本小節(jié)內容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第一章《集合與常用邏輯用語》的第四節(jié)《充分條件與必要條件》，以下是“常用邏輯用語”單元的課時安排：


二，學情分析
充要條件是中學數(shù)學中最重要的數(shù)學概念之一，它主要討論了命題的條件與結論之間的邏輯關系，是學生解決數(shù)學問題時進行等價轉化的邏輯基礎，是今后學習數(shù)學推理的基礎。學生在上一節(jié)已經學習了充分條件、必要條件的意義，學會了根據(jù)命題真假的判斷方法，嘗試由條件去推結論，從命題的條件與結論的互推關系，分析充要條件的含義，讓學生逐漸習慣用數(shù)學思維研究數(shù)學結論。
三．學習目標
1．通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系,培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。
2．會對某些命題的充要條件進行證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。
四．教學重點
重點：理解充要條件的含義；
難點：會證明充要條件的關系
五．教學過程
（一）新知導入
1. 創(chuàng)設情境，生成問題
古文中的邏輯—— 我國戰(zhàn)國時期墨子所著《墨經》對充分條件、必要條件的描述：
充分條件：“有之則必然，無之則未必不然”
必要條件：“無之則必不然，有之則未必然 ”
物理中的邏輯——
【思考】 在①、②兩個電路中， A、C的開閉與燈泡B亮起來，會形成什么邏輯條件呢？
【思考】 你能舉生活中存在“充分條件或必要條件”的邏輯語句或事例嗎？
探索交流，解決問題
【問題1】 已知p:整數(shù)a是6的倍數(shù),q:整數(shù)a是2和3的倍數(shù).
請判斷:p是q的充分條件嗎?p是q的必要條件嗎?
【提示】 p?q,故p是q的充分條件,又q?p,故p是q的必要條件.
【思考1】通過判斷,你發(fā)現(xiàn)了什么?這種關系是否對任意一個“若p,則q”的命題只要具備上述命題的條件都成立?你能用數(shù)學語言概括出來嗎?
【提示】 可以發(fā)現(xiàn)p既是q的充分條件,又是q的必要條件,
且這種關系對“若p,則q”的命題只要具備p?q,q?p都成立,即p?q.
【設計意圖】 通過問題探究，增強學生學習數(shù)學的興趣和激發(fā)對民族文化的熱愛的同時，
進一步加深對新知的全面認識.
（二）充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q．
此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件(sufficient and necessary cnditin)．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．
概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．
【思考2】
（1）如果p是q的充要條件，那么p與q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？
（2）“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
p是q的條件判斷還有什么情況？

【提示】 （1）正確。
（2）p是q的充要條件說明p是條件，q是結論；p的充要條件是q說明q是條件，p是結論。
（3）若p?q，但qeq \(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．
若q?p，但peq \(?,/)q，則稱p是q的必要不充分條件．
若peq \(?,/)q，且qeq \(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件。

【辯一辯】 判斷正誤
(1)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．( )
(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題．( )
(3)q不是p的必要條件時，“peq \(?,/)q”成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
【做一做】（1）已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________條件．
（2）“x1；
(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析] (1)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．
(2)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．
(3)∵p不能推出q，q?p，∴p是q的必要不充分條件．
(4)∵ab＝0時，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而當ab>0時，有|ab|＝ab，即q?p.∴p是q的必要不充分條件．
【設計意圖】
通過例題及練習的學習，使學生理解條件與結論的推出關系，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（四）充要條件的探求與證明
例2.已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．

[思路導引] 從充分性、必要性兩方面證明．
【證明】①充分性：因為a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以a3+b3+ab?a2?b2=a3+1?a3+a1?a?a2?1?a2
=a3+1?3a+3a2?a3+a?a2?a2?1+2a?a2=0,即a3+b3+ab?a2?b2=0；
②必要性：因為a3+b3+ab?a2?b2=0，所以a+ba2?ab+b2?a2?ab+b2=0,
所以a2?ab+b2a+b?1=0，因為ab≠0，所以a，b均不為0，所以a2?ab+b2≠0，
所以a+b?1=0，即a+b=1.
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．
【類題通法】充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明．
在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別：
①p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性；
②p的充要條件是q，則由p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性．
【鞏固練習2】已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq \f(1,x)0.
【證明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)

相關教案

【小單元教案】高中數(shù)學人教A版(2019)必修第一冊--1.4.2 充要條件（課時教學設計）：

這是一份【小單元教案】高中數(shù)學人教A版(2019)必修第一冊--1.4.2 充要條件（課時教學設計），共3頁。教案主要包含了缺少 目標檢測設計等內容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計及反思：

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計及反思，共9頁。教案主要包含了教材分析，學情分析，學習目標，教學重點，教學過程，布置作業(yè)等內容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計：

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊5.1 任意角和弧度制教學設計，共14頁。教案主要包含了教材分析，學情分析，學習目標，教學重點，教學過程，布置作業(yè)等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關教案 更多

人教A版 (2019)必修 第一冊4.3 對數(shù)教案設計

人教A版 (2019)必修 第一冊4.3 對數(shù)教案設計
高中4.3 對數(shù)教案

高中4.3 對數(shù)教案
數(shù)學必修 第一冊3.4 函數(shù)的應用（一）教案及反思

數(shù)學必修 第一冊3.4 函數(shù)的應用（一）教案及反思
人教A版 (2019)必修 第一冊3.3 冪函數(shù)教案及反思

人教A版 (2019)必修 第一冊3.3 冪函數(shù)教案及反思
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

1.4 充分條件與必要條件

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部