【自主學(xué)習(xí)】
一．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離 的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 ．
思考：拋物線的定義中，若點(diǎn)F在直線l上，那么點(diǎn)的軌跡是什么？
二．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)拋物線的方程都是二次函數(shù)．( )
(2)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p.( )
(3)平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．( )
(4)y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．( )
(5)以(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y．( )
【經(jīng)典例題】
題型一 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
點(diǎn)撥：用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
例1 根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)準(zhǔn)線方程為y＝eq \f(2,3)；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.
【跟蹤訓(xùn)練】1 根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；
(2)焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
題型二 與拋物線有關(guān)的軌跡問(wèn)題
點(diǎn)撥：拋物線的軌跡問(wèn)題
既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解．后者的關(guān)鍵是找到滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離且定點(diǎn)不在定直線上的條件，有時(shí)需要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿(mǎn)足拋物線定義的條件．
例2 已知?jiǎng)訄AM與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
【跟蹤訓(xùn)練】2 若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2).求點(diǎn)M的軌跡方程．
題型三 拋物線最值問(wèn)題
點(diǎn)撥：解決最值問(wèn)題
在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題．拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋eq \f(p,2).
例3 如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
【跟蹤訓(xùn)練】3已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2 D.eq \r(5)－1
題型四 拋物線的實(shí)際應(yīng)用
點(diǎn)撥：利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決此問(wèn)題，操作步驟為：
(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．
(3)計(jì)算：通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)還原：還原到實(shí)際問(wèn)題中，從而解決實(shí)際問(wèn)題.
例4 一輛卡車(chē)高3 m，寬1.6 m，欲通過(guò)斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口寬為a m，求能使卡車(chē)通過(guò)的a的最小整數(shù)值．
【跟蹤訓(xùn)練】4 河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問(wèn)：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)對(duì)拋物線y=4x2，下列描述正確的是（ ）
A．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為
C．準(zhǔn)線方程為y=-D．準(zhǔn)線方程為y=-1
2.準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－eq \r(2))的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2yD．x2＝－2y
3.已知拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)
4.若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．
5.拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求此拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo)．
6.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，且與直線l：x＝－3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
相等 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線
思考：點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(－p,2))) y＝eq \f(p,2)
【小試牛刀】
× √ × × √
【經(jīng)典例題】
例1 解：(1)易知拋物線的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且eq \f(p,2)＝eq \f(2,3)，則p＝eq \f(4,3)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq \f(8,3)y.
(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿(mǎn)足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
【跟蹤訓(xùn)練】1 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(－3，－1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；
若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，則由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.
(2)對(duì)于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4,0)．
當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－3)時(shí)，eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；
當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，eq \f(p,2)＝4，∴p＝8，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x.
例2 解：設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等．
由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y.
【跟蹤訓(xùn)練】2 解：由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)，
所以動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距離與它到直線l：x＝－eq \f(1,2)的距離相等．
由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，
其方程應(yīng)為y2＝2px(p＞0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，所以y2＝2x（x≠0）。
例3 解：將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6).
∵eq \r(6)>2，∴A在拋物線內(nèi)部．
設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－eq \f(1,2)的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為eq \f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值為eq \f(7,2)，
此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)．
【跟蹤訓(xùn)練】3 D 解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．
設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，
由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，
所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，
故d＋|PF|的最小值為eq \f(|2＋3|,\r(22＋?－1?2))＝eq \r(5)，
所以d＋|PF|－1的最小值為eq \r(5)－1.
例4 解：以拱頂O為原點(diǎn)，拱高OD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－\f(a,4))).
由點(diǎn)B在拋物線上，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝－2p·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)))，
∴p＝eq \f(a,2).∴拋物線方程為x2＝－ay.
設(shè)點(diǎn)E(0.8，y0)為拋物線上一點(diǎn)，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴y0＝－eq \f(0.64,a)，∴點(diǎn)E到拱底AB的距離h＝eq \f(a,4)－|y0|＝eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)，
令h＞3，則eq \f(a,4)－eq \f(0.64,a)＞3，解得a＞6＋eq \f(2\r(241),5)或a＜6－eq \f(2\r(241),5)(舍去)．
∴a的最小整數(shù)值為13.
【跟蹤訓(xùn)練】4 解：如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，－5)在拋物線上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.
當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船開(kāi)始不能通航，
設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).
又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時(shí)，小船開(kāi)始不能通航．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.BC解析：由y=4x2，得，所以該拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
故選：BC
2.B 解析：由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ax，則(－eq \r(2))2＝a，解得a＝2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x，故選B.
3.C解析：由拋物線y＝2px2過(guò)點(diǎn)(1,4)，可得p＝2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq \f(1,4)y，
則焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故選C.
4. 2 x＝－1 解析：∵拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(p,2)＝－1.
5. 解：設(shè)焦點(diǎn)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d，
則d＝|MF|＝10，即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，
∴拋物線方程為y2＝－4x.將M(－9，y)代入拋物線的方程，得y＝±6.
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6)．
6. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，⊙M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，
即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，
∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念．(重點(diǎn))
2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程．(易錯(cuò)點(diǎn))
3.明確p的幾何意義，并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題．(難點(diǎn))
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、邏輯推理
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
y2＝2px(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)


x2＝2py(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)


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3.3 拋物線

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