【情境探究】1.拋擲兩枚硬幣,有哪幾種可能結(jié)果?每種結(jié)果出現(xiàn)的機會是否相等?提示:拋擲兩枚硬幣有4種可能的結(jié)果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它們都是隨機事件,每個事件出現(xiàn)的機會是均等的,都為 .2.上述試驗中,任何兩種結(jié)果是什么關(guān)系?提示:由于任何兩種結(jié)果都不可能同時發(fā)生,所以它們的關(guān)系是互斥關(guān)系.
3.某同學(xué)從紅、黃、藍(lán)、白4個小球中,任取3個,所有結(jié)果有哪些?這個試驗有哪些特點?提示:該試驗的基本事件有4個:紅黃藍(lán)、紅黃白、紅藍(lán)白、黃藍(lán)白,而且每個基本事件發(fā)生的概率都是 ,是等可能的.
【知識生成】1.隨機事件概率的定義對隨機事件發(fā)生___________的度量(數(shù)值)稱為事件的概率.2.古典概型的特點(1)有限性:樣本空間的樣本點只有_____個.(2)等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性_____.
3.古典概型的概率公式設(shè)試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率P(A)= .其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).
探究點一　樣本點的計數(shù)問題【典例1】(1)列出從字母a,b,c中任意取出兩個字母的試驗中的樣本點,并指出樣本點的個數(shù)(不考慮先后順序).(2)從含有兩件正品a1,a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中每次任取一件,每次取出后不放回,連續(xù)取兩次.①寫出這個試驗的樣本空間;②設(shè)A為“取出兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”,用集合表示事件A;③把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,其余不變,請你回答上述兩個問題.
【思維導(dǎo)引】根據(jù)事件的定義,按照一定的規(guī)則找到試驗中所有可能發(fā)生的結(jié)果,列舉出來即可.
【解析】(1)從三個字母中任取兩個字母的所有等可能結(jié)果即樣本點,分別是(a,b),(a,c),(b,c)共3個.(2)①這個試驗的樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}.②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.③這個試驗的所有可能結(jié)果Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
【類題通法】樣本點的兩個探求方法　(1)列舉法:把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗問題.(2)樹狀圖法:樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法,樹狀圖法便于分析樣本點間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對于較復(fù)雜的問題,可以作為一種分析問題的主要手段,樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的題目.
【定向訓(xùn)練】　有兩個正四面體的玩具,其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,下面做投擲這兩個正四面體玩具的試驗:用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示第1個正四面體玩具朝下的點數(shù),y表示第2個正四面體玩具朝下的點數(shù).試寫出下列事件所包含的全部樣本點:(1)事件“朝下點數(shù)之和大于3”;(2)事件“朝下點數(shù)相等”;(3)事件“朝下點數(shù)之差的絕對值小于2”.
【解析】這個試驗的樣本點為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1)事件“朝下點數(shù)之和大于3”包含以下13個樣本點:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下點數(shù)相等”包含以下4個樣本點:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(3)事件“朝下點數(shù)之差的絕對值小于2”包含以下10個樣本點:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).
探究點二　古典概型的判斷【典例2】(1)下列概率模型中,是古典概型的為______.?①從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù),求取到1的概率;②從1,2,3,…,10中任取一個整數(shù),求取到1的概率;③向一個正方形ABCD內(nèi)任意投一點P,求點P剛好與點A重合的概率.(2)袋中有形狀、大小相同的4個白球,2個黑球,3個紅球,每球都有一個區(qū)別于其他球的編號,從中摸一個球.
①如果把每個球的編號看作一個樣本點,建立概率模型,問該模型是否為古典概型?②若以球的顏色為樣本點,以這些樣本點建立概率模型,該模型是否為古典概型?
【思維導(dǎo)引】(1)從有限性和等可能性兩個角度考慮.(2)根據(jù)古典概型的定義進(jìn)行判斷.
