1.理解函數的概念,了解構成函數的要素.(數學抽象)2.會求一些簡單函數的定義域和值域.(數學運算)
【激趣誘思】一個人的體重(千克)與身高(厘米)有一定的關系,民間有一個粗略的公式,根據身高算出正常的體重:男性標準體重(千克)=身高(厘米)-100,女性標準體重(千克)=身高(厘米)-102.下表給出的是我國成年女子標準體重的參照數據.
請算算你體重正常嗎?如果你算出來的數據與標準體重差距較大,就說明你體重不夠標準.
知識點一、函數的概念1.函數的定義
名師點析 1.函數有三要素:定義域、值域、對應法則.2.因為函數的值域被函數的定義域和對應法則完全確定,所以確定一個函數就只需兩個要素:定義域和對應法則.3.要檢驗給定兩個變量之間是否具有函數關系,只要檢驗:(1)定義域和對應法則是否給出;(2)根據給出的對應法則,自變量x在其定義域中的每一個值,是否都能確定唯一的函數值y.
微練習下列式子能否確定y是x的函數?(1)x2+y2=4;
知識點二、同一函數一般地,如果兩個函數表達式表示的函數定義域相同,對應法則也相同(即對自變量的每一個值,兩個函數表達式得到的函數值都相等),則稱這兩個函數表達式表示的就是同一函數.要點筆記 如果兩個函數的定義域相同,并且對應法則完全一致,那么這兩個函數就相同.例如f(x)=x+1,x∈R與函數f(t)=t+1,t∈R表示同一函數.
微拓展同一函數的判定兩個函數當且僅當定義域與對應法則分別相同時,才是同一函數,這說明:(1)定義域不同,兩個函數也就不同.(2)對應法則不同,兩個函數也是不相同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數,也不一定是同一函數,因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則.
例1求下列函數的定義域:
分析本題主要考查函數的定義域.只給出函數的關系式,而沒有指明它的定義域,那么函數的定義域就是使函數關系式有意義的實數的全體構成的集合.
反思感悟 函數定義域的求法1.求函數的定義域之前,不能對函數的解析式進行變形,否則可能會引起定義域的變化.2.求函數定義域的基本原則有:(1)如果f(x)是整式,那么函數的定義域是實數集R.(2)如果f(x)是分式,那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.(4)如果f(x)是由幾個數學式子構成的,那么函數的定義域是使各式子都有意義的實數的集合(即求各部分定義域的交集).(5)對于由實際問題的背景確定的函數,其定義域還要受實際問題的制約.
延伸探究在本例(4)條件不變的情況下,求函數y=f(x+1)的定義域.解 由1≤x+1≤3,得0≤x≤2,所以函數的定義域為[0,2].
例2下列各組函數是否表示同一函數?為什么?(4)f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1;(5)f(x)=1與g(x)=x0(x≠0).
分析判斷每一對函數的定義域是否相同,對應法則是否相同即可.
解 對于(1),在公共定義域R上,f(x)=|x|和φ(t)= =|t|的對應法則完全相同,只是表示形式不同;對于(2),前者x∈R,后者x≥0,兩者定義域不同;對于(3),前者定義域為[0,+∞),后者定義域為(-∞,-1]∪[0,+∞);對于(4),盡管兩個函數的自變量一個用x表示,另一個用t表示,但它們的定義域相同,對應法則相同,對定義域內同一個自變量,根據表達式,都能得到同一函數值,因此二者為同一函數;對于(5),f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).故以上各對函數中,(1)(4)表示同一函數,(2)(3)(5)表示的不是同一函數.
要點筆記 同一函數的判斷方法定義域和對應法則,是確定一個函數的兩個基本條件,當且僅當兩個函數的定義域和對應法則分別相同時,這兩個函數才是同一函數.
變式訓練 下列函數表示同一函數的是(　　)A.y=2(x+1)與y=2xB.y=x(x∈Z)與y=x
分析求函數的值域沒有統(tǒng)一的方法.如果函數的定義域是有限個值,那么就可將函數值都求出得到值域;如果函數的定義域是無數個值,那么可根據函數表達式的特點采取相應的方法來求其值域,如,觀察法、配方法、換元法等.
反思感悟 求函數值域的常用方法1.觀察法:通過對函數關系式的簡單變形,利用熟知的一些函數的值域,觀察求得函數的值域.2.配方法:對二次函數型的解析式可先進行配方,在充分注意到自變量的取值范圍的情況下,利用求二次函數的值域的方法求函數的值域.3.換元法:通過對函數的關系式進行適當換元,可將復雜的函數化歸為簡單的函數,從而求出函數的值域.求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式,要通過自己在解題過程中逐漸探索和積累.
抽象函數定義域的求法典例 (1)函數f(x)的定義域為[2,3],求函數f(x-1)的定義域.(2)函數f(x-1)的定義域為[2,3],求函數f(x)的定義域.解 (1)函數f(x)的定義域為[2,3],則函數f(x-1)中,2≤x-1≤3,解得3≤x≤4,即函數f(x-1)的定義域為[3,4].(2)函數f(x-1)的定義域為[2,3],即2≤x≤3,則1≤x-1≤2,所以函數f(x)的定義域為[1,2].
方法點睛 求抽象函數定義域的原則及方法(1)原則:同在對應法則f下的范圍相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三個函數中的t,φ(x),h(x)的范圍相同.(2)方法:①已知f(x)的定義域為A,求f(g(x))的定義域,其實質是已知g(x)∈A,求x的范圍;②已知f(g(x))的定義域為A,求f(x)的定義域,其實質是已知x∈A,求g(x)的范圍,此范圍就是f(x)的定義域.
1.函數f(x)= +(x-2)0的定義域為(　　)A.[1,+∞)B.[1,2)∪(2,+∞)C.(1,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)答案 D
3.(2020江西蓮塘高一月考)已知函數f(x)的定義域為[-1,1],則函數f(2x-1)的定義域為　　　　.?答案 [0,1]解析 ∵f(x)的定義域為[-1,1],∴-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.∴函數f(2x-1)的定義域為[0,1].
5.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f(f(-1))的值.解 f(1)=13+2×1+3=6.f(t)=t3+2t+3.f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a.f(f(-1))=f((-1)3+2×(-1)+3)=f(0)=3.

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3.1.1 函數及其表示方法

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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