二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
二次函數(shù)與一元二次方程
1.點P(m,n)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y=x2+ax+4的圖象上,則m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4
把P(m,n)代入y=x2+ax+4得：n=m2+4
∴n-m=m2-m+4
=(m-1/2)2+15/4
∴n-m的最大值為15/4
2.已知點A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線y=ax2+2ax+4(0＜a＜3)上,若x1＜x2,x1+x2=1-a,則( ) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1=y2 D.y1與y2大小不能確定
方法一：利用特殊值求解,如取a=1,代入求y1,y2的值.
方法二：利用求差法，比較大小.
y1-y2=a(x12-x22)+2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2)
∵x1＜x2,∴x1-x2＜0,
∵x1+x2=1-a,∴x1+x2+2=3-a＜0.
∴a(x1-x2)(x1+x2+2)＜0,即y1-y2＜0，
3.已知A(x1,2019),B(x2,2019)是拋物線y=ax2+bx+2018(a≠0)上的兩點,則當(dāng)x=x1+x2時,二次函數(shù)的值是( ) A. B. C.2019 D.2018
6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,并經(jīng)過(2,-3),(-2,0)兩點,那么該函數(shù)圖象的對稱軸( ) A.有可能為y軸 B.有可能在y軸的右邊且在直線x=2的左邊 C.有可能是直線x=-2 D.有可能是直線x=2
4.已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過(-2,0),(2,3)兩點,那么拋物線的對稱軸( ) A.只能是x=-1 B.可能是y軸 C.在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè) D.在y軸左側(cè)
5.如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點,且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是( ) A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b＜2a D.ac＜0
8.拋物線y=(x-t)(x-t-2)(t為常數(shù))與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),則下列說法不正確的是( ) A.點A,B的坐標(biāo)分別是(t,0)(t+2,0) B.AB為定值 C.當(dāng)y≥0時,t≤x≤t+2 D.y的最小值為-1
8.已知拋物線y=ax2-2ax+a-c與y軸的正半軸相交,直線AB∥x軸,且與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,當(dāng)x=x1+x2時,函數(shù)值為p,當(dāng) 時,函數(shù)值為q,則p-q的值為( ) A.a B.c C.-a+c D.a-c
∴p=4a-4a+a-c=a-c；q=a-2a+a-c=-c
∴p-q=a-c-(-c)=a
16.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點A(-1,0)和點B(0,-2),且頂點在第四象限,設(shè)y=a+b+c,且y為整數(shù),則y的值為___________.
方法一：圖象法,當(dāng)x=1時,y=a+b+c 1)當(dāng)頂點為(0,-2)時,y=0,2)當(dāng)頂點在直線AB上時,y=-4 ∴y=-1,-2,-3.方法二：利用不等式計算,把A(-1,0)B(0,-2)代入, 得:c=-2,b=a-2, ∴y=2a-4. ∵a＞0,b＜0.∴0＜a＜2 ∴-4＜2a-4＜0 ∴y=-1,-2,-3.
4.已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+m(a,m為常數(shù),且a＞0)的圖象與直線y=3的一個交點為(-2,3),則關(guān)于x的一元二次方程ax2-4ax+m-3=0的兩個實數(shù)根是( )A.x1=-2,x2=6 B.x1=-1,x2=3 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-1,x2=6
6.若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖像與x軸只有一個公共點,則常數(shù)m的值是__________.7.如圖,已知直線AB: 分別交x軸、y軸于點A、B,P是拋物線 的一個動點,且橫坐標(biāo)為a,過點P且平行于y軸的直線AB于點Q,則當(dāng)PQ=BQ時,a的值是___________________.8.已知拋物線y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)過點A(m,3),B(n,3)兩點，若線段AB的長不大于4,則代數(shù)式a2+a+1的最小值是_____.
10.某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象時,列出了下面的表格:由于粗心,他算錯了其中一個y值,則這個錯誤的數(shù)值是____.