【解析】(1)①樣本點有無限個.②樣本點有10個,等可能發(fā)生.③樣本點有無限個.答案:②
(2)①由于共有9個球,且每個球的編號各不相同,又由于所有球的大小、形狀一樣,從中摸一個球,是隨機選取,因此每個球被摸到的可能性相等.故屬于古典概型.②由于9個球共三種顏色,因此共有三個樣本點,又由于所有球的大小、形狀一樣,因此每個球被摸到的可能性相等,而白球4個,故一次摸球摸到白球的可能性為 ,同理摸到黑球的可能性為 ,摸到紅球的可能性為 = .顯然三個樣本點出現(xiàn)的可能性不等,故不是古典概型.
【類題通法】判斷古典概型的方法(1)一個試驗是否為古典概型,在于是否具有兩個特征:有限性和等可能性.(2)并不是所有的試驗都是古典概型,下列三類試驗都不是古典概型:①樣本點個數(shù)有限,但非等可能.②樣本點個數(shù)無限,但等可能.③樣本點個數(shù)無限,也不等可能.
【補償訓(xùn)練】　下列試驗中,是古典概型的有(　　)A.某人射擊中靶或不中靶B.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點中任取一個C.四位同學(xué)用抽簽法選一人參加會議D.運動員投籃,觀察是否投中
【解析】選C.對于A,某人射擊中靶與不中靶的可能性不相等,不是古典概型,A錯誤;對于B,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點有無數(shù)個,不是古典概型,B錯誤;對于C,符合古典概型的定義,是古典概型,C正確;對于D,運動員投籃,投中與沒有投中的可能性不等,不是古典概型,D錯誤.
探究點三　古典概型的概率計算【典例3】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a,b的2個黑球和編號為c,d,e的3個紅球,從中任意摸出2個球.寫出試驗的樣本空間,判斷是否為古典概型并求至少摸到1個黑球的概率.【思維導(dǎo)引】寫試驗的樣本空間時可用樹狀圖,判斷古典概型時要緊扣其定義與特征,寫出至少摸到1個黑球的樣本點,用古典概型概率公式可得概率.
【解析】用樹狀圖表示所有的結(jié)果為: 所以所有樣本點是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10個,且在一次試驗中,每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等,是古典概型.記“至少摸出1個黑球”為事件A,則事件A包含的樣本點為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7個樣本點,所以P(A)= =0.7,即至少摸出1個黑球的概率為0.7.
　【延伸探究】　　 若從甲、乙、丙、丁中任取2人參加某項活動,在列舉樣本點時,有人列舉為(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共6個,還有人列舉為(甲,乙)、(乙,甲)、(甲,丙)、(丙,甲)、(甲,丁)、(丁,甲)、(乙,丙)、(丙,乙)、(乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁)、(丁,丙)共12個.既然樣本點總數(shù)都不相同,他們求某一事件的概率也不相同.這種說法對嗎?
【解析】不對,如要求A事件:甲入選的概率時.第一種情況下A包含3個樣本點,P(A)= ;第二種情況下,A包含6個樣本點,P(A)= ,概率相同.求概率時,其大小與模型的選擇無關(guān),但對于此問題,我們傾向于選擇第一種情況.
【類題通法】1.古典概型概率求法步驟(1)確定樣本空間包含的樣本點總數(shù)n.(2)確定所求事件包含樣本點數(shù)k.(3)P(A)= .2.使用古典概型概率公式的注意點(1)首先確定是否為古典概型.(2)事件A是什么,包含的樣本點有哪些.
【定向訓(xùn)練】1.山東全省根據(jù)疫情情況將高三開學(xué)時間統(tǒng)一定為4月15號,某?；I備了大量防疫物資,若9個相同的口罩分發(fā)給甲、乙、丙三位同學(xué),每位同學(xué)至少2個,則甲獲得的口罩不少于乙獲得的口罩的概率為________.?
