《5.2.1三角函數(shù)的概念》第2課時(shí)  三角函數(shù)值的符號及公式一  教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第二節(jié)《三角函數(shù)的概念》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：課時(shí)內(nèi)容三角函數(shù)的概念同角三角函數(shù)的基本關(guān)系所在位置教材第177頁教材第182頁  新教材內(nèi)容分析教材首先通過銳角的三角函數(shù)的求法，引導(dǎo)學(xué)生思考任意角的三角函數(shù)的求法，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后用具體的例子，得到任意角的三角函數(shù)的定義。根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，不難找到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過具體例子，鞏固所學(xué)概念和公式，進(jìn)一步認(rèn)識同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，并讓學(xué)生在探究和解決問題的過程中，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)理解任意角三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過三角函數(shù)定義的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線任意角的三角函數(shù)的定義  二、學(xué)情分析通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù),任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對應(yīng)關(guān)系，那么任意角的三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號、終邊相同的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系都是學(xué)生比較感興趣的問題，學(xué)習(xí)起來比較容易，是下一步研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。三、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.掌握公式一并會應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 四、教學(xué)重點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號.       利用公式一進(jìn)行化簡求值。難點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)在個(gè)象限符號的規(guī)律；公式一的識記與應(yīng)用．五、教學(xué)過程（一）新知導(dǎo)入【探究1】根據(jù)三角函數(shù)的定義,各個(gè)三角函數(shù)值是用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的,當(dāng)角在不同象限時(shí),其與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的符號就不同,因此其各個(gè)三角函數(shù)值的正負(fù)就不同,你能推導(dǎo)出sin α,cos α,tan α在不同象限內(nèi)的符號嗎?【提示】根據(jù)各個(gè)象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號去探究。當(dāng)α在第一象限時(shí),sin α>0, cos α>0, tan α>0;當(dāng)α在第二象限時(shí),sin α>0, cos α<0, tan α<0;當(dāng)α在第三象限時(shí),sin α<0, cos α<0, tan α>0;當(dāng)α在第四象限時(shí),sin α<0, cos α>0, tan α<0. 【探究2】30°,390°,-330°三個(gè)角的終邊有什么關(guān)系?它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同嗎?這三個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值相等嗎?【提示】終邊相同,所以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同,三個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值相等. 【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義，引入本節(jié)新課，建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括推理的能力。（二）三角函數(shù)值的符號正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sin αRcos αRtan α 三角函數(shù)值在各象限的符號： 正弦:一二象限正,三四象限負(fù);余弦:一四象限正,二三象限負(fù);正切:一三象限正,二四象限負(fù). 簡記口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦。【思考1】若sin α>0,則α的終邊落在第一象限或第二象限內(nèi)？【提示】若sin α>0,則α的終邊不一定落在第一象限或第二象限內(nèi),有可能終邊落在y軸的非負(fù)半軸上. 【做一做1】sin 145°     0， cos(-210°)      0， tan 405°      0.【做一做2】判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.(　　)(2)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意義．(　　)  【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解判斷任意角的三角函數(shù)值的正負(fù)，提高學(xué)生解決問題的能力。（三）公式一 【探究1】終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等嗎?【提示】相等.由三角函數(shù)的定義可知,終邊相同的角的三角函數(shù)值相等.【探究2】若sin α=sin β,則一定有α=β嗎?【提示】不一定.由終邊相同的角的表示可知,當(dāng)α與β的終邊相同時(shí),它們的正弦值雖然相等,但這兩個(gè)角不一定相等.【探究3】　同一三角函數(shù)值相等時(shí)，角是否一定相等或相差周角的整數(shù)倍？【提示】不一定，如sin 30°＝sin 150°＝.公式一：(1)    語言表示:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．(2)    式子表示：sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.(1)公式一的實(shí)質(zhì)：是說終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．(2)公式一的作用利用誘導(dǎo)公式一可把負(fù)角的三角函數(shù)化為0～2π間角的三角函數(shù)，亦可把大于2π的角的三角函數(shù)化為0～2π間角的三角函數(shù)，即實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”.  【做一做1】判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若α＝β＋720°，則cosα＝cosβ.(　　)(2)若sinα＝sinβ，則α＝β.(　　)【做一做2】tan765°=     ；cos 405°=      ；sin =     .【答案】1； ；  （四）典型例題 1.三角函數(shù)值的符號判斷例1. 確定下列式子的符號：(1) tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.從而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.從而＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.從而tan 120°sin 269°＞0.【類題通法】判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號；(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤．提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號．【鞏固練習(xí)1】 (1)若α是第四象限角，則點(diǎn)P(cos α，tan α)在第________象限．(2)判斷下列各式的符號：①sin 183°；②tan ；③cos 5.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴點(diǎn)P(cos α，tan α)在第四象限．(2)　①∵180°<183°<270°，在第三象限，∴sin 183°<0；②∵<<2π，在第四象限，∴tan <0；③∵<5<2π，在第四象限∴cos 5>0. 2.公式一的應(yīng)用例2. 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sincos＋tancos.【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.(2)原式＝sincos＋tan·cos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.【類題通法】利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．【鞏固練習(xí)2】化簡下列各式：(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；(2)sin＋cosπ·tan 4π.【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sin＋cosπ·tan 4π＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝. （五）操作演練  素養(yǎng)提升1．若α是第二象限角，則點(diǎn)P(sin α，cos α)在(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限2.若sin θ cos θ>0，則θ在(　　)A．第一、二象限  B．第一、三象限C．第一、四象限  D．第二、四象限3.若點(diǎn)P坐標(biāo)為(cos 2 014°，sin 2 014°)，則點(diǎn)P在(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限4.sinπ的值為________．【答案】1.D  2.B  3.C  4.【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。 （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。六、布置作業(yè)完成教材：第182頁  練習(xí)     第1，2，3,4,5題          第185 頁   習(xí)題5.2 第5,8,10題  
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.2 三角函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

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