高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)3.3 拋物線練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181712544" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc181712544 \h 1
\l "_Tc181712545" 題型一：拋物線的定義 PAGEREF _Tc181712545 \h 1
\l "_Tc181712546" 題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 PAGEREF _Tc181712546 \h 2
\l "_Tc181712547" 題型三：軌跡方程—拋物線 PAGEREF _Tc181712547 \h 4
\l "_Tc181712548" 題型四：拋物線距離和與差的最值問題 PAGEREF _Tc181712548 \h 7
\l "_Tc181712549" 題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc181712549 \h 9
\l "_Tc181712550" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc181712550 \h 12
\l "_Tc181712551" 【高考真題】 PAGEREF _Tc181712551 \h 24
【題型歸納】
題型一：拋物線的定義
1．（2024·高二·吉林·期末）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若，則（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由題意得F1,0，設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>故，
由拋物線焦半徑公式得，
故.
故選：C
2．（2024·高二·黑龍江·期末）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則（）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程的為，
由拋物線的定義可得，解得.
故選：C
3．（2024·高二·遼寧沈陽·期末）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，則“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”是“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”的（）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”可得，
拋物線方程可以為或或或，
因此充分性不成立；
若“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”可得，即可得拋物線“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”，
即必要性成立；
所以“焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2”是“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為”的必要不充分條件.
故選：B
4．（2024·高二·甘肅·期末）已知為拋物線C：的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的周長(zhǎng)為（）
A．B．C．10D．11
【答案】A
【解析】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，由題，，所以，
代入拋物線方程得，所以，
的周長(zhǎng)為.
故選：A.
題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
5．（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，頂點(diǎn)為橢圓的中心，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【答案】
【解析】橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
6．（2024·高二·上海浦東新·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)是圓的圓心，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【答案】．
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心坐標(biāo)為，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
7．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A、B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
【答案】或
【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)或時(shí)，，解得，
所以拋物線的方程是或.
故答案為：或.
8．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；
(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)；
(3)焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
【解析】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
可知拋物線焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，
故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)-3,2，則拋物線焦點(diǎn)可能在軸正半軸或軸負(fù)半軸上，
則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，
分別將-3,2代入，有，，求得，，
故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
（3）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)在拋物線上，
有拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸上，
又因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，
則設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
根據(jù)拋物線定義有，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
題型三：軌跡方程—拋物線
9．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，對(duì)稱軸作平行移動(dòng)，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)移到點(diǎn) 時(shí)，拋物線方程為．
【答案】
【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線上滑動(dòng)，令，得
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為
所以拋物線方程為
又因?yàn)槠揭坪蟮慕裹c(diǎn)在上，代入解得
，平移后的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
平移向量為
所以平移后的拋物線方程為
10．（2024·高二·上?！ふn堂例題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓M與圓N：相內(nèi)切，且與直線相切，記動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C．求曲線C的方程．
【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心Mx,y，半徑為r，N0,12
依題意，MN=r-12，r=y+1，
消去r，得x2+y-122=y+12，
化簡(jiǎn)得，
所以曲線C的方程為．
11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.
【解析】設(shè)，則，所以，化簡(jiǎn)得，
故的方程為.
12．（2024·浙江·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，，是的中點(diǎn)，當(dāng)在軸上移動(dòng)時(shí)，與滿足的關(guān)系式為；點(diǎn)的軌跡的方程為．
【答案】
【解析】由題意得 ,即；
設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，從而點(diǎn)的軌跡的方程為.
故答案為：；
13．（2024·高二·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為．
【答案】
【解析】設(shè)，，，
則，，，
因?yàn)椋?則，
又因?yàn)椋瑒t，即，
可得，即．
故點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：.
14．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)A，C在拋物線上，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．
【答案】
【解析】如圖，
設(shè)Ax1,y1，，則，
依題意，四邊形為矩形，
則，即，
所以，即，
則，
所以頂點(diǎn)的軌跡方程為，
故答案為:．
題型四：拋物線距離和與差的最值問題
15．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上，動(dòng)圓與圓內(nèi)切并與直線相切，圓心為，則PC的最小值為 .
