《3.3冪函數》  教學設計  一．教材分析本小節(jié)內容選自《普通高中數學必修第一冊》人教A版（2019）第三章《函數的概念與性質》的第三節(jié)《冪函數》。以下是本章的課時安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)課時內容函數的概念及其表示函數的基本性質冪函數函數的應用（一）所在位置教材第60頁教材第76頁教材第89頁教材第93頁  新教材內容分析以初中已學的函數知識和二次函數為基礎，通過四個實例的歸納、概括，抽象出函數的“集合--對應說”，并用抽象符號表示函數；通過典型例題訓練學生選擇適當的方法表示函數，并通過例題引入分段函數并進行簡單應用.教材用代數運算和函數圖象研究函數的單調性、奇偶性、最大（?。┲?，體現了研究數學性質的一般思路；在研究方法上，加強了通過代數運算和圖象直觀解釋函數性質的引導和明示，為提升學生的抽象思維水平奠定基礎.在初中已學習的正比例、反比例、二次函數等基礎上，通過實例引導學生歸納共性、抽象出概念；借助冪函數這一類函數的研究，使學生理解研究函數的內容、基本思路和方法，引導學生從不同的角度理解函數的概念.利用函數的概念及其蘊含的數學思想方法解決簡單的實際問題，包括研究已知解析式或圖象的函數的性質，以及簡單的建模問題，使學生螺旋上升地認識已有函數，同時鞏固函數概念. 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實例，理解函數的概念，體現了數學抽象的核心素養(yǎng)；通過作出函數的圖象以及圖象的應用，提升直觀想象的核心素養(yǎng).通過實例，引導學生歸納概括出用嚴格的數學語言精確刻畫單調性的方法，為提升數學運算、直觀想象奠定了基礎. 通過冪函數概念的學習，強化了數學抽象；通過冪函數圖象與性質的學習，提升直觀想象與數學運算的核心素養(yǎng).通過實例，了解函數在實際生活中的應用，促進學生數學抽象的核心素養(yǎng)；根據實際問題構造函數模型解決問題，體現了數學建模的核心素養(yǎng).教學主線函數的概念  二，學情分析從學生的知識上看，學生在初中已經學過正比例函數、二次函數、反比例函數等簡單函數的圖象，在上一節(jié)又學習了函數的單調性與奇偶性，已經初步積累了研究函數的初步經驗，為學習冪函數做了知識的儲備；從學生現有的學習能力看，已經具備了 一定的分析問題和解決問題能力，邏輯思維能力也初步形成，但缺乏冷靜、深刻，不嚴謹；從學生的思維特點看，學生要理解研究一類函數的內容、基本思路（定義、表示---圖象與性質---應用），對學生是一個思維的突破。 三．學習目標1、理解冪函數的概念，達成數學抽象的核心素養(yǎng)；2、會畫冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象，結合這幾個冪函數的圖象，理解冪函數圖象的變化情況和性質，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3、通過觀察、總結冪函數的性質，培養(yǎng)學生邏輯推理的核心素養(yǎng)．4、在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用冪函數性質、圖像特點解決實際問題，強化數學運算的核心素養(yǎng)。四．教學重點 重點：常見冪函數的概念、圖象和性質；難點：冪函數的單調性及比較兩個冪值的大小． 五．教學過程 （一）新知導入1. 創(chuàng)設情境，生成問題數學史上很早就借用“冪”字，起先用于表示面積，后來擴充為表示平方或立方.1859年中國清末大數學家李善蘭(1811～1882)譯成《代微積拾級》一書，創(chuàng)設了不少數學專有名詞，如函數、極限、微分、積分等，并把“Power”這個詞譯為“冪”．這樣“冪”就轉譯為若干個相同數之積．大約到15世紀，人們才意識到要用一個縮寫的方式來表示若干個相同數的乘積．直到17世紀才開始出現在冪的符號中將指數與底數分開來表示的趨勢．1636年蘇格蘭人休姆(Hume)引進了一種較好的記法，他用羅馬數字表示指數，寫在底數的右上角，如“A4”寫作“AⅣ”，這種記法與現在相比較，除了數字采用羅馬數字外，其余完全一樣．一年以后，法國數學家笛卡兒將其進行了改進，把羅馬數字改用阿拉伯數字，成了今天的樣子。2.探索交流，解決問題問題1：如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數p=w元，這里p是w的函數.問題2：如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數.問題3：如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V=a3，這里V是a的函數.問題4：如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長a=S，這里a是S的函數.問題5：如果某人t s內騎車行進了1 km，那么他騎車的平均速度v=t－1 km/s，這里v是t的函數.【探究1】觀察五個解析式有什么共同特征？    【提示】五個解析式都是冪的形式，指數為常數，底數為變量。 【設計意圖】通過探究，引導學生直觀感受冪函數的結構，并嘗試用數學語言表達冪函數的定義，提高學生思考并解決問題的能力。（二）冪函數的概念1.冪函數的定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．例1.下列函數：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．其中冪函數的個數為(　　)A．1　　　　　　　　　 　B．2C．3   D．4[解析]　(1)由冪函數的概念可知，只有①⑥是冪函數．[答案]　B【類題通法】冪函數解析式的結構特征(1)指數為常數．