【自主學(xué)習(xí)】
一．拋物線的幾何性質(zhì)
二．焦點(diǎn)弦
直線過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝ .
三．直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線有三種位置關(guān)系： 、 和 ．
設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡(jiǎn)，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0時(shí)，直線與拋物線只有 交點(diǎn)；
②k≠0時(shí)，Δ＞0?直線與拋物線 ?有 公共點(diǎn)．
Δ＝0?直線與拋物線 ?只有 公共點(diǎn)．
Δ＜0?直線與拋物線 ? 公共點(diǎn)．
【小試牛刀】
思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱．( )
(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心．( )
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．( )
(4)拋物線y2＝2px過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)是2p．( )
(5)拋物線y＝－eq \f(1,8)x2的準(zhǔn)線方程為x＝eq \f(1,32)．( )
【經(jīng)典例題】
題型一 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用
點(diǎn)撥：把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
(1)開(kāi)口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開(kāi)口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．
(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸．
(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.
例1 已知拋物線y2＝8x.
(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍；
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)．
【跟蹤訓(xùn)練】1 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長(zhǎng)等于2eq \r(3)，則拋物線的方程為_(kāi)_______．
題型二 直線與拋物線的位置關(guān)系
點(diǎn)撥：直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題的解題思路
(1)判斷直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個(gè)數(shù)．
(2)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)有兩種情形： = 1 \* GB3 ①直線與拋物線的對(duì)稱軸重合或平行； = 2 \* GB3 ②直線與拋物線相切．
例2 已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時(shí)，l與C：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)．
【跟蹤訓(xùn)練】2 若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求證OA⊥OB.
題型三 中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)公式
例3 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為eq \f(π,4)的直線l被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【跟蹤訓(xùn)練】3 過(guò)點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點(diǎn)Q所平分，求AB所在直線的方程．
題型四 拋物線的綜合應(yīng)用
例4 求拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的最小距離．
【跟蹤訓(xùn)練】4如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2yD．x2＝－2y
2.若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq \r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)
3.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
4.過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________.
5.已知拋物線x＝－y2與過(guò)點(diǎn)(－1,0)且斜率為k的直線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積等于eq \r(10)時(shí)，求k的值．
6.已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若|AB|＝10，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若OA⊥OB，求實(shí)數(shù)m的值．
【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) x軸 y軸 (0,0) 1 x1＋x2＋p 相離 相切 相交
一個(gè) 相交 兩個(gè) 相切 一個(gè) 相離 沒(méi)有
【小試牛刀】
× √ √ √ ×
【經(jīng)典例題】
例1 解： (1)拋物線y2＝8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.
(2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，
又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝eq \f(2,3)|OM|.
因?yàn)镕(2,0)，所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，所以M(3,0)．
故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，
所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)，所以△OAB的周長(zhǎng)為2eq \r(33)＋4eq \r(6).
【跟蹤訓(xùn)練】 1 y2＝3x或y2＝－3x 解析：根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性知，其交點(diǎn)縱坐標(biāo)為±eq \r(3)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為±1，則拋物線過(guò)點(diǎn)(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，設(shè)拋物線方程為
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，則2p＝3，從而拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x.
例2 解：聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式只有一個(gè)解x＝eq \f(1,4)，∴y＝1，∴直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，此時(shí)直線l平行于x軸．
當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式是一個(gè)一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①當(dāng)Δ>0，即k0)，則由點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.
(2)證明：因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB，即eq \f(y1－2,x1－1)＝－eq \f(y2－2,x2－1).
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，從而有eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)，即eq \f(4,y1＋2)＝－eq \f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.CD 解析：由，解得：或，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(4p,8p)，
則，解得：， 則拋物線的方程，故選：CD．
2.A 解析：線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
3.B 解析：由題意知F(1,0)，設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，則eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4得y0＝±2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，±2)，故選B.
4. 8 解析：因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
5.解： 過(guò)點(diǎn)(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，
由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－y2，,y＝k?x＋1?，))消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)之間的關(guān)系得y1＋y2＝－eq \f(1,k)，y1·y2＝－1.
設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N，顯然N點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq \f(1,2)|ON||y1|＋eq \f(1,2)|ON||y2|＝eq \f(1,2)|ON||y1－y2|，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×1×eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)＝eq \f(1,2)×eq \r(\f(1,k2)＋4)＝eq \r(10)，
解得k＝±eq \f(1,6).
6.解： 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.3 拋物線

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