【答案】/
【解析】如圖，設(shè)圓的半徑為，則；
又到的距離為，則到的距離為.
所以C的軌跡是以O(shè)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，頂點(diǎn)為，
則
16．（2024·高二·河南南陽·期中）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為A，連接，
由題知，焦點(diǎn)，，．
因?yàn)橹本€的斜率為，所以為正三角形，
所以，，
所以．
記關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則．
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
所以周長(zhǎng)的最小值為．
故答案為：
17．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)距離的最小值為．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，設(shè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離分別為，，則的最小值為．
【答案】/
【解析】由橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，
且橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)距離的最小值為，
得，
所以，故，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，
所以，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，
則，
點(diǎn)到直線的距離，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
18．（2024·高二·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為．
【答案】
【解析】由拋物線的定義知，，所以
所以，當(dāng)點(diǎn)位于射線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值.
故答案為：
題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用
19．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過隧道的限制高度為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如上圖，取拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)拋物線方程，將點(diǎn)代入拋物線方程解得：，
∴拋物線方程為，
∵行車道總寬度，
∴將代入拋物線方程，解得：，
∴車輛通過隧道的限制高度為，
故選：C.
20．（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為．校門最高點(diǎn)到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（）
A．18米B．21米C．24米D．27米
【答案】C
【解析】依題意知，拋物線，即，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，
所以拋物線方程為，
令，則，解得，
所以校門位于地面寬度最大約為米.
故選：C.
21．（2024·河北石家莊·一模）截至2023年2月，“中國(guó)天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國(guó)天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡（圖1）．觀測(cè)時(shí)它可以通過4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)?？萍夹〗M制作了一個(gè)FAST模型，觀測(cè)時(shí)呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則設(shè)拋物線的方程為，
由題可得拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程可得，所以，
即拋物線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
故選：A.
22．（2024·高三·遼寧營(yíng)口·期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，
，代入拋物線方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化為：，
解得或（舍）
.
故選：C.
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（2024·高二·四川宜賓·期末）已知拋物線C：，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為12，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】如圖，
直線l：中，令，可得，令，可得，
所以，，
由拋物線C：y2=2pxp>0可得，
所以，所以，
解得.
故選：A
2．（2024·高二·江蘇常州·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過作的垂線，垂足為.若，則到的距離為（）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，，
又，為正三角形，，
又，在中，即，
解得或（舍去），所以到的距離為.
故選：A.
3．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：由題意知，，設(shè)，
由拋物線定義可得，，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>則，所以．
故選：C．
4．（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·期末）已知拋物線，直線，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€，即，過定點(diǎn)，記作點(diǎn)A，
因?yàn)?，垂足為，所以，又?br>故點(diǎn)P的軌跡為以為直徑的圓，半徑，圓心為，記作點(diǎn)B，
又因?yàn)镼在拋物線上，其準(zhǔn)線為，
所以等于Q到準(zhǔn)線的距離，
過點(diǎn)Q做準(zhǔn)線的垂線，垂足為R，要使取到最小，即最小，
此時(shí)，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線后直線過圓心B，如圖所示，
此時(shí).
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若為拋物線內(nèi)部一點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)．
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，
所以周長(zhǎng)為，
故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，
取得最小值，且，
則周長(zhǎng)的最小值為，
解得，
此時(shí)拋物線C的準(zhǔn)線方程為.
故選：B
6．（2024·高二·福建莆田·階段練習(xí)）若拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，
所以，所以，故D正確.
故選：D.
7．（2024·高二·陜西西安·期中）拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，則此拋物線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線與直線的距離為，
故，解得，故此拋物線的方程為.
故選：B.
8．（2024·高二·重慶·期中）已知拋物線C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（）
A．10B．8C．5D．4
【答案】B
【解析】由題意知拋物線C：上一點(diǎn)，則，
又，故在拋物線C：的外部，
則，
因?yàn)閽佄锞€C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則，
故，
由于，當(dāng)三點(diǎn)共線（P在之間）時(shí)，
取到最小值,
則的最小值為，
故選：B
9．（多選題）（2024·高二·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的值可能是（）.