【解析】把9個相同的口罩分發(fā)給甲、乙、丙三位同學(xué),每位同學(xué)至少2個,可以有的分法是:甲2個,乙2個,丙5個;甲2個,乙3個,丙4個;甲2個,乙4個,丙3個;甲2個,乙5個,丙2個;甲3個,乙2個,丙4個;
甲3個,乙3個,丙3個;甲3個,乙4個,丙2個;甲4個,乙2個,丙3個;甲4個,乙3個,丙2個;甲5個,乙2個,丙2個.一共有10種分法,其中甲獲得的口罩不少于乙獲得的口罩的基本事件個數(shù)為6,所以P= 答案:
2.某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采取分層隨機抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目.(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析.①列出樣本空間Ω;②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.
【解析】(1)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中,3所小學(xué)分別記為A1,A2,A3,2所中學(xué)分別記為A4,A5,1所大學(xué)記為A6,則抽取2所學(xué)校的樣本空間Ω為{(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)}.②由①知n(Ω)=15.
從這6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)記為事件B,則B={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},n(B)=3,所以P(B)=
探究點四　較復(fù)雜的古典概型的概率計算【典例4】有A,B,C,D四位貴賓,應(yīng)分別坐在a,b,c,d四個席位上,現(xiàn)在這四人均未留意,在四個席位上隨便就座時.(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率;(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率;(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
【思維導(dǎo)引】利用畫樹狀圖法求解.【解析】將A,B,C,D四位貴賓就座情況用樹狀圖表示出來:
如圖所示,共24個等可能發(fā)生的樣本點,屬于古典概型.(1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己席位上”,則事件A只包含1個樣本點,所以P(A)= (2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”,則事件B包含9個樣本點,所以P(B)= (3)設(shè)事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個樣本點,所以P(C)=
【類題通法】(1)當(dāng)樣本點個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,并且涉及的樣本點又不是太多時,我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的樣本點,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況.(2)在求概率時,若樣本點可以表示成有序數(shù)對的形式,則可以把全部樣本點用平面直角坐標(biāo)系中的點表示,即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點的個數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.
【定向訓(xùn)練】　現(xiàn)有8名奧運會志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通曉日語,B1,B2,B3通曉俄語,C1,C2通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個小組.(1)求A1被選中的概率;(2)求B1和C1不全被選中的概率.
【解析】(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名,這個試驗的樣本空間Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18個樣本點.由于每一個樣本點被抽取的機會均等,因此這些樣本點的發(fā)生是等可能的.
用M表示“A1被選中”這一事件,則M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6個樣本點,因此P(M)= (2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件,則其對立事件 表示“B1,C1全被選中”這一事件,由于 ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3個樣本點,而N∪ =Ω,且N∩ =?,故事件N包含的樣本點個數(shù)為18-3=15,所以P(N)=
求樣本空間的方法：（1）較簡單的問題可用列舉法；（2）較復(fù)雜的問題可用坐標(biāo)系、表格或樹狀圖
數(shù)學(xué)運算：體現(xiàn)在求概率的過程
1.下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是(　　)①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個;②每個事件出現(xiàn)的可能性相等;③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等;④樣本點的總數(shù)為n,隨機事件A若包含k個樣本點,則P(A)= A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】選B.根據(jù)古典概型的特征與概率公式進(jìn)行判斷,①③④正確,②中的事件不是只有一個樣本點,不正確.
2.若書架上放有中文書5本,英文書3本,日文書2本,由書架上抽出一本外文書的概率為(　　) 【解析】選D.由題意知書架上共有10本書,其中外文書有3+2=5(本).所以由書架上抽出一本外文書的概率P= = ,故選D.
3.有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
【解析】選C.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,這個試驗的樣本空間Ω={(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,紫)},共10個樣本點,這10個樣本點發(fā)生的可能性是相等的.而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆包含的樣本點有(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),共4個,故所求概率P=
4.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球,則從中隨機摸出兩只球,則它們的顏色不同的概率是________.?【解析】記3只白球分別為A,B,C,1只黑球為m,則從中隨機摸出兩只球的樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,m),(B,C),(B,m),(C,m)},所以n(Ω)=6,其中顏色不同的樣本點為(A,m),(B,m),(C,m),所以n=3,故所求概率為 答案:
5.一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出2只球.(1)共有多少個樣本點?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?

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