(2)底數是自變量，自變量的系數為1.(3)冪xα的系數為1.(4)只有1項．【鞏固練習1】已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，則a＋b等于(　　)A．2  B．1  C.  D．0解析　因為f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.答案　A （三）冪函數的圖象及性質1．在同一平面直角坐標系內函數(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數的性質解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝圖象定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在(－∞，＋∞)上單調遞增在(－∞，0]上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增在(－∞，＋∞)上單調遞增在[0，＋∞)上單調遞增在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞減定點(1,1) 性質總結：(1)當α＞0時，①圖象都通過點(0,0)，(1,1)；②在第一象限內，函數值隨x的增大而增大；③在第一象限內，α＞1時，圖象是向下凸的；0＜α＜1時，圖象是向上凸的；④在第一象限內，過點(1,1)后，圖象向右上方無限伸展．(2)當α＜0時，①圖象都通過點(1,1)；②在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的；③在第一象限內，圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；④在第一象限內，過點(1,1)后，|α|越大，圖象下降的速度越快．【辯一辯】下列命題中，①冪函數的圖象不可能在第四象限；②當α＝0時，函數y＝xα的圖象是一條直線；③當α>0時，冪函數y＝xα是增函數；④當α＜0時，冪函數y＝xα在第一象限內函數值隨x值的增大而減小．[答案]  ①④【設計意圖】通過學習，使學生明確冪函數的圖象及性質，強化直觀想象的核心素養(yǎng)。（四）冪函數的應用1.求冪函數的解析式例2.函數f(x)＝(m2－m－1)是冪函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數，求f(x)的解析式．[解]　由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.當m＝2時，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，當m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)為減函數，不符合要求．綜上，f(x)＝x3.【類題通法】判斷冪函數的依據形如y＝xα的函數叫冪函數，它具有三個特點：(1)系數為1.    (2)指數為常數(也可以為0)．   (3)后面不加任何項．【鞏固練習2】已知冪函數f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過點，則k＋α＝(　　)A.     B．1      C.   D．2[解析]　∵冪函數f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過點，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.[答案]  A 2.冪函數圖象的應用例3.（1）已知冪函數f(x)＝xα的圖象過點P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數的定義域與單調區(qū)間．[解]　因為f(x)＝xα的圖象過點P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調減區(qū)間為(0，＋∞)，單調增區(qū)間為(－∞，0)． 【類題通法】(1)冪函數圖象的畫法①確定冪函數在第一象限內的圖象：先根據α的取值，確定冪函數y＝xα在第一象限內的圖象．②確定冪函數在其他象限內的圖象：根據冪函數的定義域及奇偶性確定冪函數f(x)在其他象限內的圖象．(2)解決與冪函數有關的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數的概念，對于冪函數y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應冪函數的單調性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．（2）冪函數y＝x2，y＝x－1，y＝，y＝在第一象限內的圖象依次是圖中的曲線(　　)A．C2，C1，C3，C4                 B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4                 D．C1，C4，C2，C3[解析]　由于在第一象限內直線x＝1的右側時，冪函數y＝xα的圖象從上到下相應的指數α由大變小，故冪函數y＝x2在第一象限內的圖象為C1，同理，y＝x－1在第一象限的圖象為C4，y＝x在第一象限內的圖象為C2，y＝x－在第一象限內的圖象為C3，故選D.[答案]　D【類題通法】冪函數在第一象限內指數變化規(guī)律：在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的指數由大變小；在直線x＝1的左側，圖象從下到上，相應的指數由大變小.