A．1B．3C．4D．5
【答案】CD
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，圓的圓心為，半徑為1，
過點(diǎn)作于，設(shè)點(diǎn)，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，點(diǎn)位于之間時(shí)等號(hào)成立，
，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為4，AB不可能，CD可能.
故選：CD
10．（多選題）（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·期末）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）
A．，
B．直線的斜率為1時(shí)，
C．的最小值為6
D．以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切
【答案】AD
【解析】依題意可知直線過拋物線的焦點(diǎn)F1,0,且直線的方程可設(shè)為,
將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得，
因?yàn)?，所以?
所以,
，故A正確；
,
當(dāng)時(shí),AB有最小值4，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，則，故，故B錯(cuò)誤；
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則,
所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,
所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切,故D正確.
故選:AD.
11．（多選題）（2024·高二·山東煙臺(tái)·期末）已知定圓，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能為（）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓
【答案】ABD
【解析】因?yàn)槭蔷€段的中垂線上的點(diǎn)，，
若在圓內(nèi)部，且不為圓心，則，，
所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；
若在圓外部，則，，
所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，故B正確；
若在圓上，則的中垂線恒過圓心，即的軌跡為點(diǎn)．
若為圓的圓心，即與重合時(shí)，為半徑的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，故D正確，
不存在軌跡為拋物線的可能，故C錯(cuò)誤，
故選：ABD
12．（2024·高二·河南商丘·期末）已知點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線與到直線的距離之和的最小值是．
【答案】/
【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，準(zhǔn)線方程為，
由拋物線定義可得點(diǎn)到直線的距離等于PF，
過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，
所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之和等于，
由兩點(diǎn)之間線段最短可得，
過作直線的垂線，垂足為，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：.
13．（2024·高二·河北保定·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，圓心是拋物線上一點(diǎn)，直線，圓與線段相交于點(diǎn)，與直線交于，兩點(diǎn)，且，若，則拋物線方程為 .
【答案】
【解析】
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
由圖知①，
由可得，②，
又點(diǎn)在拋物線上，可得，，即③，
把①式代入②式，，解得，，
回代入①可得，，代入③式整理得，，
解得，或（舍去），故拋物線方程為：.
故答案為：.
14．（2024·江蘇南通·二模）已知點(diǎn)在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則．
【答案】
【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
聯(lián)立方程組，解得，即，
又由，可得軸，因?yàn)?，可得?br>所以直線的傾斜角為，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則，
整理得且，解得，
即，解得或（舍去）.
故答案為：.
15．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．
(1)求拋物線的方程；
(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．
【解析】（1）準(zhǔn)線為，，
拋物線的方程為；
（2）
設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，聯(lián)立得，
，得，
則，，
所以
以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，
則，
或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，
又，
綜上，的值為．
16．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，為直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．
【解析】設(shè)Px,y，，，又，
則，，，
，
由，得，且易知點(diǎn)均不在軸上，
故，且，
由，得，即，
由，得，即，所以，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.
17．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.求曲線的方程.
【解析】解法一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
依題意，點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為.
解法二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
則，
依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，曲線的方程為.
18．（2024·高二·河南駐馬店·期末）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，.
(1)求的取值范圍；
(2)若為直角三角形，且，求的值.
【解析】（1）由題意可知：拋物線的方程為，
直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立方程組，消去得，
要使直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，則，
即，解得或，
所以們?nèi)≈捣秶鸀榛?
（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，由（1）可知，是的兩個(gè)根，
則，，
解法一：因?yàn)椋瑒t，即，
可得
，
解得或，
結(jié)合（1）中的取值范圍可知：.
解法二：因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>即，解得，
此時(shí)滿足（1）中的取值范圍，所以.
【高考真題】
1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
2．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
3．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
4．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為．
【答案】
【解析】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由題意得，解得，
代入拋物線方程，得，解得，
則點(diǎn)到軸的距離為．
故答案為：．
5．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
【答案】
【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
6．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
【答案】
【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
7．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；的面積為．
【答案】 5
【解析】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.
因?yàn)椋?，解得，故?br>所以，
故答案為：5；.
8．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為 .
【答案】
【解析】拋物線： ()的焦點(diǎn),
∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因?yàn)?，所?
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.

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