1.已知m＞0,關(guān)于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解為x1,x2(x1＜x2),則下列結(jié)論正確的是( ) A.x1＜-1＜2＜x2 B.-1＜x1＜2＜x2 C.-1＜x1＜x2＜2 D.x1＜-1＜x2＜22.函數(shù)y=ax2+2ax+m(a＜0)的圖象過點(2,0),則使函數(shù)值y＜0成立的x的取值范圍是( 　) A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜23.已知abc≠0且9a-3b+c＞0,4a+2b+c＜0,則( ) A.b2-4ac＜0 B.b2-4ac＝0 C.b2-4ac＞0 D.b2-4ac≥0
4.(2013年第6題)若二次涵數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個交點,坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),且x1＜x2,圖象上有一點M(x0,y0)在x軸下方,則下列判斷正確的是( ) A.a＞0 B.b2-4ac≥0 C.x1＜x0＜x2 D.a(x0-x1)( x0-x2)＜05.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(x1,0)與(x2,0)(x1＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的兩根為m,n(m＜n),下列判斷正確的是( ) A.a＞0 B.x1+x2＞m＋n C.m＜n＜x1＜x2 D.m＜x1＜x2＜n
6.四位同學(xué)在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c是常數(shù))時, 甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時,函數(shù)有最小值, 乙發(fā)現(xiàn)-1是方程x2+bx+c=0的一個根, 丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3, 丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時,y=4,已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論錯誤,則該同學(xué)是( 　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.請閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.解：設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,∴x=y/2.把x=y/2代入已知方程,得(y/2)2+y/2-1=0化簡,得y2+2y-4=0,故所求方程為y2+2y-4=0．這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”．請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程(化為一般形式)：(1)已知方程x2+x-2=0,求一個一元二次方程,使它的根分別為己知方程根的相反數(shù),則所求方程為：____________；(2)己知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根,求一個一元二次方程,使它的根分別是己知方程根的倒數(shù).
1.設(shè)計師以拋物線y=2x2-4x+8的圖形為靈感設(shè)計杯子如圖所示,若AB=4,DE=3,則杯子的高CE=(　　)A．17 B．11 C．8 D．7
解：設(shè)一直角邊長為x,則另一直角邊長為 ,依題意得：
1.已知直角三角形的兩直角邊之和為8，兩直角邊分別為多少時，此三角形的面積最大？最大值是多少？
2.如圖,點E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上,四邊形EFGH也是正方形,當(dāng)點E位于何處時,正方形EFGH的面積最小？
17.設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常數(shù),a≠0).若該函數(shù)圖象經(jīng)過A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三個點中的兩個點，求該二次函數(shù)的解析式
當(dāng)x-1時，y=0，所以不經(jīng)過點C。y=3x2-2x-1
1.已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(3,0),則拋物線y=cx2+bx+a一定經(jīng)過點_________,
2.已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(3,0),則拋物線y=ax2-bx+c一定經(jīng)過點_________,
3.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),點B(3,0),點C(4,y1).若點D(x2,y2)是拋物線上任意一點,有下列結(jié)論：①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為-4a；②若-1≤x2≤4,則0≤y2≤5a；③若y2＞y1,則x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根為-1和1/3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖,點A,B的坐標(biāo)分別為(1,1)(5,4),拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的頂點在線段AB上運動,與x軸交于C,D兩點(點C在點D的左側(cè)),當(dāng)拋物線的頂點為A時,點C的橫坐標(biāo)為0,則點D的橫坐標(biāo)最大值為( ) A.5 B.6 C.7 D.8
8.已知函數(shù)y=-x2+2x(x＞0),y=-x(x≤0)的圖象如圖所示.若直線y=x+m與該圖象恰好有三個不同的交點,則m的取值范圍為_________.
2.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖象經(jīng)過點C(0,1),且與x軸交于不同的兩點A,B,點A的坐標(biāo)是(1,0)．(1)求c的值；(2)求a的取值范圍．
(2)由圖象過C(0,1),A(1,0),得a+b+1=0,∴b=-a-1. 由b2-4ac＞0,可得(-a-1)2-4a＞0，即(a-1)2＞0,故a≠1. 又∵a＞0， ∴a的取值范圍是a＞0且a≠1.　
12.如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A(1,0),B(3,2).(1)求m的值和拋物線的解析式；(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集(直接寫出答案)；(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)兩點都在拋物線y=x2+bx+c上, 試比較y1與y2的大?。?

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