3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．初步形成回復(fù)力的概念，理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量。2．利用能量守恒研究彈簧振子，探究彈簧振子系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。3．養(yǎng)成觀(guān)察、分析、比較、歸納的良好習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的積極性。
1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義如果物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受的力與它偏離平衡位置的位移大小成______，并且總是指向__________，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2．回復(fù)力
1．振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)與能量的關(guān)系(1)振子的速度與動(dòng)能：速度不斷______，動(dòng)能也在不斷______。(2)彈簧形變量與勢(shì)能：彈簧形變量在不斷______，因而勢(shì)能也在不斷______。2．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量振動(dòng)系統(tǒng)的能量一般指振動(dòng)系統(tǒng)的________。振動(dòng)的過(guò)程就是______和______互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程。(1)在最大位移處，______最大，______為零；(2)在平衡位置處，______最大，______最?。?br/>(3)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能______(選填“守恒”或“減小”)，而在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中都有一定的能量損耗，因此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種________的模型。3．決定能量大小的因素振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能跟______有關(guān)，______越大，機(jī)械能就越大，振動(dòng)越強(qiáng)。
『判一判』(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力可以是恒力。(　　)(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)平衡位置就是質(zhì)點(diǎn)所受合力為零的位置。(　　)(3)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，振幅越大其振動(dòng)的能量就越大。(　　)(4)回復(fù)力的方向總是跟位移的方向相反。(　　)(5)彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒。(　　)(6)通過(guò)速度的增減變化情況，能判斷回復(fù)力大小的變化情況。(　　)
×　×　√　√　√　√　
『選一選』把一個(gè)小球套在光滑細(xì)桿上，球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它圍繞平衡位置O在A、B間振動(dòng)，如圖所示，下列結(jié)論正確的是(　　)A．小球在O位置時(shí)，動(dòng)能最小，加速度最小B．小球在A、B位置時(shí)，動(dòng)能最大，加速度最大C．小球從A經(jīng)O到B的過(guò)程中，回復(fù)力先做正功，后做負(fù)功D．小球從B到O的過(guò)程中，振動(dòng)的能量不斷減小
解析：振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，速度最大，位移為零，所以經(jīng)過(guò)平衡位置動(dòng)能最大，回復(fù)力為零，加速度為零，故A錯(cuò)誤；在A、B位置時(shí)，速度為零，位移最大，回復(fù)力最大，加速度最大，故B錯(cuò)誤；由于回復(fù)力指向平衡位置，所以振子從A經(jīng)O到B的過(guò)程中，回復(fù)力先做正功，后做負(fù)功，故C正確；振子的動(dòng)能和彈簧的勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，且總量保持不變，即振動(dòng)的能量保持不變，故D錯(cuò)誤。
『想一想』彈簧下面掛一小鋼球如圖所示，它所受的力與位移的關(guān)系也滿(mǎn)足F＝－kx嗎？x為彈簧的形變量嗎？它振動(dòng)的回復(fù)力由哪些力提供？是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
答案：滿(mǎn)足；不是；由彈簧彈力和重力的合力提供；是解析：設(shè)振子的平衡位置為O，向下為正方向，此時(shí)彈簧已伸長(zhǎng)了x0設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，由平衡條件得kx0＝mg①當(dāng)振子偏離平衡位置距離為x時(shí)F回＝mg－k(x＋x0)②由①②得F回＝－kx，所以該振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
右圖為水平彈簧振子的模型，則：
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和加速度
(1)振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的合力有什么特點(diǎn)？(2)振子所受的合力產(chǎn)生了什么效果？提示：(1)振子所受的合力總是指向平衡位置。(2)合力的效果總是把振子拉回到平衡位置。
1．對(duì)回復(fù)力的理解(1)回復(fù)力是指將振動(dòng)物體拉回到平衡位置的力，它可以是物體所受的合外力，也可以是一個(gè)力或某一個(gè)力的分力，而不是一種新的性質(zhì)力。(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力：F＝－kx。①k是比例系數(shù)，并非彈簧的勁度系數(shù)(水平彈簧振子中k等于彈簧的勁度系數(shù))，其值由振動(dòng)系統(tǒng)決定，與振幅無(wú)關(guān)。
(多選)如圖所示，物體系在兩彈簧之間，彈簧勁度系數(shù)分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然狀態(tài)?，F(xiàn)在向右拉動(dòng)物體，然后釋放，物體在B、C間振動(dòng)，O為平衡位置(不計(jì)阻力)，設(shè)向右為正方向，物體相對(duì)O點(diǎn)的位移為x，則下列判斷正確的是(　　)A．物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，OC＝OBB．物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，OC≠OBC．物體所受合力F＝－kxD．物體所受合力F＝－3kx
解析：物體的位移為x，則物體所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正確，C錯(cuò)誤；可見(jiàn)物體做的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可得OC＝OB，A正確，B錯(cuò)誤。解題探究：(1)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受彈簧的彈力如何變化？方向有何關(guān)系？(2)如何計(jì)算某一時(shí)刻物體所受合力？
提示：(1)振動(dòng)物體在水平方向受兩彈簧的彈力，且兩彈力大小要增大都增大，要減小都減小，其方向相同。(2)先受力分析，然后結(jié)合胡克定律求得合力。
1．(2021·山東省聊城高二檢測(cè))做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，其加速度a隨位移x的變化規(guī)律應(yīng)是圖中的哪一個(gè)(　　)
