二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
二次函數(shù)與一元二次方程
1.已知二次函數(shù)y=a(x+1)2-b有最小值1,則a,b的大小關(guān)系為( ) A.a＞b B.a＜b C.a＝b D.不能確定2.已知a＞1,點(diǎn)(a-1,y1)(a,y2)(a+1,y3)都在函數(shù)y=x2+5的圖象上,則( ) A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y1＜y33.已知二次函數(shù)y=(x-h)2+1,在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下,與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5,則h的值為( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
4.已知在二次函數(shù)y=ax2-2x-3a的圖象有三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,-3),其中x1＜-1,0＜x2＜3,則y2-y1的值為( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.0 D.非負(fù)數(shù)5.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)如下表,則該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(-2,-2) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(0,-6)
6.如圖,Rt△OAB的頂點(diǎn)A(-2，4)在拋物線y=ax2上,將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90o,得到△OCD,邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ) A. B. C.(2,2) D.
7.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,兩條拋物線有相同的對稱軸,則下列關(guān)系正確的是( ) A.m=n,k＞h B.m=n,k＜h C.m＞n,k=h D.m＜n,k=h
8.已知二次函數(shù)y=ax2+3,當(dāng)x取x1,x2(x1≠x2)時,函數(shù)值相等,則當(dāng)x=x1+x2時,其函數(shù)值為_____.9.已知(m,n)在y=ax2+a(a不為0)的圖象上,(-m,n)______(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不為0)的圖象上.10.如圖,拋物線y=ax2+3與y軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y= x2于點(diǎn)B,C,則BC=___.
11.若拋物線y=x2+2x+c與坐標(biāo)軸只有兩個交點(diǎn),則c的值為______12.已知點(diǎn)P(1，m)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在一次函數(shù)y=2x-3的圖象上,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．13.已知直線y=4與二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+3(m是常數(shù))的圖象交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)P,M,N中恰好有一點(diǎn)是其余兩點(diǎn)組成線段的中點(diǎn)時,m的值為_________.14.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-3,0),(1,0),則b:a=_____.
15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,y與x的部分對應(yīng)值如下表：則①拋物線的對稱軸是 ； ②當(dāng)y＜5時,x的取值范圍是 ； ③在此拋物線上有兩點(diǎn)A(3,y1),B(4.5,y2),則y1____y2
16.如圖,二次函數(shù)y=-x2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),等腰直角△ACD的直角頂點(diǎn)D在x軸上,AD=3.現(xiàn)將△ACD沿x軸的正方向平移,則當(dāng)點(diǎn)C在函數(shù)圖象上時,△ACD的平移距離為______.17.如圖,二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸交與點(diǎn)A(-4,0).若在拋物線上存在一點(diǎn)P,滿足S△AOP=8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)________________________.
1.一元二次方程x2-mx+n=0無實(shí)根,拋物線y=x2-mx+n圖象位于( ) A.x軸上方 B.第一二三象限 C.x軸下方 D.第二三四象限2.拋物線y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是( 　) A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠03.二次函數(shù)y=ax2的圖象如圖則不等式ax＞a的解集是( ) A.x＞1 B.x＜1 C.x＞-1 D.x＜-1
4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,y與x的部分對應(yīng)值如下表：根據(jù)表中信息,下列結(jié)論錯誤的是( ) A.其圖象開口向下 B.其圖象的對稱軸為直線x=2 C.方程ax2+bx+c=0有一個根大于5 D.當(dāng)x＜1時,y隨x的增大而增大5.如果不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集是x≠2的一切實(shí)數(shù),那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有____個交點(diǎn),坐標(biāo)是______.方程ax2+bx+c=0的根是_________.
6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2).若拋物線 與線段AB交于C,D兩點(diǎn),且則k的值為_____
1.使用家用燃?xì)鉄_同一壺水所需的燃?xì)饬縴(單位:m3)與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x(單位:度)(0o＜x＜90o)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出此家用燃?xì)庠顭_同一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為( )A.18o B.36o C.41o D.58o
2.豎直上拋物體離地面的高度h(m)與運(yùn)動時間t(s)之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物體拋出時離地面的高度,v0(m/s)是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出,小球達(dá)到的離地面的最大高度為( )
3.跳繩時,繩甩到最高處的形狀可近似的看為拋物線,如圖,正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距為4米,距地面均為1米,丙、丁同學(xué)分別站在距甲拿繩的手水平距離1米、2.5米處,繩子甩到最高處,剛好通過他們的頭頂,已知丙同學(xué)的身高是1.5米.(1)請你算一算丁同學(xué)的身高.
(2)如果身高為1.5米的丙同學(xué)站在甲、乙同學(xué)之間,且離甲同學(xué)的距離為s米,要使繩子甩到最高處時超過他的頭頂,請結(jié)合圖像,直接寫出s的取值范圍.
4.(大練P354)如圖,排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系y=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.(1)當(dāng)h=2.6時,求y與x的關(guān)系式；(2)當(dāng)h=2.6時,球能否越過球網(wǎng)？ 球會不會出界？請說明理由；(3)若球一定能越過球網(wǎng),又不 出邊界,求h的取值范圍．
1.已知二次函數(shù)y=(m-1)x2+2mx+3m-2(m≠1)的最大值是0, 求m的值.
解：由題意得：(2m)2-4(m-1)(3m-2)=0且m-1＜0.
解得：m1=0.5,m2=2且m＜1.
2.已知二次函數(shù)y=x2,若x≥m時,y最小值為0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解：∵二次函數(shù)y=x2，
∴當(dāng)x=0時，y有最小值，且y最小值=0，
∵當(dāng)x≥m時，y最小值=0，
3.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的表達(dá)式.
解:∵拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同 ∴ a=1或-1 又∵頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5, ∴頂點(diǎn)為(1,5)或(1,-5) ∴其表達(dá)式為:(1)y=(x-1)2+5 (2)y=(x-1)2-5 (3)y=-(x-1)2+5 (4)y=-(x-1)2-5
4.已知拋物線y=-x2+2mx-m2-m+2.(1)直線l：y=-x+2是否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)；(2)設(shè)該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)OM·ON=4,且OM≠ON時,求出這條拋物線的解析式．
解:(1)直線y=-x+2經(jīng)過拋物線y=-x2+2mx-m2-m+2的頂點(diǎn)
(2)y=-x2-6x-4
5.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù), 求正整數(shù)m的值．
(1)證明：∵m≠0， ∴Δ=(m+2)2-4m×2 =m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0， ∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)；
(2)解:令y=0,則(x-1)(mx-2)=0， ∴x-1=0或mx-2=0， 解得 x1=1,x2=2/m. 當(dāng)m為正整數(shù)1或2時,x2為整數(shù),即拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)． ∴正整數(shù)m的值為1或2.
6.已知：拋物線y=x2+ax+a-2.(1)求證：不論a取何值時,拋物線y=x2+ax+a-2與x軸都有兩個不同的交點(diǎn)；(2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=3,求a的值．
(1)證明：∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4＞0，∴不論a取何值時,拋物線y=x2+ax+a-2與x軸都有兩個不同的交點(diǎn)；(2)解：∵x1+x2=-a,x1·x2=a-2，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=a2-2a+4=3，∴a=1.

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