【情境探究】1.籃球比賽是青少年朋友們最喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一,在緊張激烈的比賽中,跑步上籃,一個(gè)漂亮的投籃動(dòng)作,往往贏得滿場喝彩.但是,要使投籃連投連中卻是很不容易的,你知道為什么嗎?2.事件A∪B中的基本事件與事件A、B中的基本事件有什么關(guān)系?
繼續(xù)探究:一袋中有2個(gè)紅球,2個(gè)白球,從中摸出兩個(gè)球,記“摸出的兩球是紅球”為事件A,“摸出的兩球是白球”為事件B,“摸出的兩球是一紅一白”為事件C,“摸出的兩球至少有一個(gè)紅球”為事件D,“摸出的兩球至少有一個(gè)白球”為事件E.3.若事件A發(fā)生,事件D發(fā)生嗎?它們是什么關(guān)系?提示:事件A發(fā)生,則事件D一定發(fā)生,它們是包含關(guān)系.
4.若事件C發(fā)生,則事件D會(huì)發(fā)生嗎?事件A,C,D之間有何關(guān)系?提示:事件C發(fā)生,則事件D一定會(huì)發(fā)生;事件D包含事件A和事件C兩個(gè)事件.5.若事件C發(fā)生,那么事件E會(huì)發(fā)生嗎?事件C,D,E又有何關(guān)系?提示:若事件C發(fā)生,那么事件E一定會(huì)發(fā)生;事件D,事件E均包含事件C.6.事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生嗎?事件A與事件E能同時(shí)發(fā)生嗎?事件A與事件E的并事件是什么事件?交事件又是什么事件?提示:事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生;事件A與事件E也不能同時(shí)發(fā)生;A∪E是必然事件;A∩E是不可能事件.
【知識(shí)生成】1.事件的關(guān)系
探究點(diǎn)一　事件的運(yùn)算【典例1】擲一枚骰子,下列事件:A={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)},B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)},C={點(diǎn)數(shù)小于3},D={點(diǎn)數(shù)大于2},E={點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)}.求:(1)A∩B,BC;(2)A∪B,B∪C;(3)記H是事件D的對立事件,H,AC,H∪E.
【思維導(dǎo)引】類比集合間的關(guān)系、運(yùn)算,利用事件的關(guān)系的定義進(jìn)行運(yùn)算.【解析】(1)A∩B=?,BC={出現(xiàn)2點(diǎn)}.(2)A∪B={出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點(diǎn)},B∪C={出現(xiàn)1,2,4或6點(diǎn)}.(3)H={點(diǎn)數(shù)小于或等于2}={出現(xiàn)1或2點(diǎn)};AC={出現(xiàn)1點(diǎn)};H∪E={出現(xiàn)1,2,3或6點(diǎn)}.
【類題通法】事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義,列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖,借助集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,把這些結(jié)果在圖中列出,進(jìn)行運(yùn)算.提醒:在一些比較簡單的題目中,可以根據(jù)常識(shí)來判斷事件之間的關(guān)系,但對于比較復(fù)雜的題目,就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.
【定向訓(xùn)練】盒子里有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取三個(gè)球,設(shè)事件A={3個(gè)球中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球},事件B={3個(gè)球中有2個(gè)紅球,1個(gè)白球},事件C={3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球},事件D={3個(gè)球中既有紅球又有白球}.問:(1)事件D與A,B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?
【解析】(1)對于事件D,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球,或2個(gè)紅球1個(gè)白球,故D=A∪B.(2)對于事件C,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球,2個(gè)紅球1個(gè)白球,3個(gè)紅球,故C∩A=A.
探究點(diǎn)二　事件關(guān)系的判斷【典例2】(1)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件:①“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;②“至少有1名男生”與“全是男生”;③“至少有1名男生”與“全是女生”;④“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
(2)對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,每次射擊可能擊中或未擊中,設(shè)事件A=“第一次擊中飛機(jī)”,B=“第二次擊中飛機(jī)”,C=“兩次都擊中飛機(jī)”,D=“兩次都未擊中飛機(jī)”,E=“恰有一次擊中飛機(jī)”,F=“至少有一次擊中飛機(jī)”.①用集合的形式分別寫出樣本空間以及上述各事件;②事件C與事件E的并事件與事件F有什么關(guān)系?事件A與事件B的交事件與事件C有什么關(guān)系?
【思維導(dǎo)引】(1)緊扣互斥事件與對立事件的定義判斷.(2)注意到試驗(yàn)由兩次射擊組成,所以可以用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點(diǎn).【解析】(1)從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果:2名男生,2名女生,1男1女.①“恰有1名男生”指1男1女,與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生,它們是互斥事件;但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí),該兩事件都不發(fā)生,所以它們不是對立事件.
