一元二次方程的基本概念
一元二次方程根的判別式
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
1.我們知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,現(xiàn)給出另一個方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是____________2.若方程ax2=b(ab＞0)的兩個根分別是m+1與2m-4,則b:a=____.3.已知關(guān)于x的一元二次方程a(x+h)2+k=0的解為x1=-3,x2=-2,則關(guān)于x的一元二次方程a(x+h-2)2+k=0的解為___________.4.已知a是方程x2-2020x+1=0的一個根,則 =_____.5.已知m是方程x2-x-2=0的一個實數(shù)根,則 =_____.
6.關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個根為1,且b,c滿足 ,試確定a,b,c的值。
∴a=1,b=-3,c=2
把x=1代入ax2-3x+2=0得：a=1
7.若關(guān)于x的方程(m-1)x|m|-x2-4=0是一元二次方程,則m=_______
解：①當(dāng)|m|=2,即m=±2時，
若m=-2時,原方程可化為x2+1=0；
②當(dāng)|m|=1,即m=±1時，原方程可化為x2+2x+4=0；
③當(dāng)|m|=0時,原方程可化為x2+5=0；
若m=2,原方程可化為-4=0(不合題意,舍去)；
若m=1,原方程可化為x2+4=0；
若m=-1,原方程可化為x2+2x+4=0；
8.(1)已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)一個根為1,求a+b+c的值. (2)若a+b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎? (3)若a-b+c=0,4a+2b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根?
解：(1)把x=1代入ax2+bx+c=0得：a+b+c=0
(3)x=-1或x=2
(2)由題意得：a+b+c=0,即a·12+b·1+c=0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一個根是1.
1.若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,則x2+y2=____.
2.解方程：(x2+1)2-2(x2+1)-3=0
3.用配方法說明:不論k取何實數(shù),多項式k2-4k+5的值必定大于零.
解：k2-4k+5=k2-4k+4+1=(k-2)2+1
∴k2-4k+5的值必定大于零.
∴(k-2)2+1≥1.
4.利用配方法證明：不論x取何值,代數(shù)式-x2+2x-4的值總是負(fù)數(shù),并求出它的最大值.
解：-x2+2x-4=-(x2-2x+1-1)-4=-(x-1)2-3
當(dāng)x=1時，-x2+2x-4的最大值為-3
∵-(x-1)2≤0，
∴-(x-1)2-3＜0.
∴-x2+2x-4的值總是負(fù)數(shù).
5.已知a,b,c為△ABC的三邊長,且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0試判斷△ABC的形狀.
解：2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0
∴△ABC為等邊三角形.
∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∴(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0
6.已知a,b,c是△ABC的三邊，且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0 (1)求a,b,c的值； (2)判斷三角形的形狀。
解：(1)a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0
∴△ABC為直角三角形.
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0
∴(a-3)2=0,(b-4)2=0,(c-5)2=0
∴a=3,b=4,c=5.
(2)a2+b2=32+42=52=c2
8.閱讀材料，解方程：x2-|x|-2=0解：當(dāng)x≥0時,原方程可化為x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(舍棄) 當(dāng)x＜0時,原方程可化為x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1(舍棄) ∴原方程的根為x1=2,x2=-2.請參照上述解題過程解方程：x2-|x-1|-1=0
x1=1 ；x2=-2
4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個實數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),符合條件的所有正整數(shù)m的和為____. 5.直線y=x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0實數(shù)解的個數(shù)是____個.6.若關(guān)于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是________________.7.若a,b,c是△ABC的三邊,關(guān)于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0有兩個相等的實數(shù)根,則△ABC的形狀是____________.
8.關(guān)于x的方程(a2-1)x2+(2a+2)x+1=0有實數(shù)根,求a的取值范圍.
解：①當(dāng)a2-1=0,即a=±1時,
若a=1,原方程可化為：4x+1=0，
若a=-1,原方程可化為：1=0,(不合題意,舍去)
②當(dāng)a2-1≠0,即a≠±1時,則Δ≥0，
即:(2a+2)2-4(a2-1)≥0
9.在等腰△ABC中,三邊分別為a,b,c,其中a=5,若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根,求△ABC的周長.
解：關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△ABC的三邊長為4，4，5，其周長為4+4+5=13.
∴Δ=b2-4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
∴b=-10或b=2.
①將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
②將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2(舍去)；
10.已知關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0). (1)求證：方程總有兩個實數(shù)根； (2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.
(1)證明：Δ=(m+2)2-4m×2=(m-2)2≥0
∴方程總有兩個實數(shù)根.
∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)且m也是正整數(shù)
11.已知關(guān)于x的一元二次方程(x-1)(x-4)=p2,p為實數(shù).(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當(dāng)p為何值時,方程有整數(shù)解?(直接寫出三個)
(1)證明：原方程可化為:x2-5x+4-p2=0
Δ=(-5)2-4(4-p2)=9+4p2＞0
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根
(2)解：p=0,2,-2.
∴9+4p2應(yīng)是___數(shù)的平方，
∴9+4p2=32,52,72,…
方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一個正根,一個負(fù)根,求m的取值范圍.
△≥0x1x2＞0x1+x2＞0
△≥0x1x2＞0x1+x2＜0
△≥0x1+x2=0 即b=0
△≥0x1x2=0 即c=0
△≥0x1x2=1 即a=c
1.關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為( ) A.2 B.0 C.1 D.2或02.方程(x-1)(x+2)=p2的根的情況,下列結(jié)論中正確的是( ) A.兩個正根 B.兩個負(fù)根 C.有一個正根,一個負(fù)根 D.無實數(shù)根3.在Rt△ABC中,∠C=90o,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,a,b是關(guān)于x方程x2-7x+c+7=0的兩根,那么AB邊上的中線長是_____.4.已知a,b是方程x2+x-c=0的兩個根,且a+b-2ab=5,則c=___.5.設(shè)x1,x2是方程x2-x-2020=0的兩根,則x13+2021x2-2020=_____.6.若a,b是方程(x+c)(x+d)=1的兩個根,那么(a+c)(b+c)=____.
7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(a+2)x+a-2b=0的根的判別式等于0,且x=0.5是方程的根,則a+b的值為____.8.若關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有兩個實數(shù)根x1,x2,則x1(x2+x1)+x22的最小值為_____.9.若一元二次方程-x2+ax+x=0的兩根在-2到0之間(含-2和0),則a的取值范圍是____________10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+(a-1)2=0的兩個根為x1,x2,且x2-x1x2=0,則a的值是_________.
11.若a,b是質(zhì)數(shù),且a2-13a+m=0,b2-13b+m=0,那么 的值為( )A. B. C. D.12.如果m、n是兩個不相等的實數(shù),且滿足m2-2m=1,n2-2n=1,那么代數(shù)式2m2+4n2-4n+2018=______.13.以方程x2+3x-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是( ) A.y2+3y-5=0 B.y2-3y-5=0 C.y2+3y+5=0 D.y2-3y+5=014.在解一元二次方程x2+bx+c=0時,小明看錯了一次項系數(shù),得到的解為x1=2,x2=3；小剛看錯了常數(shù)項c,得到的解為x1=1,x2=4；請你寫出正確的一元二次方程___________.
分類討論①a=b；②a≠b
x1+x2=(k+1)/2
x1x2=(k+3)/2
Δ=(k+1)2-4×2×(k+3)≥0
15.當(dāng)k為何值時,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1.
k1=-3,k2=9.

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