在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用．了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．
知識點一　函數(shù)的概念1．函數(shù)的概念一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，按照對應關系f，在集合B(集合B一般默認為實數(shù)集R，因此常常略去不寫．)中都有唯一確定的實數(shù)y＝f(x)與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域和值域函數(shù)y＝f(x)中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域．
狀元隨筆　對函數(shù)概念的3點說明(1)當A , B為非空實數(shù)集時，符號“ f ：A→B ”表示A到B的一個函數(shù)．(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性．(3)符號“f ”表示對應關系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣．
知識點二　同一函數(shù)一般地，如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數(shù)對應的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)．
基礎自測1.下列從集合A到集合B的對應關系f是函數(shù)的是(　　)A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝{平行四邊形}，B＝R，f：求A中平行四邊形的面積
解析：對B，集合A中的元素1對應集合B中的元素±1，不符合函數(shù)的定義；對C，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，在集合B中沒有元素與之對應，不符合函數(shù)的定義；對D，A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義．綜上，選A.
解析：A中兩函數(shù)定義域不同；B中兩函數(shù)值域不同；D中兩函數(shù)對應法則不同．
題型1　函數(shù)的定義[經(jīng)典例題]例1　根據(jù)函數(shù)的定義判斷下列對應關系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，對應關系如圖所示；
(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n為奇數(shù)時，f(n)＝－1，n為偶數(shù)時，f(n)＝1.
1.從本題(1)可以看出函數(shù)f(x)的定義域是非空數(shù)集A，但值域不一定是非空數(shù)集B，也可以是集合B的子集．2．判斷從集合A到集合B的對應是否為函數(shù)，一定要以函數(shù)的概念為準則，另外也要看A中的元素是否有意義，同時，一定要注意對特殊值的分析．
【解析】　對于集合A中的任意一個值，在集合B中都有唯一的值與之對應，因此(1)(4)中對應關系f是從集合A到集合B的一個函數(shù)．(2)集合A中的元素3在集合B中沒有對應元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個元素(5和6)與之對應，故所給對應關系不是集合A到集合B的函數(shù)．(3)A中的元素0在B中沒有對應元素，故所給對應關系不是集合A到集合B的函數(shù)．
方法歸納(1)判斷一個集合A到集合B的對應關系是不是函數(shù)關系的方法：①A，B必須都是非空數(shù)集；②A中任意一個數(shù)在B中必須有并且是唯一的實數(shù)和它對應．[注意]　A中元素無剩余，B中元素允許有剩余．(2)函數(shù)的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數(shù)中兩變量x，y的對應關系是“一對一”或者是“多對一”，而不能是“一對多”．
跟蹤訓練1　(1)設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的有(　　)
(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范圍．④可取一個x值，y有2個對應，不符合題意．
(2)關鍵是否符合函數(shù)定義．
答案：(1)B　(2)①是函數(shù)②不是函數(shù)
教材反思　求函數(shù)的定義域(1)要明確使各函數(shù)表達式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準則一般有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負；③y＝x0要求x≠0.(2)當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．
【解析】　函數(shù)的三要素相同的函數(shù)為相同函數(shù)，對于選項A，f(x)＝|x－1|與g(x)對應關系不同，故排除選項A，選項B、C中兩函數(shù)的定義域不同，排除選項B、C，故選D.
方法歸納判斷同一函數(shù)的三個步驟和兩個注意點(1)判斷同一函數(shù)的三個步驟
(2)兩個注意點：①在化簡解析式時，必須是等價變形；②與用哪個字母表示無關．
判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，要看三要素是否對應相同．函數(shù)的值域可由定義域及對應關系來確定，因而只要判斷定義域和對應關系是否對應相同即可．
狀元隨筆　(1)用不等式的性質(zhì)先由x∈(－1，3]求－4x的取值范圍，再求3－4x的取值范圍即為所求．(2)先分離常數(shù)將函數(shù)解析式變形，再求值域．(3)將自變量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根據(jù)任意實數(shù)的平方都是非負數(shù)求值域．

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3.1.1 函數(shù)及其表示方法

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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