②“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果,與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事件.③“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以它們互斥,由于它們必有一個(gè)發(fā)生,所以它們是對立事件.④“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果,當(dāng)選出的是1男1女時(shí),“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事件.
(2)①用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結(jié)果,以1表示擊中飛機(jī),0表示未擊中飛機(jī),則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.事件A={(1,0),(1,1)}.事件B={(0,1),(1,1)}.事件C={(1,1)}.事件D={(0,0)}.事件E={(0,1),(1,0)}.事件F={(0,1),(1,0),(1,1)}.②因?yàn)镃∪E=F,所以事件F是事件C與事件E的并事件.因?yàn)锳∩B=C,所以事件C是事件A與B的交事件.
【類題通法】互斥事件和對立事件的判定方法(1)利用基本概念,要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件,只需要找出各個(gè)事件所包含的所有結(jié)果,看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生,在互斥的前提下,看兩個(gè)事件中是否必有一個(gè)發(fā)生,可判斷是否為對立事件.注意辨析“至少”“至多”等關(guān)鍵詞語的含義,明晰它們對事件結(jié)果的影響.
(2)利用集合觀點(diǎn),設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別為A,B.①若事件A與B互斥,則集合A∩B=?.②若事件A與B對立,則集合A∩B=?且A∪B=Ω.提醒:對立事件是針對兩個(gè)事件來說的,而互斥事件則可以是多個(gè)事件間的關(guān)系.
【定向訓(xùn)練】1.(已知兩事件判斷是互斥事件或?qū)α⑹录?把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(　　)A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上答案都不對
【解析】選C.“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生,所以是互斥事件,但分得紅牌的還可能是丙或丁,所以不是對立事件.
2.由甲、乙兩個(gè)射手各進(jìn)行一次射擊,每個(gè)射手可能中靶或脫靶.試設(shè)事件A=“甲射手中靶”,B=“乙射手中靶”.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)用集合的形式表示事件A、B以及它們的對立事件.
【解析】(1)用x1、x2分別表示甲、乙兩個(gè)射手的射擊情況,則可以用(x1,x2)表示試驗(yàn)的樣本空間.以1表示中靶,0表示脫靶,則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根據(jù)題意,可得A={(1,0),(1,1)}.B={(0,1),(1,1)}. ={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.
互斥事件與對立事件的判斷方法：不能同時(shí)發(fā)生的是互斥事件，對立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生。
數(shù)學(xué)建模：利用事件的關(guān)系判斷問題
無論是包含、相等，還是互斥、對立其發(fā)生的條件都是一樣的
對立事件是針對兩個(gè)事件來說的，而互斥事件可以是對多個(gè)事件
1.下列各組事件中,不是互斥事件的是(　　)A.一個(gè)班級進(jìn)行一次數(shù)學(xué)考試,成績高于80分與低于60分B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績,平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于70%與合格率低于70%【解析】選B.對于B,設(shè)事件A1為平均分不低于90分,事件A2為平均分不高于90分,則A1∩A2為平均分等于90分,A1,A2可能同時(shí)發(fā)生,故它們不是互斥事件.
2.把紅、黃、藍(lán)3張卡片隨機(jī)分給甲、乙、丙三人,每人1張,事件A:“甲得紅卡”與事件B:“乙得紅卡”是(　　)A.不可能事件B.必然事件C.對立事件D.互斥但不對立事件【解析】選D.把紅、黃、藍(lán)3張卡片隨機(jī)分給甲、乙、丙三人,每人1張,事件A:“甲得紅卡”與事件B:“乙得紅卡”不可能同時(shí)發(fā)生,但事件A:“甲得紅卡”不發(fā)生時(shí),事件B:“乙得紅卡”有可能發(fā)生,有可能不發(fā)生;所以事件A:“甲得紅卡”與事件B:“乙得紅卡”是互斥但不對立事件.
3.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.?【解析】連續(xù)射擊兩次有以下四種情況:第一次中第二次不中,第一次不中第二次中,兩次都中和兩次都不中.故“至少有一次中靶”的互斥事件為“兩次都不中靶”.答案:“兩次都不中靶”
4.國際上通用的茶葉分類法,是按發(fā)酵程度把茶葉分為不發(fā)酵茶(如:龍井、碧螺春)和發(fā)酵茶(如:茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶、普洱茶)兩大類,現(xiàn)有6個(gè)完全相同的紙盒,里面分別裝有龍井、碧螺春、茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶和普洱茶,從中任取一盒,根據(jù)以上材料,判斷下列兩個(gè)事件是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.(1)“取出龍井”和“取出鐵觀音”;(2)“取出不發(fā)酵茶”和“取出發(fā)酵茶”;(3)“取出發(fā)酵茶”和“取出普洱茶”;(4)“取出不發(fā)酵茶”和“取出烏龍茶”.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

10.2 事件的相互獨(dú)立性

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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