如圖所示，在水平彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈性勢(shì)能最大的位置在哪里？動(dòng)能最大的位置有在哪？
提示：彈性勢(shì)能最大的位置有兩個(gè)，分別對(duì)應(yīng)于振子運(yùn)動(dòng)的最左端和最右端。動(dòng)能最大的位置只有一個(gè)，就是彈簧振子運(yùn)動(dòng)到平衡位置的時(shí)候。
1．決定因素對(duì)于一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量由振幅決定，振幅越大，系統(tǒng)的能量越大。2．能量獲得開(kāi)始振動(dòng)系統(tǒng)的能量是通過(guò)外力做功由其他形式的能轉(zhuǎn)化來(lái)的。3．能量轉(zhuǎn)化當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)后，如果不考慮阻力作用，系統(tǒng)只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)能量不變。
4．理想化模型a．從力的角度分析，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沒(méi)考慮摩擦阻力。b.從能量轉(zhuǎn)化角度分析，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沒(méi)考慮因阻力做功的能量損耗。
因?yàn)閯?dòng)能和勢(shì)能是標(biāo)量，所以：(1)在振動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能間完成兩次周期性變化，經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)動(dòng)能最大，勢(shì)能最?。唤?jīng)過(guò)最大位移處時(shí)，勢(shì)能最大，動(dòng)能最?。?2)振子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)平衡位置兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)，具有相等的動(dòng)能和相等的勢(shì)能。
如圖所示，兩根完全相同的彈簧和一根張緊的細(xì)線(xiàn)將甲、乙兩物體束縛在光滑水平面上，已知甲的質(zhì)量大于乙的質(zhì)量、當(dāng)細(xì)線(xiàn)突然斷開(kāi)后，兩物體都開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(　　)A．甲的振幅大于乙的振幅B．甲的振幅小于乙的振幅C．甲的最大速度小于乙的最大速度D．甲的最大速度大于乙的最大速度
思路引導(dǎo)：對(duì)甲乙兩個(gè)物體進(jìn)行受力分析，由物體的平衡條件可以分析彈力，進(jìn)而分析彈簧的形變量，細(xì)線(xiàn)剪斷之后甲乙兩個(gè)物體都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，彈簧和物體所構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，再根據(jù)彈性勢(shì)能和動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化可以確定所求關(guān)系。解析：由題意知，在細(xì)線(xiàn)未斷之前兩個(gè)彈簧所受到的彈力是相等的，所以當(dāng)細(xì)線(xiàn)斷開(kāi)后，甲、乙兩個(gè)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的振幅是相等的，A、B錯(cuò)誤；兩物體在平衡位置時(shí)的速度最大，此時(shí)的動(dòng)能等于彈簧剛釋放時(shí)的彈性勢(shì)能，所以甲、乙兩個(gè)物體的最大動(dòng)能是相等的，則質(zhì)量大的物體速度小，所以C正確，D錯(cuò)誤。
2．如圖所示為一彈簧振子的振動(dòng)圖像，在A、B、C、D、E、F各時(shí)刻中，哪些時(shí)刻振子有相同速率？哪些時(shí)刻振子有最大動(dòng)能？哪些時(shí)刻振子有相同的最大加速度？哪些時(shí)刻振子有最大勢(shì)能？
解析：由振動(dòng)圖像知：A、C、E時(shí)刻振子速度為零，B、D兩時(shí)刻速度大小相等，方向相反，B、F兩時(shí)刻速度大小相等，方向相同，故A、C、E速率相同，B、D、F速率相同；由于振子能量與速度大小有關(guān)，故振子動(dòng)能最大的時(shí)刻：B、D、F。A、C、E時(shí)刻，振子處于最大位移處，所受回復(fù)力最大，加速度最大，但C時(shí)刻的加速度方向與AE兩時(shí)刻相反，故振子具有相同的最大加速度的時(shí)刻為A、E，又因?yàn)閯?shì)能為標(biāo)量，只與位移大小有關(guān)，故振子具有最大勢(shì)能的時(shí)刻為A、C、E。
一個(gè)質(zhì)量為m，側(cè)面積為S的正方形木塊放在水面上靜止(平衡)，如圖所示?，F(xiàn)用力向下將其壓入水中一小距離后撤掉外力，木塊在水面上下振動(dòng)，試判斷木塊的振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
解析：以木塊為研究對(duì)象，設(shè)靜止時(shí)木塊浸入水中Δx深，當(dāng)木塊再被壓入水中x后所受力如圖所示，則F回＝mg－F浮，又F?。溅裧S(Δx＋x)。由以上兩式，得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx。∵mg＝ρgSΔx，∴F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。即木塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。答案：是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1. (2020·江蘇省蘇州市高二下學(xué)期期中)公路上勻速行駛的貨車(chē)受一擾動(dòng)，車(chē)上貨物隨車(chē)廂底板上下振動(dòng)但不脫離底板。一段時(shí)間內(nèi)貨物在豎直方向的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)。取豎直向上為正方向，以t＝0時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，其振動(dòng)圖像如圖所示，則(　　)
2. (多選)(2020·山東省昌樂(lè)二中高二下學(xué)期月考)如圖所示，當(dāng)一彈簧振子在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．振子在振動(dòng)過(guò)程中，速度相同時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度一定相等，彈性勢(shì)能相等B．振子從最低點(diǎn)向最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，彈簧彈力始終做正功C．振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力由彈簧彈力和振子重力的合力提供D．振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
解析：振子在平衡位置兩側(cè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，速度相同的位置可能出現(xiàn)在關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，這時(shí)彈簧長(zhǎng)度明顯不等，A錯(cuò)誤；振子由最低點(diǎn)向最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈力一定是先做正功，但過(guò)了平衡位置后，彈簧可能是壓縮狀態(tài)下的彈力做負(fù)功，也可能一直是拉伸狀態(tài)下的彈力做正功，所以B錯(cuò)誤；振子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力由振子所受合力提供且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，故C、D正確。

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