【鞏固練習3】 （1）點(，2)與點分別在冪函數f(x)，g(x)的圖象上，問當x為何值時，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解] 設f(x)＝xα，g(x)＝xβ，則()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分別作出它們的圖象如圖所示，由圖象可知，當x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時，f(x)>g(x)；當x＝1時，f(x)＝g(x)；當x∈(0,1)時，f(x)<g(x)． （2）在同一坐標系內，函數y＝xa(a≠0)和y＝ax－的圖象可能是(　　)[解析]　選項A中，冪函數的指數a<0，則直線y＝ax－應為減函數，A錯誤；選項B中，冪函數的指數a>1，則直線y＝ax－應為增函數，B錯誤；選項D中，冪函數的指數a<0，則－>0，直線y＝ax－在y軸上的截距為正，D錯誤．[答案]　C3.比較大小例4. 比較下列各組數的大?。?/span>(1)0.5與0.5；(2)－1與－1；(3)與.解　(1)因為冪函數y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調遞增的，又>，所以0.5>0.5.(2)因為冪函數y＝x－1在(－∞，0)上是單調遞減的，又－<－，所以－1>－1.(3)因為在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以＝1，所以.【類題通法】冪值大小比較常用的方法要比較的兩個冪值，若指數相同，底數不同時，考慮應用冪函數的單調性；考慮借助中間量“1”“0”“－1”進行比較．【鞏固練習4】比較下列各組數的大?。?/span>(1)和；(2)，和.[解]　(1)函數y＝在(0，＋∞)上為減函數，又3<3.1，所以.(2)所以 【設計意圖】通過例題解答，讓學生直觀感受冪函數的圖象和性質的應用，從而提高學生的邏輯推理的核心素養(yǎng).（五）操作演練  素養(yǎng)提升1.下列函數中不是冪函數的是 (　　)A．y＝　　　　　 B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－12.已知冪函數的圖象過點(2,4)，則其解析式為   (　　)A．y＝x＋2       B．y＝x2C．y＝       D．y＝x33．已知冪函數y＝xn，y＝xm，y＝xp的圖象如圖，則(　　)A．m＞n＞p                  B．m＞p＞nC．n＞p＞m                   D．p＞n＞m4.函數f(x)＝(m2－m－1)是冪函數，且當x∈(0，＋∞)時是減函數，則實數m的值為(　　)A．4  B．3C．－1或2  D．2答案：1.C   2.B   3.C    4.D 【設計意圖】通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。（六）課堂小結，反思感悟 1.知識總結：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？                                                                                                                                                                                 【設計意圖】通過總結，讓學生進一步鞏固函數的奇偶性，樹立用函數的性質解決相關問題的意識。 六．布置作業(yè) 完成教材：第91頁  練習     第1，2,3題          第91 頁   習題3.3  第1,2,3題  
  

相關教案

人教A版 (2019)必修 第一冊第三章 函數概念與性質3.3 冪函數優(yōu)秀教案設計：

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊第三章 函數概念與性質3.3 冪函數優(yōu)秀教案設計，共6頁。教案主要包含了目標和目標解析，教學問題診斷分析，教學支持條件，教學過程設計等內容，歡迎下載使用。

數學必修 第一冊3.3 冪函數表格教案設計：

這是一份數學必修 第一冊3.3 冪函數表格教案設計，共5頁。教案主要包含了復習引入，新課探究，小結，作業(yè)等內容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計及反思：

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計及反思，共9頁。教案主要包含了教材分析，學情分析，學習目標，教學重點，教學過程，布置作業(yè)等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現資料有內容錯誤問題請聯系客服，如若屬實，我們會補償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內免費重復下載
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.3 冪函數

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

切換課文
  • 同課精品
  • 所屬專輯49份
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務

  • 官方微信

    官方
    微信

    關注“教習網”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費福利

    免費福利
返回
頂部