二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
二次函數(shù)與一元二次方程
【例1】已知二次函數(shù)y=2(x-3)2+1.下列對其圖象的說法： ①開口向下； ②當x＜3時,y隨x的增大而減??； ③頂點坐標為(3,-1)；④對稱軸為直線x=-3；則其中說法正確的有( 　) A.1個 B.2個 C.3個　D.4個
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
1.對于y=2(x-3)2+2的圖像下列敘述正確的是(　　)A.頂點坐標為(-3,2) B.當x≥3時,y隨x的增大而增大 C.對稱軸為y＝3 D.當x≥3時,y隨x的增大而減小2.拋物線y=a(x+3)(x-1)的對稱軸是直線( 　)　A.x=1 B.x=-1　　C.x=-3 D.x=33.下列對二次函數(shù)y＝x2-x的圖象的描述,正確的是(　　) A.開口向下 B.對稱軸是y軸 C.經(jīng)過原點 D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的
4.若點A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)為二次函數(shù)y=(x+1)2+k的圖象上的三點,則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( ) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y25.若拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(-2,3),則2c-4b-9的值是(　　) A.5 B.-1 C.4 D.186.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象上部分點的坐標(x,y)對應(yīng)值列表如下：則該函數(shù)圖象的對稱軸是(　) A.直線x=-3 B.直線x=-2 C.直線x=-1 D.直線x=0
7.拋物線y=(x-m)2+(m+1)的頂點在第一象限,則m的取值范圍為( ) A.m＞1 B.m＞0 C.m＞-1 D.-1＜m＜08.已知二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a(a≠0),關(guān)于此函數(shù)的圖象及性質(zhì),下列結(jié)論中不一定成立的是( ) A.該圖象的頂點坐標為(1,-4a)； B.該圖象與x軸的交點為(-1,0),(3,0)； C.若該圖象經(jīng)過點(-2,5),則一定經(jīng)過點(4,5)； D.當x＞1時,y隨x的增大而增大。
1.已知拋物線y=-(x+1)2+k的圖像上有A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)三點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是( ) A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y22.已知二次函數(shù)y=x2-2x-3,當0≤x≤3時,y的最大值和最小值分別是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0，03.已知拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上,則c=＿＿.
4.把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個單位長度，那么平移后拋物線的解析式是 .5.如果一條拋物線的形狀與 形狀相同,且頂點坐標是(4,-2),則這個函數(shù)關(guān)系式為___________________________.6.拋物線y=(m+1)xm2-m+3,當x＞0時y隨x的增大而增大,則m=___.7.已知二次函數(shù)y=(a-2)x2+a2-2的最高點為(0,2)則a=____.8.拋物線y=ax2+c與x軸交于A(-2,0),B兩點,與y軸交于點C(0,-4),則三角形ABC的面積是___.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
【例4】已知二次函數(shù)y=x2-3x+m的圖象與x軸的一個交點為(1,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是(　 ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
有兩個不等的實數(shù)根x1,x2
x1=x2=-b/2a
1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情況是( ) A.有兩個不相等的正實數(shù)根 B.沒有實數(shù)根 C.有兩個相等的實數(shù)根 D.有兩個異號實數(shù)根2.函數(shù)y=ax2+2ax+m(a＜0)的圖象過點(2,0),則使函數(shù)值y＜0成立的x的取值范圍是(　　) A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
x1=-1,x2=3　　
【變式1】小麗跳繩時,發(fā)現(xiàn)在繩子運動到最高點時,繩子可以看做是一條拋物線,此時測得兩手柄外端之間的距離AB=1米,手柄離地面的距離為1.2米,小麗的頭頂離地面的距離為1.95米,繩子在小麗頭頂同高度的C,D處相距0.5米。則繩子的最高點離地面的距離為______米.
【解析】如圖建立平面直角坐標系， 則可求得拋物線的解析式為y=-4x2+1， ∴頂點E的坐標為(0,1)， ∴繩子的最高點離地面的距離為2.2米。
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則函數(shù)值y＜0時,x的取值范圍是( 　) A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3
18.若拋物線y=x2+bx+c的頂點在第一象限,則方程 x2+bx+c=0的根的情況是＿＿＿＿＿.19.一元二次方程3x2+x-10=0的兩個根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函數(shù)y=3x2+x-10與x軸的交點坐標是________________.20.若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖,且關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3,則另一個解x2= ；
(-2,0),(5/3,0)
【例3】2020年1月新型冠狀病毒爆發(fā),全國各地在黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)和組織下,有效的遏制了病情的蔓延.戴口罩在防止病毒的蔓延起到的重要作用.小明發(fā)現(xiàn),一次性口罩的形狀和他學(xué)習(xí)的拋物線相似,建立如圖所示的平面直角坐標系,口罩的下邊沿可以用拋物線y1=x2-1表示,它的頂點為P,交x軸于點C,D.口罩的上邊沿可以看成把口罩的下邊沿向上平移后得到的,使頂點落在x軸上,A,B分別為C,D的對應(yīng)點.求口罩的面積S(陰影部分)．
解：連接AB,當y=0時,0=x2-1,∴x=±1∴C、D兩點的坐標分別為(-1,0),(1,0),則CD=2.∴由拋物線平移的性質(zhì)可知：拋物線PCD與線段CD圍成的面積等于拋物線OAB與線段AB圍成的面積∴S=S矩形ABDC=CD×AC=2×1=2
【變式】小明發(fā)現(xiàn),N95型口罩的上、下邊沿是對稱的拋物線,左、右邊沿可以看成兩條線段AC=BD=1,建立如圖所示的平面直角坐標系,口罩的下邊沿可以看成拋物線y1=x2-1,求口罩的上邊沿的拋物線的解析式．
解：由y1=x2-1可得頂點P的坐標為(0,-1)∴OP=1, 連接AB交y軸于點E, 由軸對稱的性質(zhì)可知QE=OP=1,OE=AC=BD=1,∴點Q的坐標為(0,2)∵拋物線AQB與拋物線CPD對稱∴拋物線AQB的解析式為： y2=-x2+2
…………………… 6分
1.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=0.5x2經(jīng)過平移得到拋物線y=0.5x2-2x,其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為( ) A.2 　 B.4　 C.8　 D.162.如圖,邊長為2的正方形ABCD的中心在平面直角坐標系的原點O處,AD∥x軸,以O(shè)為頂點且過A,D兩點的拋物線與以O(shè)為頂點且過B,C兩點的拋物線將正方形分割成幾部分,則圖中陰影部分的面積是____.
3.如圖,二次函數(shù)y1=-x2+2圖象向右平移1個單位得到的y2.回答下列問題：(1)y2圖象的頂點坐標 ．(2)圖中陰影部分的面積___．(3)若再將y2繞原點O旋轉(zhuǎn)180o得到y(tǒng)3,則y3的開口方向 ,頂點坐標 .

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