?1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo)．
2.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想．
3.會(huì)用向量法求線線、線面、面面夾角．
4.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、邏輯推理
【自主學(xué)習(xí)】
一．空間距離的向量求法
分類
圖示
向量求法
點(diǎn)線距

u為直線l的單位方向向量，P?l，A∈l，Q∈l，＝a，在直線l上的投影向量為＝(a·u)u，則PQ＝＝ .
線線距
轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距
在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離．
點(diǎn)面距

設(shè)平面α的法向量為n，P?α，A∈α， PQ⊥α，在直線l上的投影向量為，則P點(diǎn)到平面α的距離
PQ＝
線面距（前提是線面平行）
轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距
如果一條直線l與一個(gè)平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解．
面面距（前提是面面平行）
轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距
如果兩個(gè)平面α，β互相平行，在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解．
解讀：異面直線a，b間的距離
求出與兩條直線的方向向量都垂直的法向量n，在兩條直線上分別取A和B，則AB在法向量n上的投影向量的長(zhǎng)度即為異面直線a，b的距離，所以距離為 |AB?n||n|.
二．空間角的向量求法
空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解．
角的分類
向量求法
范圍
兩異面直線l1與l2所成的角為θ
設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，
則cosθ＝ ＝

直線l與平面α所成的角為θ
設(shè)l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝ ＝

平面α與平面β的夾角為θ
設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，
則cos θ＝ ＝


圖（1）直線與平面所成角 圖（2）平面與平面所成角
思考1：平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？

思考2：兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？

【小試牛刀】
1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
（1）兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．(　 　)
（2）直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角．(　 　)
（3）二面角的大小就是該二面角兩個(gè)面的法向量的夾角．(　 　)
（4）若二面角兩個(gè)面的法向量的夾角為120°，則該二面角的大小等于60°或120°.(　 　)
2.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為
.
【經(jīng)典例題】
題型一 利用空間向量求空間距離
角度1：點(diǎn)線距
點(diǎn)撥：用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：
(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段．
(2)在直線上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)．
(3)直線的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算正確．
例1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．


角度2：點(diǎn)面距
點(diǎn)撥：求點(diǎn)到平面的距離的主要方法
(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離．
(2)在三棱錐中用等體積法求解．
(3)向量法：d＝(n為平面的法向量，A為平面上一點(diǎn)，MA為過點(diǎn)A的斜線段)．
例2 在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示．求點(diǎn)B到平面CMN的距離．




角度3 線面距
例3 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)．
(1)求證：B1C∥平面A1BD；
(2)求直線B1C到平面A1BD的距離．



角度4 面面距
點(diǎn)撥：求兩個(gè)平行平面的距離，先在其中一個(gè)平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離求解．注意：這個(gè)點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主．
例4 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．




題型二 利用空間向量求夾角
角度1：線線角
點(diǎn)撥：1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟．
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)．
(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角．
(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．
2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)．
(1)余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．
(2)范圍：異面直線所成角的范圍是，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值．
例5 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.

例5-變式 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．若異面直線AD1與EC所成角為60°，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置．





角度2：線面角
點(diǎn)撥；若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計(jì)算θ的步驟如下：

例6 如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)．
(1)證明：EF⊥BC；
(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．


例6-變式 如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．






角度3：面面角
點(diǎn)撥：利用平面的法向量求兩個(gè)平面的夾角
利用向量方法求兩平面夾角大小時(shí)，多采用法向量法．即求出兩個(gè)面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到兩平面夾角．需注意法向量夾角范圍是[0，π]，而兩平面夾角范圍是．
例7 如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．










例7-變式 如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角A— A1D—B的余弦值．













【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD的長(zhǎng)等于(　　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是線段BB1、B1C1的中點(diǎn),則直線 MN到平面ACD1的距離為　　　　.?
4.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為________．
5.如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中點(diǎn),M是棱CC1上的點(diǎn),且CC1=3CM,則直線BM與B1N之間的距離為　　　　.?

6.如圖,已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A'B'C'D'的體對(duì)角線BD'上,滿足BP=2PD'.
(1)求DP與CC'所成角的余弦值;
(2)求DP與平面AA'D'D所成角的正弦值.













