數(shù)學必修第一冊2.1 相等關系與不等關系第二課時學案設計-學案下載-教習網(wǎng)

第二課時　不等式的性質(zhì)清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手撫摸著短裙，眼里閃爍著倔強和自信的目光．只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值在0.57～0.6之間．設人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由變成了，這個比值非常接近黃金分割值0.618.[問題]　你能利用不等式的性質(zhì)證明嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　等式與不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a＝b?b＝a性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<aa＝b，b＝c?a＝c性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>ca＝b?a＋c＝b＋c性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c；推論1：如果a＋b>c，那么a>c－b；推論2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋da＝b?ac＝bc性質(zhì)4：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；推論3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；推論4：如果a>b>0，那么anbn(n∈N＋)a＝b>0?＝(n∈N＋)性質(zhì)5：如果a>b>0，那么(n∈N＋)性質(zhì)6：如果a>b，且ab>0，那么；如果a>b，且ab<0，那么對不等式性質(zhì)的四點說明(1)性質(zhì)2(即傳遞性)，在它的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識；(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)；(3)性質(zhì)4(即可乘性)，在使用時要特別注意研究“乘數(shù)的符號”；(4)性質(zhì)5(即可開方性)，在使用時注意該性質(zhì)的適用條件是a>b>0.　　　　 1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．(　　)(2)若a＜b或a＝b之中有一個正確，則a≤b正確．(　　)(3)若a＞b，則ac2＞bc2一定成立．(　　)(4)若a＋c＞b＋d，則a＞b，c＞d.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關系是(　　)A．a>b>－b>－a　　　 B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b答案：C3．若a＞b＞0，n＞0，則________.(填“＞”“＜”或“＝”)答案：＜利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假[例1]　(鏈接教科書第36頁練習1題)(多選)對于實數(shù)a，b，c，下列結論正確的是(　　)A．若a，b∈R，且a＞b，則a3＞b3B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2C．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0D．若a＜b＜0，則＞[解析]　A：因為a3，b3不改變a，b的符號，即符合不等式的可乘方性，故該結論正確．B：由可得a2＞ab.因為所以ab＞b2，從而有a2＞ab＞b2.故該結論正確．C：由＞，可知－＝＞0.因為a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因為a＞b，所以a＞0，b＜0.故該結論正確．D：依題意取a＝－2，b＝－1，則＝，＝2，顯然＜.故該結論錯誤．故選A、B、C.[答案]　ABC利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質(zhì)或函數(shù)的相關性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．　　　　 [跟蹤訓練]1．下列命題中，正確的是(　　)A．若a＞b，c＞d，則ac＞bdB．若ac＞bc，則a＜bC．若a＞b，c＞d，則a－c＞b－dD．若＜，則a＜b解析：選D　選項A中，當a＞b＞0，c＞d＞0時，ac＞bd成立，但是當a，c均為負值時不成立，故A不正確；選項B中，當c＜0時，ac＞bc可推出a＜b.當c＞0時，ac＞bc可推出a＞b，故B不正確；選項C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正確；選項D中，式子＜成立，顯然c≠0，所以c2＞0，根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得的不等式的不等號與原不等式的不等號同向，顯然有a＜b成立，故D正確．故選D.2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(　　)A．ab>bc　　　　　　 B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>|b|c解析：選C　因為a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.利用不等式的性質(zhì)證明不等式[例2]　(鏈接教科書第36頁例3、例4)已知c>a>b>0，求證：>.[證明]　因為a>b>0?－a<－b?c－a<c－b.因為c>a，所以c－a>0.所以0<c－a<c－b.上式兩邊同乘，得>>0.又因為a>b>0，所以>.利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用；(2)應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質(zhì)與法則．　　　　 [跟蹤訓練]1．已知a＞b，e＞f，c＞0，求證：f－ac＜e－bc.證明：因為a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.2．若bc－ad≥0，bd＞0，求證：≤.證明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，兩邊同除以bd得，≤.用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍[例3]　已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求2a＋3b與a－b的取值范圍．[解]　∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范圍是8<2a＋3b<32，a－b的取值范圍是－7<a－b<2.[母題探究](變設問)在本例條件下，求的取值范圍．解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.故的取值范圍是<<2.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍；(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．　　　　 [跟蹤訓練]已知－1＜x＜4，2＜y＜3.(1)求x－y的取值范圍；(2)求3x＋2y的取值范圍．解：(1)因為－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.(2)由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.不等式性質(zhì)的應用實例探究下列關于糖水濃度的問題，你能否抽象出相應的數(shù)學表達式，并應用不等式的性質(zhì)證明？1．把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；2．如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了．[問題探究]1．設原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為，且<，求證：<<(其中b>a>0，d>c>0)．證明：∵<，且b>a>0，d>c>0，∴ad<bc，即bc－ad>0，－＝＝<0，即<，－＝＝>0，即<.∴<<.2．設原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克水，求證>(其中b>a>0，m>0)．證明：－＝＝>0，∴>.[遷移應用]已知△ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數(shù)，求證：＋>.證明：∵在△ABC中，a＋b－c>0，∴<＝.又∵>，>，∴＋>＋＝>.1．根據(jù)等式的性質(zhì)判斷下列變形正確的是(　　)A．如果2x＝3，那么＝B．如果x＝y，那么x－5＝5－yC．如果x＝6，那么x＝3D．如果x＝y，那么－2x＝－2y解析：選D　對于A，沒有a≠0的條件，等式的兩邊不能都除以a，故選項A不正確；對于B，等式的左邊減去5，等式的右邊乘以－1后加上5，等式不成立，故選項B不正確；對于C，等式的左邊乘以2，等式的右邊除以2，等式不成立，故選項C不正確；對于D，等式的兩邊都乘以－2，等式成立，故選項D正確．2．已知a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是(　　)A．若a＞b，c＞b，則a＞c　 B．若a＞－b，則c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，則＞ D．若a2＞b2，則－a＜－b解析：選B　選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D只有a＞b＞0時才成立，否則如a＝－1，b＝0時不成立，故選B.3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，則(　　)A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0解析：選D　由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.4．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范圍．解：∵2＜b＜3，∴＜＜.①當0≤a＜8時，0≤＜4；②當－6＜a＜0時，－3＜＜0.由①②得－3＜＜4，即的取值范圍是－3＜＜4.

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