1.1  集合的概念及特征（精練）【題組一 集合的判斷】1．（2019·遼寧海州阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）下列說法中正確的是(　　)A．聯(lián)合國所有常任理事國組成一個(gè)集合B．衡水中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．{1，2，3}與{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素【答案】A【解析】年齡較小不確定,所以B錯(cuò); {1，2，3}與{2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5組成的集合有4個(gè)元素,因此選A.2．（2020·鄲城縣實(shí)驗(yàn)高中高一月考）下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（    ）A．充分接近π的實(shí)數(shù)的全體 B．善良的人C．世界著名的科學(xué)家 D．某單位所有身高在1.7m以上的人【答案】D【解析】選項(xiàng)，，所描述的對(duì)象沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成一個(gè)集合，選項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)唯一，故能組成集合．故選：D．3．（2019·河南高一期末）下列關(guān)于集合的命題正確的有（   ）①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合②集合{y|y=2x2+1}與集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一個(gè)集合;③1，2，|-|，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素④空集是任何集合的子集A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯(cuò)誤的，不滿足元素確定性，故錯(cuò)誤②集合為，需要求出函數(shù)的值域，而表示的集合為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以不是同一集合，故錯(cuò)誤③l，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有3個(gè)元素，而不是5個(gè)元素，故錯(cuò)誤④空集是任何集合的子集正確綜上只有1個(gè)命題正確，故選4．（2020·朝陽吉林省實(shí)驗(yàn)高二期末（文））已知非零實(shí)數(shù)，，，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)都為正數(shù)時(shí)，；當(dāng)都為負(fù)數(shù)時(shí)，.因此，若都為正數(shù)，則；若兩正一負(fù)，則；若一正兩負(fù)，則；若都為負(fù)數(shù)，則.所以代數(shù)式表示的所有的值的集合是.故選：D.【題組二 集合的表示方法】1．（2019·浙江南湖嘉興一中高一月考）方程組的解構(gòu)成的集合是（      ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵∴ ∴方程組的解構(gòu)成的集合是{（1，1）}故選：C．2．（2020·寧夏興慶銀川一中高二期末（文））已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：D.3．（2020·朝陽吉林省實(shí)驗(yàn)高二期末（文））集合用列舉法表示是（   ）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】由題意，又，∴集合為．4．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/span>（1）方程組的解集；（2）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合；（4）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.【解析】（1）解方程組得故解集可用列舉法表示為.（2）方程的實(shí)數(shù)根為1，因此可用列舉法表示為.（3）集合的代表元素是點(diǎn)，可用描述法表示為且.（4）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合中，代表元素為y，故可用描述法表示為. 【題組三 集合中元素的意義】1．（2019·徐匯.上海中學(xué)高一期中）下列命題中正確的有（    ）①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；②集合與集合是同一個(gè)集合；③集合是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】對(duì)于①，集合具有確定性，故①錯(cuò)；對(duì)于②，集合相等必須元素的類型相同，而前者為數(shù)，后者為點(diǎn)的集合，故②錯(cuò)；對(duì)于③，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限，故③錯(cuò)；故選A2．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列與集合表示同一個(gè)集合的有（    ）A．B．C．D． E.【答案】AC【解析】由得即,所以根據(jù)集合的表示方法知A,C與集合M表示的是同一個(gè)集合故選：AC3．（2019·北京四中高一專題練習(xí)）下列集合是否有區(qū)別？（1）；（2）；（3）（4）；（5）或【答案】有區(qū)別【解析】由題意可知：（1），表示大于或等于的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（2），表示大于或等于的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（3），表示曲線上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合；（4），表示點(diǎn)構(gòu)成的集合；（5）或，表示直線或直線上的點(diǎn)所構(gòu)成的集合.綜上所述，以上5個(gè)集合有區(qū)別. 【題組四 集合與元素的關(guān)系】1．（2020·浙江高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，則有（    ）.A．且 B．但 C．但 D．且【答案】B【解析】由，即集合A，則，.故選：B2（2020·浙江高二學(xué)業(yè)考試）已知集合，則下列關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧?/span>，所以，，，故選：D3．（2020·全國高一）設(shè)不等式的解集為，下列正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式：，可得：，所以，顯然，故選：B.4．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，集合，選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是（    ）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以；又，所以，故C正確.故選：C5．（2020·浙江高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，用列舉法表示為____________.【答案】【解析】由，得，.故答案為:. 【題組五 求參數(shù)】1．（2020·全國高一）已知集合，若，則______.【答案】2【解析】依題意或，解得或；由集合中元素的互異性可知當(dāng)時(shí)，集合的兩個(gè)元素相等，不合題意；所以.故答案為：2.2．（2020·全國高一）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成，______.【答案】1【解析】由題意可知，兩個(gè)集合相等，，由所以只能是，即，所以，由集合互異性可知，則，解得，符合題意，所以，故答案為：1.3．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)集合 時(shí)，_______,______,_______.【答案】             【解析】由于兩個(gè)集合相等，所以兩個(gè)集合的元素完全一樣，左邊集合有元素0，所以右邊集合也有元素0，且只能c=0, 其余元素要一樣，所以a=1,,填．4．（2018·黃陵中學(xué)高新部高一期末）已知集合，若，則________.【答案】0【解析】若兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.5．（2020·全國高一）已知集合，若A中至少有一個(gè)元素，則a的取值范圍是______；【答案】【解析】若中至少有一個(gè)元素，則方程至少有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)為，即，滿足條件．當(dāng)，判別式，解得且．綜上所述，的取值范圍為，即故答案為：6．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）若，則集合中所有元素之和為________.【答案】2【解析】因?yàn)?/span>，所以，即.此時(shí)即為， 所以元素之和為2.故答案為：27．（2020·全國高一）已知, ,求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以有或，顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，解得，由上可知不符合集合元素的互異性，舍去，故.8．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，則x2017+y2018=______．【答案】-1【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴，解得x=-1，y=0，
則x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案為：-1．9．（2020·全國高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一個(gè)元素，試求a的值，并求出這個(gè)元素；（2）若A是空集，求a的取值范圍；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）或【解析】（1）若A中只有一個(gè)元素，則方程ax2+2x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程，滿足條件，此時(shí)x=-，當(dāng)a≠0，此時(shí)△=4-4a=0，解得：a=1，此時(shí)x=-1，（2）若A是空集，則方程ax2+2x+1=0無解，此時(shí)△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素，由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是：a=0或a≥1.10．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)．求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素；(2)集合A不可能是單元素集．【答案】（1）見解析； （2）見解析.【解析】(1)若a∈A，則∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外兩個(gè)元素為－1，.(2)若A為單元素集，則a＝，即a2－a＋1＝0，方程無解．∴a≠，∴集合A不可能是單元素集． 

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1.1 集合的概念

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