【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
一．
二．|cos| |cos| |cos|
思考1：兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角.
思考2：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于π2的二面角稱為平面α與平面β的夾角.面面角的取值范圍為，二面角的取值范圍為[0,π].
【小試牛刀】
1. × × × √
2.或 解析： cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴兩平面所成二面角的大小為或.
【經(jīng)典例題】
例1 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，

所以直線A1C1的方向向量＝(－4,3,0)，＝(0,3,1)，
所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離
d＝＝＝．
例2取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC．
又BO?平面ABC，∴SO⊥BO．
又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點(diǎn)，∴AO⊥BO．
如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，

則B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0，0,2)，M(1，，0)，N(0，，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，，0)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，
則取z＝1，
則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d＝＝．
例3 (1)證明：連接AB1交A1B于點(diǎn)E，連接DE．
?B1C∥平面A1BD．
(2)解：因?yàn)锽1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離，
如圖建立坐標(biāo)系，

則B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)，＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，＝(－1,0,3)．
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
所以所以n＝(3,0,1)．
所求距離為d＝＝．
例4 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，

＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1,0,0)．
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則?令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1,1,1)，
∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d＝＝＝．
易證平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離，∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為．
例5 A 解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則
B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝.
例5-變式 解：以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)E(1，t,0)(0≤t≤2)，則A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，
根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos 60°，
所以t＝1，所以點(diǎn)E的位置是AB的中點(diǎn)．
例6 解： (1)連接A1E，因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以，A1E⊥平面ABC.
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

不妨設(shè)AC＝4，則A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F(xiàn)，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.
(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，
設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，
由，得，
取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.
例6-變式 (1)證明　以A為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)．
易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)，
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
(2)解　設(shè)平面ACD1的法向量為m＝(x，y，z)，
＝(，1,0)，＝(0,3,3)，則即
令x＝1，則y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一個(gè)法向量為m＝(1，－，)．
設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，∵＝(0,1,0)，∴sin θ＝＝，
∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
例7 解　如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴點(diǎn)S到y(tǒng)軸的距離為1，到x軸的距離為，則有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，設(shè)平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，
∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，
∴取x＝，得平面SAD的一個(gè)法向量為m＝(，1,0)．
又＝(2,0，－1)，設(shè)平面SAB的法向量為n＝(a，b，c)，
則即令a＝，則n＝(，5,2)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.
例7-變式 解：如圖所示，取BC中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中點(diǎn)為O1，以O(shè)為原點(diǎn)，，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
設(shè)平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．
因?yàn)閚⊥，n⊥，得得所以
令z＝1，得n＝(－，0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量．
又因?yàn)椋?1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)，所以·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
又BD∩BA1＝B，BD?平面A1BD，BA1?平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一個(gè)法向量，所以cos〈n，〉＝＝＝－，
又因?yàn)槎娼茿—A1D—B為銳角，所以二面角A— A1D—B的余弦值為.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.　A 解析　設(shè)l與α所成的角為θ且θ∈[0,90°]，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.
2.C解析：因?yàn)椋?4，－5，0)，＝(0，4，－3)，則對(duì)應(yīng)的單位向量為，所以AC邊上的高BD的長(zhǎng)為B到AC的距離d＝＝＝5.
3. 32　解析：如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,1,0),D1(0,0,1),M1,1,12,A(1,0,0),
∴AM=0,1,12,AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1).
設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則n·AC=0,n·AD1=0,即-x+y=0,-x+z=0,
令x=1,則y=z=1,∴n=(1,1,1),
∴點(diǎn)M到平面ACD1的距離d=|AM·n||n|=32.
又MN∥AD1,且MN?平面ACD1,AD1?平面ACD1,
∴MN∥平面ACD1,
故直線MN到平面ACD1的距離即點(diǎn)M到平面ACD1的距離,為32.
4. 解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．∴＝(0,4,3)，＝(－4,0,3)，
∴cos〈，〉＝.
5.68989 解析：如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,

則B(1,1,0),B1(1,1,1),M0,1,13,N12,0,0,∴BB1=(0,0,1),BM=-1,0,13,B1N=-12,-1,-1.
設(shè)直線BM與B1N的公垂線方向上的向量n=(x,y,z),由n·BM=0,n·B1N=0,
得-x+13z=0,-12x-y-z=0,令x=2,則z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).
設(shè)直線BM與B1N之間的距離為d,則d=|BB1·n||n|=689=68989.
6. 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)棱長(zhǎng)為1,則
B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),D'(0,0,1)，則
BD'=(-1,-1,1),DB=(1,1,0),CC'=(0,0,1),DC=(0,1,0),
∵BP=2PD',
∴BP=23BD'=23(-1,-1,1)=-23,-23,23.
(1)DP=DB+BP=(1,1,0)+-23,-23,23=13,13,23,
設(shè)DP與CC'所成角為θ,則cos θ=|DP·CC’||DP||CC’|=2319+19+49×1=2363=63,
∴DP與CC'所成角的余弦值為63.
(2)由(1)知DP=13,13,23.
∵DC⊥平面AA'D'D,∴DC=(0,1,0)為平面AA'D'D的一個(gè)法向量,
設(shè)DP與平面AA'D'D所成的夾角為α,
∴sin α=|cos|=|DP·DC||DP||DC|=1319+19+49×1=1363=16=66,
∴DP與平面AA'D'D所成角的正弦值為66.

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選擇性必修 第一冊(cè)1.4 空間向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案及答案

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選擇性必修 第一冊(cè)第一章 空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用優(yōu)秀第1課時(shí)學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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