nèi)的任何一條直線．( )
(2)當(dāng)C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)表示的直線過(guò)原點(diǎn)．( )
(3)當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與y軸平行．( )
(4)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．( )
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A·B≠0.( )
【經(jīng)典例題】
題型一 直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化
點(diǎn)撥：對(duì)于直線方程的一般式，一般做如下約定：一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；x項(xiàng)的系數(shù)為正；x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無(wú)特殊要求時(shí)，求直線方程的結(jié)果寫成一般式．
已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－4)，斜率為－eq \f(4,3)，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程．
【跟蹤訓(xùn)練】1 (1)直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ中點(diǎn)是(1，－1)，則l的斜率是________．
(2)直線eq \r(3)x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于( )
A.eq \r(3) B．－5 C.eq \f(9,5) D．－3eq \r(3)
題型二 含參數(shù)的直線的一般式方程
點(diǎn)撥：含參數(shù)的一般式的處理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.
(2)令x＝0可得在y軸上的截距；令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．
例2 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直線．當(dāng)m＝____________時(shí)，直線的傾斜角為45°；當(dāng)m＝____________時(shí)，直線在x軸上的截距為1.
【跟蹤訓(xùn)練】2 若直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)m的值
為( )
A． eq \f(6,5) B．－6 C．－ eq \f(6,5) D．6
題型三 利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題
點(diǎn)撥：已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
例3已知A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)過(guò)點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程．
【跟蹤訓(xùn)練】3 已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：
(1)過(guò)點(diǎn)(－1，3)，且與l平行；
(2)過(guò)點(diǎn)(－1，3)，且與l垂直．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.（多選）關(guān)于直線l： eq \r(3) x－y－1＝0，下列說(shuō)法正確的有( )
A．過(guò)點(diǎn)( eq \r(3) ，－2) B．斜率為 eq \r(3)
C．傾斜角為60° D．在y軸上的截距為1
2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為( )
A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
3.已知直線(a－2)x＋ay－1＝0與直線2x＋3y＋5＝0平行，則a的值為( )
A．－6 B．6 C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
4.過(guò)點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
5.直線(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)a＝________.
6.設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：
(1)直線l的斜率為－1；
(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
Ax＋By＋C＝0
思考：(1)若A＝0，則y＝－eq \f(C,B)，表示與y軸垂直的一條直線．
(2)若B＝0，則x＝－eq \f(C,A)，表示與x軸垂直的一條直線．
(3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過(guò)原點(diǎn)的一條直線．
【小試牛刀】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
【經(jīng)典例題】
例1 解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－4)，斜率等于－eq \f(4,3)的直線的點(diǎn)斜式方程是y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)．
化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】1 (1)－eq \f(2,3) 解析：設(shè)P(m,1)，則Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝eq \f(1＋1,－2－1)＝－eq \f(2,3).
D 解析： 令y＝0，則x＝－3eq \r(3).
例2 解： (1)m≠－3若方程不能表示直線，則m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3時(shí)，方程表示一條直線．
(2) －1 －eq \f(1,2)或2 解析：因?yàn)橐阎本€的傾斜角為45°，所以此直線的斜率是1，
所以－eq \f(2m2＋m－3,m2－m)＝1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－（m2－m），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1.
因?yàn)橐阎本€在x軸上的截距為1，令y＝0得x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)，所以eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.))所以m＝－eq \f(1,2)或m＝2.
【跟蹤訓(xùn)練】2 B 解析：依題意知直線過(guò)點(diǎn)(3，0)，代入直線方程得3(m＋2)＝2m，解得
m＝－6.
例3 解：(1)將與直線l平行的方程設(shè)為3x＋4y＋C1＝0，又過(guò)點(diǎn)A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直線方程為3x＋4y－14＝0.
(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x－3y＋C2＝0，又過(guò)點(diǎn)A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直線方程為4x－3y－2＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】3 解：l的方程可化為y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴l(xiāng)的斜率為－eq \f(3,4).
法一 (1)∵l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－eq \f(3,4).又∵l′過(guò)點(diǎn)(－1，3)，由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為eq \f(4,3)，又l′過(guò)點(diǎn)(－1，3)，由點(diǎn)斜式可得方程為y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二 (1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(diǎn)(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.
(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.BC解析：對(duì)于直線l： eq \r(3) x－y－1＝0，當(dāng)x＝ eq \r(3) 時(shí)，y＝2，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，即直線在y軸上的截距為－1，故D錯(cuò)誤；
化直線方程為斜截式：y＝ eq \r(3) x－1，可得直線的斜率為 eq \r(3) ，故B正確；
設(shè)其傾斜角為θ(0°≤θ＜180°)，則tan θ＝ eq \r(3) ，θ＝60°，故C正確．
2. D 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.
3.B 解析：由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且當(dāng)a＝6時(shí)兩直線平行，故選B.
4. A 解析：過(guò)點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線的斜率為eq \f(1,2)，由點(diǎn)斜式求得直線的方程為y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，化簡(jiǎn)可得x－2y＋4＝0，故選A.
5.－ eq \f(2,3) 解析：依題意可知k＝tan 45°＝1，所以－ eq \f(2a2－7a＋3,a2－9) ＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－ eq \f(2,3) 或a＝3(舍去).
6. 解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由題意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.
(2)直線l的方程可化為eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.掌握直線的一般式方程(重點(diǎn)).
2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示直線.
3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化(重、難點(diǎn))．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、數(shù)形結(jié)合

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2.2 直線的方程

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